Задачи М2466—М2469; Ф2473—Ф2476

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2366 – М2369 предлагались на заключительном этапе XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2466–М2469, Ф2473–Ф2476

M2466. Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD (см.рисунок). Окружность проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведенная к окружности в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой. А.Кузнецов

M2467. а) Пусть P ( x ) – многочлен степени $n \ge 2$ с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что числа n P

$( a ),^{n} P ( b ) и^{n} P ( c )$ также являются длинами сторон некоторого треугольника. б) Та же задача, где «трeугольник» заменен на «остроугольный треугольник». Н.Агаханов

M2468. Каждая клетка доски 100 ¥ 100 окрашена либо в черный, либо в белый цвет, причем все клетки, примыкающие к границе доски, – черные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2 ¥ 2. Докажите, что на доске найдется клетчатый квадрат 2 ¥ 2, клетки которого окрашены в шахматном порядке. М.Антипов

M2469 *. На доске выписаны в ряд n положительных чисел $a_{1}, a_{2},^{…} a_{n}$. Вася хочет выписать под каждым числом $a_{i}$ число $b_{i} \ge a_{i}$ так, чтобы для любых двух из чисел $b_{1}, b_{2},^{…}, b_{n}$ отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство n - 1

$b_{1} b_{2}^{…} b_{n}$ £ $2^{2} a_{1} a_{2}^{…} a_{n}$. Ф.Петров

Ф2473. На горизонтальной поверхности стола лежит вытянутая в длину цепочка с равномерным распределением массы по длине. Цепочка расположена перпендикулярно краю стола. Столешница имеет закругленный край с радиусом кривизны, который значительно меньше длины цепочки, но значительно больше размеров звеньев цепочки. К ближайшему к краю стола концу цепочки прикреплена невесомая нить, за которую цепочку очень мед-