Движение автомобилей и живых существ — и теорема о кинетической энергии

Квант 2017, №1 с. 37, 40, 41 Тег VPTP

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Движение автомобилей и живых существ – и теорема о кинетической энергии

А.РЫБАКОВ

НАЧНЕМ С ЦИТАТЫ ИЗ ОДНОЙ ЗАМЕЧА- тельной книги, написанной более века назад: «Когда система состоит из большого числа частей, то полное изучение ее движения может оказаться очень сложным и даже невыполнимым. В таких случаях полезно, ранее подробного исследования движения частей системы, получить некоторое понятие об общем движении всей системы в совокупности». Именно об этом и пойдет разговор – о принципиальных моментах динамики некоторых систем, которые мы видим вокруг нас. Во множестве учебников – от базового учебника физики для 9 класса до серьезнейших курсов теоретической механики – есть теорема о кинетической энергии. И формулировки этой теоремы в разных учебниках практически одинаковы. Вот как она формулируется: изменение кинетической энергии тела равно работе всех действующих на него сил, или

$E_{кин2} - E_{кин1} = A_{12}$ .

Некоторые авторы вместо тела в условии теоремы говорят о материальной точке. В 9 классе доказательство этой теоремы проводится в предположении, что сила, действующая на тело, постоянна, в вузовском учебнике для работы силы будет выписан соответствующий интеграл, но сути дела это не

меняет. Более того, утверждение теоремы кажется нам вполне естественным и понятным даже и без доказательства. Между тем, для большинства тел, движение которых мы наблюдаем, теорема очевидным образом несправедлива! «Автор ниспровергает законы механики?!» – ужаснется читатель. Да нет, конечно. Автор только напоминает, что и в жизни и, тем более, в точных науках обычно «дьявол прячется в деталях». Вот эти-то детали и предлагается обсудить. Какие бы тела нам выбрать для применения к ним сформулированной выше теоремы? Выглянем в окно: вот – едет автомобиль, вот – человек идет, вот – бежит кошка, а вот еще какой-то жук ползет по карнизу. Их-то мы и выберем. А начнем с автомобиля. Только в одном случае – в случае буксировки на тросе – применение этой теоремы к движению автомобиля не вызывает никаких затруднений. Но обычный-то режим движения автомобилей не таков…

Какая сила ускоряет автомобиль?

В каком-то старом учебнике механики я увидел такое название одного из разделов: «Самодвижущиеся экипажи». Замечательное название! И у нас речь в первую очередь пойдет о самодвижущихся экипажах на колесном ходу (или на гусеничном) с традиционным для таких устройств принципом движения. Последнее замечание исключает из нашего рассмотрения такие специфические устройства, как аэросани, парусники или автомобили с ракетным двигателем (специально конструируемые для установки рекордов скорости). Обсудим некоторые принципиальные моменты механики самодвижущихся экипажей, т.е. те моменты, которые не связаны с конкретным устройством двигателя, трансмиссии и прочих вещей, милых сердцу каждого автомобилиста. Будем для удобства говорить об автомобиле, но все сказанное будет в равной мере применимо к тепловозу, танку, велосипеду и даже – к детскому заводному автомобильчику. Главный вопрос, конечно, такой: какая сила ускоряет автомобиль? Упоминание в

ФИЗИЧЕСКИЙ

ответе на этот вопрос какой-то «силы тяги», заметим, ничего не объясняет. Надо конкретно указать взаимодействующие тела и описать свойства силы. Для наших целей лучше поставить два разных вопроса. Можно спросить: действие какой силы приводит к изменению импульса автомобиля? А можно спросить: откуда берется кинетическая энергия автомобиля? Как ни странно, ниже мы убедимся, что это действительно разные вопросы. Будем вести речь о нормальном режиме движения, когда колеса не проскальзывают относительно дороги. Для ответа на первый вопрос необходимо указать конкретную внешнюю силу (внутренние силы изменить движения центра масс системы не могут). И такая сила легко находится. Действительно, к ведущему колесу от двигателя передается крутящий момент, под действием которого колесо стремится провернуться относительно дороги, но возникающая между колесом и дорогой сила трения мешает ему это сделать. Ясно, что сила трения, приложенная к колесу, направлена противоположно возможному проскальзыванию, т.е. вперед, по направлению движения автомобиля. Вот действие этой силы и приводит к увеличению импульса автомобиля, можно сказать – заставляет автомобиль двигаться.

Свойства этой силы

Итак, речь идет о силе трения между ведущими колесами и дорогой. Автомобилисты называют ее силой сцепления с дорогой. И обладает она удивительными свойствами. Впрочем, мы можем столкнуться со свойствами этой силы, решая обыкновенные учебные задачи и не думая об автомобиле. Вот, например, известная задача, которую нельзя обойти при изучении динамики вращательного движения, – задача о скатывании цилиндра с наклонной плоскости без проскальзывания. Очень полезно решить ее несколькими разными способами. Заметим, что именно сила трения о плоскость закручивает цилиндр (см. рисунок). И когда вы будете решать эту задачу, записывая закон сохранения энергии для цилиндра, перед вами неизбежно встанет воп-

ФАКУЛЬТАТИВ

рос о величине работы этой силы. Оказывается, работа силы трения в этом случае равна нулю. Если читатель впервые сталкивается с такой мыслью, он скажет: «Что за чепуха? Сила есть, перемещение есть, а работы нет?!» Да, именно так. Дело в том, что эта сила – сила трения покоя, она приложена к точке касания цилиндра с плоскостью, мгновенная скорость которой относительно плоскости равна нулю. Есть перемещение цилиндра, но нет перемещения точки приложения силы. Ничего нового или оригинального в высказанных сейчас соображениях, конечно, нет. И все это без всяких изменений переносится на взаимодействие автомобильного колеса с дорогой. Итак, сила сцепления колеса с дорогой работы не совершает. Но ведь и в школьных задачниках, и в серьезных руководствах по механике автомобиля можно видеть, что авторы записывают работу силы тяги как произведение Fs, где F – сила тяги, а s – пройденный автомобилем путь. Не могут же они все ошибаться! И почему их ошибки не проявляются тотчас же на практике? Этот вопрос подробно рассматривался в «Кванте» в статье А.Черноуцана «Кое-что о силе тяги» («Квант» №5 за 1992 г.). И ответ оказался удивительным и парадоксальным. Какую часть израсходованной на движение энергии можно считать полезной? Разумеется, ту, которая пошла на увеличение кинетической и потенциальной энергии автомобиля и на преодоление сопротивления движению. В упомянутой статье показывается, что эту энергию, израсходованную на пути s, при некоторых разумных предположениях всегда можно записать в виде произведения Fs. И, соответственно, мощность, расходуемая на движение, может быть записана как произведение Fv. Ниже мы укажем совсем простой путь получения этого результата.

КВАНТ 2017/№1

тригонометрические функции и векторы) изложены в [2]. Мы приведем другое доказательство, являющееся в некотором роде развитием приведенного выше доказательства теоремы Помпею. Доказательство. Построим внутрь окружности правильный n-угольник $MA_{1} B_{2} B_{3}^{…}$ … $B_{n} -_{1}$ со стороной $A_{1} M$ (рис.4). Вершины нового многоугольника лежат на отрезках

Мы приведем несколько способов завершить доказательство, но в них всех построенный нами вспомогательный n-угольник будет играть ключевую роль. Первый способ. Внутренние отрезки разбиваются на пары равных, так как это диагонали нового могоугольника. А правильный многоугольник с нечетным количеством сторон имеет ось симметрии, относительно которой его диагонали, проведенные из точки M, будут симметричны друг другу (рис.6).

Рис. 4

$MA_{2}, MA_{3}$ , … $, MA_{n} -_{1}$ , потому что все стороны исходного многоугольника видны из точки M под одним и тем же углом $180 ^\circ n$ , так как она лежит на его описанной окружности. Под тем же углом стороны нового многоугольника видны из его вершины M, ведь она лежит и на описанной окружности нового многоугольника. Будем называть части отрезков $MA_{1}, MA_{2}$ , … $, MA_{n}$ , ограниченные новым многоугольником (рис.5), внутренними отрезками, а лежащие вне него – внешними отрезками.

Рис. 5

Рис. 6

Причем в каждой такой паре один из отрезков будет вести из точки M к вершине исходного многоугольника, имеющей нечетный номер, а другой – к имеющей четный номер. Покажем теперь, что внешние отрезки также разбиваются на пары равных (рис.7). Тогда утверждение задачи будет доказано. Рассмотрим одну из таких пар отрезков $A_{k} B_{k}$ и $A_{m} B_{m} (k + m = n +$ 2) и докажем их равенство (рис.8). Треугольники $A_{1} A_{k} A_{m}$ и

Рис. 7

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Рис. 8

$A_{1} B_{k} B_{m}$ – подобные равнобедренные, так как их вершины – соответствующие при подобии двух правильных n-угольников. Значит, треугольники $A_{1} A_{k} B_{k}$ и $A_{1} A_{m} B_{m}$ равны по двум сторонам и углу между ними, и отрезки $A_{k} B_{k}$ и $A_{m} B_{m}$ равны как их соответствующие элементы. Заметим, что равенство этих отрезков можно было доказать иначе, сославшись на факт 1 из [5]. Второй способ. Проведем в новом n-угольнике его ось симметрии, проходящую через середину стороны $A_{1} M$ . Отразим все внутренние отрезки относительно этой оси. Теперь вершина $A_{1}$ соединена двузвенными ломаными с остальными вершинами исходного многоугольника (рис.9).

КРУЖОК

Рис. 10

потому что у них равны один внешний угол и один внутренний, так как эти углы вписаны в описанные окружности n-угольников. Раз все эти треугольники подобны, то, если для каждого из них двузвенную ломаную заменить на третью сторону(рис.11),

Рис. 11

Рис. 9

Докажем, что суммарная длина красных ломаных равна суммарной длине зеленых ломаных. Дополним эти ломаные до треугольников (рис.10). Они будут подобны между собой, суммарная длина изменится одинаково (уменьшится в одинаковое число раз). Таким образом, вместо сравнения суммарных длин ломаных можно сравнивать суммарные длины третьих сторон треугольников. А они являются диагоналями исходного многоугольника, поэтому разбиваются на пары равных. Третий способ. Построим не только правильный n-угольник со стороной $A_{1} M$ – будем называть его первым, но и еще один правильный n-угольник со стороной $A_{n} M$ – будем называть его вторым (рис.12). Вершины второго многоугольника лежат на отрезках $MA_{2}, MA_{3}$ , … $, MA_{n} -_{1}$ по той же причине, по какой на них лежат вершины первого. Оказывается, что внешние отрезки соответ-