41
ЛАБОРАТОРИЯ
Проделаем это для всех клеток, соответствующих числам левого столбца, и вычеркнем отмеченные ряды (все они будут разными, так как в каждом ровно одна клетка выбрана). Так как мы вычеркнем не все, останется «доска» из 8 рядов – скажем, k столбцов и 8 – k строк. Ее площадь тогда равна k ◊ (8 - k ), что не больше 16. Значит, всего выбранных клеток было не более 16 + 8 = 24. Противоречие. 2 (решение 6, вариация решения 5). Отметим для начала произвольные 32 клетки, занумерованные разными числами. Невыбранные клетки будем называть «свободными», а линии (строки или столбцы), где все клетки свободны,— пустыми. Допустим, что какая-то линия, например первая строка, пуста. Следовательно, в ней стоят 8 разных чисел, и в других строках отмечено 8 клеток с соответствующими числами. Мы утверждаем, что одно из этих 8 чисел является не единственным ни в своей строке, ни в своем столбце, и, следовательно, его можно заменить равным ему числом из первой строки, не «обнуляя» других строк или столбцов, т.е. уменьшить число пустых строк. В самом деле, на всей доске, кроме первой строки, свободны только 24 клетки. Поэтому есть не более трех строк, в которых одно из 8 чисел стоит «в одиночестве», и не более четырех таких столбцов. Следовательно, одиноки в своей строке или столбце не более семи чисел, и хотя бы одно из наших 8 чисел действительно можно заменить. Если после этого все еще есть пустые строки или столбцы, действуем аналогично.
3 (решение 7). Всего есть выборов 32 клеток с разными числами на них (из каждой пары клеток, занумерованных одинаково, надо выбрать одну). Оценим число плохих выборов. Пусть в первом столбце нет выбранных чисел. Это значит, что в нем все числа различны, поэтому таких выборов . Всего рядов 16, поэтому общее число плохих выборов не больше 16 ◊ , т.е. хороших выборов много.
P.S. Попробуем слегка изменить условие исходной задачи. Пусть теперь у нас в 64 клетках записаны 16 чисел, каждое по 4 раза. Возникает вопрос: «Можно ли теперь гарантировано отметить по одной клетке с каждым числом так, чтобы в каждой горизонтали и в каж-
«КВАНТА»
дой вертикали было отмечено хотя бы по одной клетке?» И если можно, то какие из наших решений проходят в новой задаче? Оказывается, что и этот факт будет верным. Например, возникает очевидное решение, аналогичное решению 3. Каждая девушка-число будет со степенью 8, так как встречается 4 раза и учитывается каждый раз в 2 рядах, при этом возможно, что какую-то дружбу мы учли до 4-х раз, если число попало четырежды в один ряд. Из теоремы Холла следует, что у нас есть нужные 16 свадеб. Как все оказывается просто и красиво! А если задуматься над решением 2, то… здесь у нас объявится великий Эйлер! В нашем графе теперь каждая вершина имеет степень 4, возможно с кратными ребрами и петлями. Тогда каждая компонента связности будет состоять только из вершин четной степени, значит, выполняется критерий эйлеровости – в каждой компоненте связности будет эйлеров цикл, т.е. цикл, проходящий по всем ребрам один раз, при этом каждая вершина в цикле присутствует дважды и каждый эйлеров цикл будет четной длины. Значит, в каждом из этих эйлеровых циклов можно устроить раскраску ребер в шахматном порядке (белое, черное, белое, черное и т.д.). В результате, например, в графе черных ребер каждая вершина окажется со степенью 2 и здесь сработает уже лемма о хороводах, согласно которой граф черных ребер разбивается на один или несколько непересекающихся циклов, в которых мы по аналогии с решением 2 устроим нужный нам обход. Таким образом, нами доказан уже более сильный факт о том, что в каждом ряду встретится хотя бы по 2 отмеченные клетки. Как полезно менять условие задачи! Сразу «полезут» другие красивые идеи!
ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
Спасем водолаза
А.ПАНОВ
ПРОШЛО НЕСКОЛЬКО ЛЕТ С ПУБЛИКАЦИИ СТАТЬИ «К артезианский водолаз – генерация P» (см. «Квант»
№ 2 за 2012 г.). За это время я узнал несколько новых вещей, о которых хочу рассказать здесь. И еще хочу исправить одну ошибку. Оказывается, изобретателем картезианского водолаза был вовсе не Декарт, а, скорее всего, итальянский монах Рафаэлло Маджотти (Raffaello Magiotti, 1597–1656) – последователь Галилея и друг Торричелли. В 1648 году Маджотти опубликовал трактат о несжимаемости воды, он как раз использовал водолаза для иллюстрации этой несжимаемости. Посмотрите на рисунок 1 (а также на 4-ю страницу обложки), где воспроизведены авторские рисунки Маджотти, – уж двух водолазов вы там точно узнаете.
«Le caraffine di Magiotti» – так называется текст, написанный Бениамино Данесе и расположенный на сайте http://www.reinventore.it/. С итальянского это название переводится очень просто – «Флакончики (или графинчики) Маджотти». Кроме того, на сайте имеется 12-ти минутный ролик (кадр из него приведен на рисунке 2). Я его посмотрел несколько раз с большим удовольствием и всем советую это сделать. Хотя в прошлый раз я рекомендовал использовать в качестве водолаза обычную пипетку, но после просмотра фильма решил вернуться к классическим стеклянным аптекарским флакончикам. Итак, наполним водой пластиковую бутылку, а дальше… …Флакончик, частично заполненный водой, вверх дном опустим в бутылку. При этом количество воды во флакончике должно быть отрегулировано таким образом, чтобы он обладал небольшой положительной плавучестью – при слабом толчке он должен уходить под воду. Теперь поплотнее завинтим пробку, и водолаз готов к действию. При нажатии на пластиковую бутылку объем воздуха внутри флакончика уменьшается, и флакончик опускает-
42
КВАНТ 2016/№2
Рис. 2. Кадр из фильма Бениамино Данесе
Рис. 1. Флакончики Маджотти
ся вниз. Отпускаем бутылку – водолаз плывет вверх… Это фактически небольшая цитата из предыдущей статьи. А теперь займемся новыми экспериментами.
Будем спасать водолаза. Бывает обидно, когда водолаз, опущенный в бутылку, сразу идет на дно. Приходится выливать воду из бутылки, доставать водолаза и снова налаживать его. Давайте попробуем обойтись без этого – спасем водолаза и заставим его подняться наверх самостоятельно. Это можно сделать несколькими способами. Способ 1: согреем. Допустим, водолаз оказался на дне и не хочет подниматься. Отвинтим пробку и поставим бутылку с водолазом в горячую воду. Вода в бутылке согреется, объем воздуха во флакончике увеличится, и водолаз всплывет. Правда, когда вода остынет, водолаз снова утонет. Способ 2: вдохнем. Попробуем сделать что-то вроде искусственного дыхания. Плотно обхватим губами горлышко бутылки и вдохнем в себя часть содержащегося там воздуха. Давление в бутылке уменьшится, объем воздуха во флакончике опять-таки увеличится, и водолаз всплывет. Но и здесь, как только мы отнимем рот от бутылки, водолаз потонет. Способ 3: поднимем. Когда мне в первый раз подарили барометр, я тут же забрался с ним в лифт и поехал на верхний этаж. Стрелка барометра, конечно же, показала, что с высотой давление воздуха уменьшается. Воспользуемся этим фактом и захватим с собой в лифт утонувшего водолаза, находящегося в открытой бутылке. Если подняться достаточно высоко, то давление воздуха существенно уменьшится, воздух внутри флакончика расширится настолько, что водолаз приобретет положительную плавучесть и сам поднимется вверх. Способ 4: сожмем. Пусть водолаз оказался на дне и не хочет подниматься. Отвинтим пробку, сожмем одной рукой бутылку, чтобы из нее вышло побольше воздуха. Не уменьшая сжатия, другой рукой завинтим пробку. После того как мы отпустим бутылку, начнут работать упругие силы, стремящиеся вернуть ей прежнюю форму. Они противодействуют внешнему давлению воздуха и увеличивают объем бутылки, в том числе и объем воздуха во флакончике. Водолаз приобретает положительную плавучесть, всплывает и становится готовым к работе.
Одно? Два? Три! Почему все-таки иногда получается так, что в стакане флакончик плавает, а бросишь его в бутылку – он тонет? Потому, что его не нужно бросать, а надо аккуратненько и потихоньку опустить в бутылку, тогда он будет плавать вверху, как это делал в стакане. Но сам факт утопления достаточно интересен. Не всякий плавающий сверху водолаз утонет, если его толкнуть вниз. Такое возможно, только если он обладает малой положительной плавучестью. Дело в том, что когда водолаз опускается вниз, то гидростатическое давление жидкости на него возрастает, объем воздуха внутри флакончика уменьшается, плавучесть водолаза тоже уменьшается. И если бутылка достаточно высокая, то на некоторой высоте плавучесть станет отрицательной, и водолаз сам собой потонет. Выходит, что у хорошо отрегулированного водолаза с малой положительной плавучестью есть два устойчивых положения равновесия внутри бутылки. Одно, когда водолаз находится в верхнем положении, и другое, когда он покоится на дне. Если он пребывает в одном из этих состояний, то после малого возмущения он туда же и вернется. При этом в верхнем положении его плавучесть положительная, в нижнем – отрицательная. Но тогда получается, что на некоторой промежуточной высоте плавучесть водолаза должна быть равна нулю. И это еще одно положение равновесия водолаза. Только в отличие от первых двух оно неустойчивое. Если водолаз из этого положения чуть сместится вверх, то у него появится положительная плавучесть, и он продолжит свое ускоряющееся восхождение. Если же отклонится чуть вниз, то у него появится отрицательная плавучесть, и он потонет.
43
ЛАБОРАТОРИЯ
Рис. 3. Жмем так (как показано слева), и водолаз тонет, жмем по-другому (как справа) – всплывает
Рис. 4. Сжимаем так (как слева), и площадь сечения уменьшается, сжимаем по-другому (как справа) – увеличивается
Водолаз двойного действия. Хорошо бы иметь водолаза, который по нашему желанию опускался бы на дно и оставался там или – при желании – поднимался бы наверх и там плавал. Вот несколько путей добиться этого. 1: завинтим/отвинтим. Поместим в бутылку водолаза с малой положительной плавучестью. Начнем завинчивать пробку. Ее соединение с бутылкой станет герметичным еще до того, как пробка полностью завинтится. С этого момента и до полного закручивания пробки объем, заключенный внутри бутылки, начнет уменьшаться. Будет уменьшаться и объем воздуха внутри водолаза, и водолаз потонет. Отвинтим пробку – водолаз поднимется. Это и есть первый пример водолаза двойного действия. 2: сожмем и сожмем. Встречаются бутылки овального сечения (рис.3). Если рассечь такую бутылку горизонтальной плоскостью, то в сечении получится что-то вроде изображенного на рисунке 4. Запустим в такую бутылку водолаза с малой положительной плавучестью и двумя состояниями устойчивого равновесия. Если нажать на плоские стороны бутылки (см. рис. 3 и 4, слева), то площадь ее сечения уменьшится, значит, уменьшится объем, и водолаз опустится на дно. Если же теперь нажать на закругленные стороны (см. рис. 3 и 4, справа), то объем увеличится, и водолаз всплывет. 3: наденем хомут. Возьмем червячный хомут большого диаметра, который можно закрепить на пластиковой бутылке (рис.5). Поместим водолаза положительной плавучести в бутылку, завинтим пробку и с помощью отвертки начнем стягивать хомут. Давление воздуха внутри бутылки будет возрастать, и в некоторый момент водолаз опустится на дно. И этот процесс обратимый. Если ослабить хомут, водолаз поднимется наверх.
«КВАНТА»
Рис. 5. Бутылка с хомутом, очень удобная для управления водолазом
4: стукнем. Кто уже пытался создать водолаза с минимальной положительной плавучестью, имеющего два устойчивых состояния равновесия – вверху и внизу бутылки, тот знает, что это трудная задача. Тут нужна предварительная тонкая настройка соотношения воды и воздуха внутри водолаза. Применение червячного хомута упрощает эту проблему. Поместим водолаза положительной плавучести в бутылку и закрутим пробку. Теперь потихоньку начнем стягивать хомут до тех пор, пока нижнее положение водолаза «впервые» не станет устойчивым. У такого водолаза будут два устойчивых состояния – вверху и внизу, а между ними (на небольшой высоте) будет еще неустойчивое состояние равновесия. Сжатием бутылки опустим водолаза на дно. Если теперь ударить дном бутылки о стол, то водолаз подскочит, как на батуте, поднимется выше неустойчивого положения равновесия, после чего приобретет положительную плавучесть и сам поднимется наверх. Вот вам и еще один водолаз двойного действия. Вместо того чтобы стучать бутылкой о стол, можно ударить кулаком по столу – эффект будет таким же. 5: приподнимем. Конечно, стучать кулаком по столу это слишком грубое воздействие. Будем действовать деликатнее. Как в предыдущем случае, создадим водолаза с тремя положениями равновесия. Сжатием бутылки отправим водолаза на дно. Теперь возьмемся за пробку и приподнимем бутылку – водолаз всплывает. Оказывается, что сила тяжести, нескомпенсированная реакцией стола, увеличивает объем высокой круглой бутылки, и давление воздуха в ней падает. 6: наклоним. Опять создадим водолаза с тремя положениями равновесия и опустим его на дно. Он будет находиться там в состоянии устойчивого равновесия. Сильно наклоним бутылку, чтобы высота столба воды над водолазом существенно уменьшилась. На уровне водолаза давление воды уменьшится, воздух в нем расширится, и он начнет подниматься. В некоторый момент поставим бутылку вертикально – и водолаз окажется наверху. Вот, пожалуй, и все. Добавлю еще, что снабдить водолаза червячным хомутом меня научил мой студент Дима Гульев. Мне кажется, это очень удачная идея.