Задачи М2446—М2449; Ф2453—Ф2456

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2446 – М2449 предлагались на XXXVIII Турнире городов.

Задачи М2446–М2449, Ф2453–Ф2456

M2446. а) Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин? Н.Чернятьев б) Тот же вопрос, если ребят 100 и одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине некоторым (кому хочет) из остальных. Жюри Турнира городов

M2447. Докажите, что в прямоугольном треугольнике ортоцентр треугольника, образованного точками касания сторон с вписанной окружностью, лежит на высоте, проведенной из прямого угла (рис.1). А.Заславский

Рис. 1

M2448. На прямой отмечены 100 точек, и еще одна точка отмечена вне прямой. Рассмотрим все треугольники с вершинами в этих точках. Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными? Е.Бакаев

M2449 *. На прямой сидит конечное число лягушек в различных целых точках. За ход ровно одна лягушка прыгает на 1 вправо, причем лягушки по-прежнему должны находиться в различных точках. Мы вычислили, сколькими способами лягушки могут сделать n ходов (для некоторого начального расположения лягушек). Докажите, что если бы мы разрешили тем же лягушкам прыгать влево, запретив прыгать вправо, то способов сделать n ходов было бы столько же. Ф.Петров

Ф2453. Один моль золота нагрели от 0 К до 336 К, при этом внутренняя энергия золота увеличилась на 5,2 кДж. Известно, что при температурах ниже так называемой температуры Дебая $T_{D}$ молярная теплоемкость С твердых тел растет с температурой по закону $C = \alpha T^{3}$, а при температурах выше $T_{D}$ для твердых тел справедлив закон Дюлонга и Пти: C = 3R (где R = 8,31 Дж ( моль ◊ К ) – универсальная

…не следует ребячески пренебрегать исследованием даже самых незначительных животных, ибо в каждом произведении природы найдется нечто, достойное удивления. Аристотель

Достигнуть чрезвычайной величины животные могли бы только в том случае, если бы кости их изменились, существенно увеличившись в толщину, отчего животные по строению

и виду производили бы впечатление чрезвычайной толщины. Галилео Галилей

Из того, что мы до сих пор узнали и исследовали, можно… с достаточным основанием заключить, что животным присуще электричество… Луиджи Гальвани

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+фауна

С давних времен ученые пытались объяснить явления не только «косной», мертвой природы, но и живой материи. Физика не осталась в стороне от стремления проникнуть в сопредельные науки, в том числе в биологию. Возникло немало направлений на стыке наук, например биофизика, что привело к множеству открытий и изменило наши представления об устройстве и функционировании окружающих нас организмов. Сегодня наш разговор пойдет о том, что нового узнали мы благодаря физике о мире животных – фауне.

Вопросы и задачи

1. Утка при ходьбе переваливается с боку на бок, а курица – нет. Почему? 2. Изменяется ли положение плавников рыбы при ее движении в воде? 3. Почему у глубоководных рыб, если их извлечь из воды, плавательный пузырь выходит через рот наружу? 4. Падая на землю с большой высоты, мелкие насекомые остаются невредимыми, а крупные животные ломают кости и могут даже погибнуть. Как это объяснить? 5. Отчего на суше нет животных крупнее слона? Почему самые крупные животные сохранились в море? 6. Что произойдет с уткой или иной водоплавающей птицей, если она сядет на воду, в которую попало много мыла или иных моющих средств?

2. Рабочая пчела, вылетевшая из улья за взятком, делает в среднем 180 взмахов крыльями в секунду. При возвращении с грузом это число возрастает до 280. Как мы можем это заметить? 8. Зачем в сухие и жаркие дни пчелы «развешивают» в улье капельки воды? 9. Почему в холодную погоду собаки и кошки сворачиваются в клубок, а в жару, наоборот, стремятся раскинуться? 10. Отчего не встречаются млекопитающие размером с муху? 11. Почему некоторые рыбы могут охотиться ночью и в совершенно мутной воде? 12. Как электрическому угрю, вырабатывающему напряжение до 600 вольт и убивающему мелкую живность электрическими разрядами, удается не поражать током самого себя? 13. Инфракрасное облучение зерна уничтожает жучков-вредителей. Почему жучки погибают, а зерно – нет? 14. Личинку перистоусого комара не видно в воде, но глаза заметны в виде черных точек. Почему? Останутся ли личинки невидимы в воздухе?

Микроопыт

Понаблюдайте за водомерками, свободно скользящими по поверхности воды. Что их удерживает? А почему мелкие насекомые, попав под воду, не могут из нее выбраться?

Любопытно, что…

…блохи, размер которых составляет несколько миллиметров, способны прыгать на расстояние, в 200 раз большее. Ученые выяснили, что блохи отталкиваются от земли преимущественно когтями задних конечностей, срабатывающими как пружины. …рекорд скорости среди животных, измеряемый в единицах длин тела за одну секунду, принадлежит американскому клещу. Передвигая ноги с частотой 135 герц, он преодолевает за секунду 322 длины своего тела. Скорость человека, бегущего с подобной скоростью, составила бы 2000 километров в час. …инженеры создали компьютерную модель, имитирующую таранные удары кашалотов, пробивающих головой обшивку судов, и выяснили, что поглощают нагрузку от ударов и предохраняют череп кашалотов от разрывов специальные соединительные ткани особых мешочков, вырабатывающих жир. …в одном из музеев Англии выставлен обшитый медью кусок дуба, который проколот насквозь кинжалом меч-рыбы. Для нанесения такого удара ей нужно было развить скорость около 100 километров в час. …осьминог, наделенный неплохим зрением, развитым мозгом и способностью менять окраску под цвет окружающей среды, еще и ловко передвигается. Удается ему это за счет радиальной симметрии конечностей. Упираясь щупальцем в дно или скалу, осьминог затем растягивает его и перемещается в противоположную сторону, обеспечивая движение в любом направлении. …основной механизм биологических часов находится внутри живой клетки. Это периодический процесс, колебания которого преобразуются в околосуточные ритмы. Пчелы и птицы согласуют его с движением Солнца или вращающегося звездного неба. …продвинуться в изучении биоэлектричества ученым удалось за счет использования в опытах гигантских аксонов – отростков клеток, проводящих нервные им- пульсы, – «заимствованных» у головоногих моллюсков. …хамелеоны быстро меняют цвет не только за счет пигментации, но и, как обнаружили биофизики, с помощью фотонных кристаллов, выложенных в виде четко структурированной решетки в верхнем слое кожи. Изменяя расстояние между кристаллами, можно влиять на длину волны отраженного света. …пользуясь природным ультразвуковым радаром – сонаром, летучая мышь может затратить на отлов одного летающего насекомого, например комара, менее секунды. …эволюция способствовала совершенствованию органа зрения у животных. Так, у дождевого червя светочувствительные клетки расположены по всей коже, у моллюсков глаз напоминает камеру-обскуру, у улитки он уже содержит линзу, а у теплокровных позвоночных – хрусталик с переменным фокусным расстоянием и диафрагмой. …Ученые выяснили, как бабочкам-монархам удается лететь строго на юго-запад при миграции из Канады в Мексику, преодолевая около двух тысяч километров. В этом им помогают большие сложно устроенные глаза, позволяющие постоянно следить за положением солнца на небосклоне. Такой «компас» не дает им сбиться с верной траектории, при отклонении от которой указывает направление для возвращения на «заданный курс».

Что читать в «Кванте» по теме «Физика+фауна»

(публикации последних лет )

1. «Синицы и…физика» – 2010, №2, с.44; 2. «Физика невыеденного яйца» – 2011, №1, с.29; 3. «Перо птицы и воздушный полет» – 2012, №1, с.14; 4. «Хищник и жертва: уравнения сосуществования» – 2014, №5/6, с.13; 5. «Физик в гостях у биолога» – 2015, Приложение №1; 6. «Кошачья экономия» – 2015, №2, с.31.

Материал подготовил А.Леонович