Очередной набор в ВЗМШ

Квант 2018, №1 с. 54, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63 Тег XLYV

ИНФОРМАЦИЯ

Всероссийская заочная многопредметная школа (ВЗМШ), входящая в структуру московского лицея «Вторая школа» и работающая при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, в пятьдесят четвертый раз проводит набор учащихся. Эта школа была создана по инициативе академика И.М.Гельфанда в 1964 году. Многие годы И.М.Гельфанд возглавлял Научный совет школы. ВЗМШ – государственное учреждение дополнительного образования, доступное для всех желающих, причем не только для школьников, пополнить свои знания в одной или нескольких из следующих областей науки: математика, биология, филология, физика, история (перечисление – в хронологическом порядке открытия отделений). Сейчас ВЗМШ совместно с другими научно-педагогическими учреждениями ведет исследовательские работы по разработке новых интерактивных технологий в образовании и переводу части своих учебно-методических комплексов на язык современных телекоммуникаций. За время существования ВЗМШ удостоверения о ее окончании получили несколько сотен тысяч школьников и тысячи кружков – групп «Коллективный ученик ВЗМШ». Обучение в школе ЗАОЧНОЕ, т.е. начиная с сентября–октября 2018 года все поступившие будут систематически получать специально разработанные для заочного обучения материалы, содержащие изложение теоретических вопросов и методов рассуждений, разнообразные задачи для самостоятельной работы, образцы решений задач, деловые игры, контрольные и практические задания. Контрольные работы учащихся будут тщательно проверяться и рецензироваться преподавателями ВЗМШ – студентами, аспирантами, преподавателями и научными сотрудниками МГУ, а также других вузов и учреждений, где имеются филиалы школы. Многие из преподавателей в свое время сами закончили ВЗМШ и поэтому особенно хорошо понимают, как важно указать, помимо

конкретных недочетов, пути ликвидации имеющихся пробелов в знаниях, порекомендовать дополнительную литературу, поругать за невнимательность и похвалить за заметный (а иногда – и за самый маленький) прогресс и трудолюбие. Поступившие в ВЗМШ смогут узнать об увлекательных вещах, часто остающихся за страницами школьного учебника, познакомиться с интересными нестандартными задачами и попробовать свои силы в их решении. Для многих станет откровением, что задачи бывают не только в математике, физике и химии, но и в биологии, филологии и других науках. Решение задач поможет прояснить и сделать интересными многие разделы, казавшиеся непонятными и скучными. Одна из особенностей учебных программ и пособий ВЗМШ – в том, что они созданы действующими на переднем крае науки талантливыми учеными и опытными незаурядными педагогами. Чтобы успешно заниматься в заочной школе, вам придется научиться самостоятельно и продуктивно работать с книгой, грамотно, четко, коротко и ясно излагать свои мысли, а это, как известно, умеют далеко не все. Возможно, наша заочная школа поможет вам выбрать профессию, найти свое место в окружающем мире. Все выполнившие программу ВЗМШ получают дипломы. Хотя формальных преимуществ они не дают, приемные комиссии многих вузов учитывают, что обладатели этих удостоверений в течение продолжительного времени самоотверженно трудились над приобретением знаний, научились самостоятельно творчески работать, а это значит, что из них получатся хорошие студенты и, в дальнейшем, грамотные, вдумчивые, широко образованные специалисты. Вы сможете получать наши задания как обычной, так и электронной почтой, а также принимать участие в апробации новых интерактивных учебных программ. Для поступления в ВЗМШ надо успешно выполнить вступительную контрольную работу. Приемную комиссию интересует, в первую очередь, ваше умение рассуждать, попытки (пусть поначалу не совсем удачные) самостоятельно мыслить и делать выводы. Преимуществом при поступлении пользуются проживающие в сельской мест-

КВАНТ 2018/№1

ности, поселках и небольших городах, где нет крупных научных центров и учебных заведений и где получить дополнительное образование можно лишь заочно. Решения задач вступительной работы надо написать на русском языке в обычной ученической тетради в клетку. Желающие поступить сразу на несколько отделений каждую работу присылают в отдельной тетради. На обложке тетради укажите: фамилию, имя, отчество, год рождения, базовое образование (сколько классов средней школы будет закончено к сентябрю 2018 года), полный почтовый адрес (с индексом), откуда узнали о ВЗМШ (из «Кванта», от друзей, из афиш заочной школы и т.п.), на какое отделение хотите поступить. Адрес ВЗМШ: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ВЗМШ, на прием (укажите отделение) Телефон: (495) 939-39-30 Обо всех наших отделениях вы можете узнать на общешкольном сайте ВЗМШ: www.vzmsh.ru На ваши вопросы мы ответим по электронной почте: [email protected] Вступительные работы обратно не высылаются. Без вступительной работы, только по заявлению, принимаются на индивидуальное обучение победители областных (краевых, республиканских) туров всероссийских олимпиад по соответствующим предметам, а также участники финальных туров этих олимпиад. Учащиеся ВЗМШ частично возмещают расходы на свое обучение. По просьбе тех, кто не в состоянии внести эту плату, ВЗМШ готова обратиться в школу, в орган народного образования, к другому спонсору с ходатайством об оплате этим благотворителем соответствующих расходов. Помимо индивидуального обучения, на всех отделениях ВЗМШ, кроме биологического, имеется форма обучения «Коллективный ученик». Это группа учащихся, работающая под руководством преподавателя (школьного учителя, преподавателя вуза, студента или другого энтузиаста) и, как правило, по тем же пособиям и программам, что и индивидуально. Прием в эти группы проводится до 15 октября 2018 года. Для

зачисления группы требуется заявление ее руководителя (с указанием его профессии и должности, со списком учащихся и сообщением о том, в каком классе они будут учиться с сентября 2018 года); заявление должно быть подписано руководителем группы, заверено и подписано руководителем учреждения, при котором будет работать группа. Работа с группами «Коллективный ученик» может оплачиваться школами как факультативные занятия. На Северо-Западе России работает Северо-Западная заочная математическая школа при Лицее «Физико-техническая школа» (только математическое отделение, 8–11 классы). Желающие поступить на отделение математики и проживающие на Северо-Западе России (в Архангельской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской областях, Карельской и Коми республиках, а также в Санкт- Петербурге), высылают вступительные работы по адресу: 194021 Санкт-Петербург, ул. Хлопина, д.8, к.3, литер А, С-З ЗМШ при Лицее «ФТШ». Можно отправить скан-копию работы по электронному адресу: mathscool@mail/ru. Этот же электронный адрес можно использовать для связи с С-З ЗМШ. Подробная информация имеется на сайте дистанционного обучения: http://distmath.ru/. Проживающие в остальных регионах России, дальнем и ближнем зарубежье высылают свои работы по математике в адрес ВЗМШ или соответствующего филиала. Адреса филиалов математического отделения ВЗМШ: 241035 г. Брянск, ул. Мало-Орловская, д. 8, тел.: (4832) 56-18-08, e-mail: [email protected]; 610002 г. Киров, а/я 2039, ЦДООШ, тел.: (8332) 35-15-03, 35-15-04, e-mail: [email protected], сайт: http://cdoosh.kirov.ru; 150000 г. Ярославль, ул. Советская, д. 14, тел.: (0852) 11-82-03, e-mail: [email protected].

Ниже вы найдете краткие сведения об отделениях ВЗМШ и условия вступительных контрольных работ.

ИНФОРМАЦИЯ

Отделение математики

Мы заочно обучаем математике школьников 6–11 классов. На индивидуальное обучение принимаем по результатам вступительной работы и высылаем пособия. Куратор руководит обучением: составляет программу, проверяет задания и отвечает на вопросы. На обучение в группе «Коллективный ученик» принимаем по заявлению руководителя группы. Высылаем пособия на всю группу. Ученики присылают на проверку в ВЗМШ одну коллективную работу по каждой теме. Принимаем учащихся на все курсы с 0-го по 5-й (т.е. учеников 6–11 классов). Заявление и вступительную работу присылайте по электронному адресу приема: [email protected] или на почтовый адрес школы: 119234 Москва В-234, Воробьевы горы, МГУ, математическое отделение ВЗМШ. Наш сайт: http://www.math-vzms.org/ Наш телефон: +7 495 93 93 93 0 Если вы хотите учиться индивидуально, выполните вступительную работу, условия задач которой приведены ниже. Решения задач, с которыми удалось справиться, нужно записать в обычной ученической тетради и выслать простой бандеролью вместе с заявлением о приеме в адрес школы. Вступительные работы и заявления принимаются также по электронной почте. В этом случае работа должна быть оформлена в виде файла формата .doc или .pdf, можно также отсканировать текст работы и прикрепить его к заявлению о приеме. Заявление о приеме пишется в свободной форме. Сообщите фамилию, имя, отчество, год рождения, базовое образование (нам было бы удобно прочесть: «С 1-го сентября 2018 года я буду учиться в… классе»), полный почтовый адрес с индексом, откуда узнали о ВЗМШ (из интернета, из журналов «Квант», «Наука и жизнь», от учителя, родителей, друзей или из других источников). Сообщите, пожалуйста, адрес своей электронной почты, если она имеется. Не забудьте указать, что вы поступаете на отделение математики. Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2018 года.

В приведенной ниже вступительной работе рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса (имеется в виду тот класс, в котором вы предполагаете учиться с 1 сентября 2018 года) эта задача предназначается. Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам. Не торопитесь, а если задачи не получаются, возвращайтесь к ним несколько раз. До 15 июня времени еще достаточно. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, тогда присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается.

Задачи

1 (6–7). Простые числа расположили в виде последовательности в порядке возрастания. Верно ли, что среднее арифметическое двух соседних простых чисел не может быть простым числом? 2 (6–7). В коробке лежат воздушные шарики: 10 красных и 10 синих. Продавец не глядя достает по одному шарику. Сколько шариков ему надо вытащить, чтобы среди них обязательно нашлись: а) два шарика одного цвета; б) два шарика разного цвета; в) три шарика одного цвета? 3 (6–7). Припишите к числу 10 справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 12. 4 (6–8). Петя отпил 1/2 стакана кофе и долил его молоком. Потом он отпил 1/3 стакана и опять долил молоком. Наконец, он отпил 1/6 стакана, долил молоком и выпил весь стакан. Чего Петя выпил больше: кофе или молока? 5 (7–10). а) Можно ли занумеровать ребра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров ребер, которые в ней сходятся, была одинаковой? б) Аналогичный вопрос, если расставлять по ребрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 6 (8–10). Два города А и В расположены на берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга. Пароход может проплыть из А в В и обратно за 1 час. Больше или меньше времени понадобится ему, чтобы проплыть 20 км по озеру?

ИНФОРМАЦИЯ

Рис. 2

зеркалом. Экран и зеркало перпендикулярны главной оптической оси линзы. Расстояние от линзы до зеркала F 2, до экрана 3 F 2. Величина r много меньше радиуса линзы. Через экран на линзу падает пучок параллельных световых лучей, параллельных ее главной оптической оси. Каковы будут форма и размеры освещенной области на экране со стороны линзы? 6. Два жука, находящиеся в вершинах А и B квадрата АВСD, начинают ползти вдоль сторон этого квадрата по часовой стрелке. Скорости жуков одинаковы. Нарисуйте траекторию одного из жуков в системе отсчета, связанной с другим жуком. 7. К концам палочки длиной L = 20 см приложены силы $F_{1} = 1$ Н и $F_{2} = 2$ Н, направленные под углом A 45 o к палочке (рис.3). С какой силой F нужно подействовать на эту палочку, чтобы она оставалась в

ния, действующей на поршень, равно Mg 5. В некоторый момент в дне сосуда образуется маленькое отверстие, через которое выходит газ с постоянной скоростью u моль/мин. Постройте график зависимости высоты поршня от времени и найдите, через какое время он опустится до половины высоты сосуда. 10. Магнитное поле занимает область, ограниченную полуплоскостями A и B, которые пересекаются под прямым углом (рис.4).

Рис. 4

Полуплоскости и индукция поля В перпендикулярны плоскости рисунка. Электрон влетает в поле в точке А со скоростью v и при последующем движении пролетает через точку С, причем известно, что AO = OС. Найдите путь, пройденный электроном в области, занятой магнитным полем. Масса электрона $m_{e}$ , заряд e; скорость v лежит в плоскости рисунка.

Отделение филологии

Рис. 3

равновесии? Куда должна быть приложена эта сила? 8. Маленькое тело массой m = 50 г подвешено на идеальной нити длиной L = 30 см. Тело отводят в сторону так, что нить становится горизонтальной, и отпускают. В тот момент когда нить составляет угол A 30 o с вертикалью, происходит обрыв нити. Найдите скорость тела в момент, когда оно будет пролетать точно под точкой подвеса нити. 9. В сосуде, представляющим собой узкий вертикальный цилиндр высотой H, закрытый сверху поршнем массой M, находится N молей кислорода. Стенки сосуда в его верхней трети гладкие, а ниже – шероховатые, причем максимальное значение силы тре-

Отделение существует с 1989 года. За это время подготовлено и издано большое количество уникальных учебных пособий по русскому языку, общему языкознанию, истории и теории литературы. На отделение принимаются все желающие, имеющие базовую подготовку в объеме 7 классов. Сведения о программах и порядке обучения высылаются вместе с извещением о решении Приемной комиссии и размещены на сайте. Вы хотите исправить грамотность? Познакомиться с любопытными проблемами теории и практики русского языка? Освоить приемы лингвистического или литературоведческого анализа? Приобрести навыки, необходимые для успешной сдачи экзаменов? Тогда выполните и пришлите нам всту-

КВАНТ 2018/№1

пительное задание, вопросы которого приведены ниже. Внимание! На первой странице укажите следующие данные: Ф.И.О., какой класс заканчиваете, полный (с индексом!) почтовый адрес, телефон, e-mail. Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2018 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы. Наш e-mail: [email protected]

Вопросы

А.М.Горький долго смеялся, когда бывший сенатор, почтенный старик, уверявший его, что умеет переводить с «десяти языков», принес в издательство «Всемирная литература» такой перевод романтической сказки: «За неимением красной розы жизнь моя будет разбита». Вариант «Ввиду отсутствия красной розы жизнь моя будет разбита» тоже был забракован. Почему, как вы думаете? 2. Андрей Белый считал, что звуковая структура стихотворения М.Ю.Лермонтова «Бородино» строится на борьбе двух музыкальных тем: широкого открытого гласного «а», сопутствующего характеристике русских, и глухого низкого «у», соответствующего теме французов. Попробуйте показать на примерах, как вы понимаете этот тезис А.Белого. 3. Как разные принципы русской орфографии – морфологический, фонетический, традиционный и дифференцирующий – «работают» в словах ПРИПОЗДНИШЬСЯ и РАЗЖЁГ?

Отделение истории

Обучение на отделении позволит всем, в том числе жителям самых отдаленных городов и деревень, расширить свой кругозор, подготовиться к единому государственному экзамену по истории. Успешно прошедшие курс обучения получают диплом. А зачем нужно изучать историю? Во-первых, это просто интересно. Любопытно знать, как жили когда-то люди, во что одевались, чем питались, что читали, как женились и выходили замуж, за что боролись и «на что напарывались». Во-вторых, это полезно. Только зная прошлое, можно понять настоящее и прогнозировать будущее. Мы помо-

жем вам в этом разобраться. Специально для вас опытные преподаватели пишут книжки. Последние новости из мира истории вы узнаете одними из первых! Мы будем поддерживать с вами постоянную связь. По нашим книжкам вы будете выполнять особые задания и сообщать нам, что вы раскопали. Ведь, в сущности, труд историка и состоит из этих раскопок. Историк-археолог, копая землю и песок, отыскивает крупицы ушедших времен; историк-архивариус копается в груде бумаг и достает из архивов и даже из частной переписки все, что может позволить ему понять образ времени; историк-теоретик как увлекательный роман читает археологические таблицы, сухие сводки, статистику и восстанавливает по ним живую ткань ушедшей жизни. У историка особая профессия: он в одном лице следователь, прокурор и адвокат времени. Приведенное ниже вступительное задание нужно выполнить на двойном листе бумаги. Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2018 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы по заявлению руководителя.

Задание

Отгадайте, кто $это:_{i}$ Русский промышленник, ситцевый магнат, $меценат._{i}$ Его жена и друг Вера Николаевна – урожденная $Мамонтова._{i}$ Молодой купец с гидом и картой объехал все европейские музеи и сделался тонким знатоком $живописи._{i}$ В 24 года основал в своем родовом доме частную галерею русской $живописи._{i}$ В 60 лет передал свою галерею в дар $Москве._{i}$ Из всех современных ему художников предпочитал $передвижников._{i}$ Мечтал найти иконы Рублева, но удача улыбнулась другому $коллекционеру._{i}$ Стал первым директором основанного им музея, тратил на него все свои сбережения, но из скромности никогда не являлся на собственные $юбилеи._{i}$ Совершенно бескорыстен. Его бумажник всегда был открыт для $нуждающихся._{i}$ С художниками никогда не торговался. Заказывая картины, платил сполна.

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

i Его именем назван национальный музей и станция метро в $Москве._{i}$ Его портрет работы Репина украшает залы созданного им $музея._{i}$ Его последние слова родственникам: «Берегите галерею». 2. Опишите, не более чем в 7-ми предложениях, политический портрет второго президента России.

Внимание! ВЗМШ проводит набор на курс «Обществознание». Курс включает следующие дисциплины: философия, человек и общество, политология, теория государства, государственное устройство России, право, экономика. Слушателям направляются оригинальные учебные пособия, созданные на основе мно-

РЕШЕНИЯ

голетнего опыта работы авторов курса. Проверка знаний осуществляется с помощью общепринятой системы тестирования. Программа курса рассчитана на 1 год. Обучение носит заочный характер и имеет целью дать выпускникам школ – как крупных городов, так и небольших сел – глубокие знания по общественным дисциплинам, подготовить их к успешной сдаче ЕГЭ по обществознанию. Для записи на курс необходимо отправить заявление до 1 июня 2018 года. В заявлении укажите фамилию, имя, отчество, свой полный домашний адрес (с индексом!), класс, в котором вы будете учиться с 1 сентября 2018 года. Заявление отправьте по адресу: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ВЗМШ (курс «Обществознание»).

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

(см. «Квант» №11 за 2017 г.)

Пусть Алеша собрал Ч ягод черники и Б ягод брусники. Тогда каждый собрал по Ч + Б ягод и всего ребята собрали 9Ч + 11Б ягод. Если ребят не больше 9, то всего ягод не больше 9(Ч + Б), а если ребят не меньше 11, то всего ягод не меньше 11(Ч + Б), в каждом случае количество ягод не может равняться 9Ч + 11Б. Значит, ребят 10, тогда 9Ч + 11Б = 10Ч + 10Б, откуда Б = Ч. 10. а) В качестве первого многоугольника подойдет четырехугольник с углами $70\infty, 70\infty, 90\infty$ и $130\infty$ , а в качестве второго – четырехугольник с углами $70\infty, 70\infty, 70\infty$ и $150\infty$ . б) У первого – один, у второго – ни одного. Оценим, сколько нетупых углов может быть у выпуклого многоугольника. Пусть многоугольник имеет n углов, из которых k нетупые. С одной стороны, сумма углов n-угольника равна $180 \infty$ ◊ ( n - 2 ). С другой стороны, k его углов не больше $90\infty$ , а остальные ( n - k ) меньше $180\infty$ . Получаем неравенство $180 \infty$ ◊ ( n - 2 ) £ $90 \infty$ ◊ $k + + 180 \infty$ ◊ ( n - k ), из которого после преобразования получается k £ 4. Поэтому нетупых углов не больше четырех. При этом равенство достигается только в случае, когда все углы прямые. А значит, острых углов не больше трех. Учитывая это, делаем выводы, что у первого много- угольника может быть только 2 острых угла, у второго – 3 и у них по одному тупому углу. Прямых углов у второго многоугольника нет (так как уже есть три острых). Значит, прямой угол есть у первого многоугольника, и раз у него уже два острых угла, то прямой угол только один. 11. Изобразим девочек точками на плоскости, а мальчиков – линиями (рис.1). Девочке нравится мальчик, если соответствующая ей точка лежит на соответствующей мальчику линии. В качестве мальчиков возьмем стороны равностороннего треугольника, его медианы и вписанную окружность, а Рис. 1 в качестве девочек – точки, где пересекаются три линии. Получится 7 девочек и 7 мальчиков. Такая конфигурация называется плоскостью Фано. 12. а) Можно. Утверждение этого пункта следует из утверждения пункта б). б) Можно. Подпишем около каждой горизонтали количество уголков, которые она пересекает. Так как всего уголков 12 ◊ 12 3 = 48 и каждый из них

КВАНТ 2018/№1

пересекается с двумя горизонталями, то сумма этих чисел равна $48_{◊} 2_{=} 96$ . Докажем от противного: предположим, что среди этих чисел нет больших или равных 9. Если среди них есть число меньше 8, то их сумма не превосходит 95. Значит, все числа равны 8. Верхняя горизонталь пересекает 8 уголков. Очевидно, что все они лежат в двух верхних горизонталях. Эти уголки занимают 8 ◊ 3 = 24 клетки и две верхние горизонтали занимают вместе столько же клеток. Значит, две верхние горизонтали можно отрезать, не повредив при этом уголки. Эти рассуждения для горизонталей можно повторить и для двух левых вертикалей. Таким образом, при отрезании двух верхних горизонталей и двух левых вертикалей уголки не повредятся. Но при этом отрежется левый верхний квадрат 2 ¥ 2, который на уголки не разрезается. в) Нельзя. Контрпример показан на рисунке 2.

Рис. 2

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

Причина этого явления – в перемещении континентальных плит по расплавленным слоям нижележащего вещества. 2. Нет, большая часть объема и массы Земли находится в аморфном состоянии в виде очень вязкой жидкости, а шарообразную форму она восстанавливает под действием сил тяготения. 3. При замерзании воды, попавшей в трещины горных пород, образующийся лед создает давление, превышающее прочность пород, и они начи-

нают крошиться. Другая причина – в неравномерности теплового расширения слагающих породу минералов. При колебаниях температуры они деформируются в разной степени, что также способствует их разрушению. 4. Плотность вещества ядра Земли больше средней ее плотности. Возможный материал ядра – железо, плотность которого 7,8 г $см^{3}. 5.$ Высота горы определяется предельным механическим напряжением, при котором начинает разрушаться кристаллическая решетка, иными словами – весом горы. На Марсе вес тел меньше, чем на Земле, примерно в 2,5 раза, а значит, высота их гор может быть во столько же раз больше. Это подтверждается наблюдениями. 6. Если в озеро поступает больше воды, чем испаряется с его поверхности, то уровень воды в нем может повышаться, но лишь до высоты наиболее глубокого стока, при вытекании из которого и образуется река. 7. Ответ содержится в одном из эпиграфов – эффект размывания берега реки возникает из-за действия сил Кориолиса в неинерциальной, вращающейся вместе с Землей, системе отсчета. 8. В эти моменты Луна и Солнце располагаются на одной линии с Землей, и их воздействие на воду максимально. 9. При вращении Земля стремится повернуть оттягиваемый Луной водяной приливный выступ. Из-за трения между водой и твердым дном океана вращение Земли тормозится и продолжительность суток растет. 10. Вода, охлажденная ниже $4 \infty C$ , на дно не опускается. Образовавшийся на поверхности воды лед также не тонет, так как его плотность меньше плотности воды. 11. Молодой морской лед образуется при резком похолодании из чистой воды, при этом в нем остаются гнезда рассола, придающие ему эластичность, что позволяет льду изгибаться на волнах подобно резиновому ковру. 12. С потерей воды, обладающей большой теплоемкостью, тепловая инертность Земли стала бы значительно меньше. Температура днем была бы выше, а ее колебания в течение суток и в течение года были бы больше. 13. Северный магнитный полюс расположен в Южном полушарии, в Антарктике. От Северного географического полюса он находится на расстоянии свыше 18 тысяч километров. 14. Наличие у Земли магнитного поля. 15. Частицы солнечного ветра (электроны и протоны) закручиваются вокруг линий магнитного поля Земли, проникают к полюсам и сталкиваются с атомами и молекулами воздуха, ионизи-

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

руя и возбуждая их, что приводит к люминесцентному свечению – полярному сиянию. 16. По содержанию изотопов свинца, образовавшегося в горных породах при радиоактивном распаде изотопов урана, что приводит, по расчетам, к возрасту коры Земли в 4,5 миллиарда лет.

Микроопыт

Неглубокие лужи промерзают до дна; идя по ним, можно лишь чуть поскользнуться. А вот на тонкий лед, покрывший за ночь глубокую лужу, наступать более опасно – провалившись, вы, как минимум, промочите ноги.

РЕШЕНИЯ

одного знака и два – другого. Отсюда – ответ. 2. Существуют, например 100! – 100, 100! – – 99, …, 100! – 2. 3. Рассмотрим 26-ю, 52-ю и 78-ю монеты. Ясно, что среди них ровно одна фальшивая. Сравнение любых двух из трех монет выявит ее. Есть много других способов, например, сравнить первые 25 или 26 монет с последними. 4. Можно. Решение (Авиэль Боаг, Израиль). Достаточно даже 25 ходов. Будем двигаться по пути, указанному на рисунке 3. Когда миноискатель сработа-

ДЛИННЫЕ ПУТИ В ГРАФАХ

Не может. Указание. Ход коня меняет цвет клетки. 4. Не может. Указание. Позицию назовем одноцветной, если фишки находятся на полях одного цвета, и разноцветной – в противном случае. Найдите количества одноцветных и разноцветных позиций и используйте тот факт, что за один ход разноцветная позиция становится одноцветной, и наоборот. 6. 23. Указание. Нарисуйте соответствующий граф позиций, покрасьте его вершины в два цвета и оцените длину пути, исходя из теоремы 2. 9. Указание. Покрывающее множество из p путей можно добавлением p – 1 ребер превратить в один путь. 10. 2 способа. Указание. Рассмотрите в «коневом графе» гамильтонов цикл. 11. а) 16 кузнечиков; б) 1 рассадка. Указание. Можно использовать путь кузнечика из задачи 5. 12. а) 6 бусинок; б) 125 хороших ожерелий; в) d [ m 2 ] бусинок и $t^{d}$ хороших ожерелий, где d = НОД ( n, k + 1 ), m = n d, t = 2, если m четно, и t = m, если m – нечетно. Указание. Выясните, какова структура «графа запретов».

XXXIX ТУРНИР ГОРОДОВ

ЗАДАЧИ ОСЕННЕГО ТУРА (2017 ГОД)

Базовый вариант

8–9 классы

Четыре положительны, шесть отрицательны. Если бы среди имеющихся чисел нашлись четыре числа одного знака, то уже они дали бы шесть сумм этого знака. Поэтому имеется три числа

Рис. 3

ет впервые, клад сможет находиться не более чем в трех клетках. Например, если он сработал в черной клетке, то подозрительными будут три клетки, помеченные плюсами. Из них легко выбрать нужную за два хода. Если металлоискатель впервые сработает на 24-м ходу, то подозрительных клеток останется две, а на 25-м – одна, и оставшихся ходов хватит. Если миноискатель не сработает ни разу, то клад – в красной клетке. Как показала проверка на компьютере, 24 ходов недостаточно. 5. Окружность лежит в восьмиклеточной рамке, окружающей указанную клетку, иначе расстояние от точки окружности вне рамки до дальней вершины исходной клетки будет больше 2 – диаметра окружности. Поэтому окружность разбивается на восемь дуг чередующихся цветов (белые дуги могут быть нулевыми). Заметим, что каждая черная дуга не меньше $60\infty$ , поскольку стягивающая ее хорда не меньше стороны клетки, т.е. радиуса окружности. Поэтому четыре черные дуги составляют не менее 2/3 длины окружности.

10–11 классы

Не существуют. Пусть { x } = A, { y } = B, тогда { x + y } = { A + B }.

Из условия следует, что A + B - AB – целое число. Значит, и число

1 - ( A + B ) + AB =

= ( 1 - A )( 1 - B ) – целое. Но это не так. 2. Проведем в общей точке A этих окружностей

КВАНТ 2018/№1

касательные l и m соответственно. Угол между l и хордой AB равен углу C. Угол между m и хордой AL равен

– AKL = – KAC + – KCA = 2 – KCA = – C.

Следовательно, прямые l и m совпадают, что и требовалось. 3. 120. Всего сумм 210, т.е. по 105 сумм каждого знака. Пусть было х чисел одного знака и y – другого. Нам надо минимизировать количество xy отрицательных произведений. При фиксированной сумме произведение чисел тем меньше, чем дальше они друг от друга. Ни одно из чисел х и y не может быть больше 15 (иначе количество сумм одного знака будет больше 15 ◊ 14: 2 = 105 ), поэтому наилучший результат будет при х = 15, y = = 6 (или наоборот). При этом количество отрицательных произведений равно 90. Нужное количество положительных сумм достигается, например, если пятнадцать чисел равны 1, а шесть равны –2. 4. Может в обоих пунктах. а) Возьмем такой правильный тетраэдр, что шар, касающийся его ребер, высекает на гранях круги радиуса больше 4. Затем будем отдалять одну из граней от центра шара, пока в этой грани не высечется круг радиуса 4. Тетраэдр при этом останется правильным, радиусы кругов в других гранях не изменятся. Аналогично отдалим остальные грани, чтобы получить нужные круги. б) Рассмотрим шар с центром O радиуса 5. Опишем вокруг него правильный тетраэдр. На радиусах, соединяющих O с точками касания, найдем точки, для которых плоскости, проходящие через эти точки и перпендикулярные этим радиусам, пересекают шар по кругам радиусов 1, 2, 3, 4. Осталось доказать, что эти четыре круга не пересекаются (тогда указанные плоскости образуют тетраэдр). Достаточно доказать это для кругов радиусов 3 и 4. Заметим: если бы соответствующие радиусы были перпендикулярны, то круги касались бы (поскольку треугольник со сторонами 3, 4, 5 прямоугольный). Так как угол между радиусами на самом деле тупой, круги пересекаться не будут. 5. Раскрасим клетки в шахматном порядке так, что левая нижняя клетка X – черная. Тогда левая верхняя Y – белая. Из черной клетки X делается горизонтальный ход, следующий ход – из белой вертикально, потом – снова из черной горизонтально и так далее, чередуясь. Это значит, что из черной клетки фишка всегда выходит горизонтально, а из белой – вертикально. В частности, в Y фишка попала горизонтальным ходом.

Пусть одинаковых ходов не было. Тогда никакую сторону клетки фишка не может пересечь дважды: в том же направлении – в силу предположения, а в противоположном – в силу указанного выше чередования. Поскольку пройденную сторону клетки снова проходить нельзя, будем «строить» вдоль нее стену. Очевидно, стены образуют связное множество. Когда фишка доберется до Y, стены соединят нижний и верхний края доски. Вся доска разобьется стенами на области, причем Y и правая верхняя клетка Z окажутся в разных областях. Следовательно, из Y в Z фишка пройти не сможет. Противоречие.

Сложный вариант

8–9 классы

Удастся. Положим гирю на левую чашу и уравновесим ее 8 кг сахара. Уберем гирю и насыпем на левую чашу 6 кг сахара. Поменяем пакеты местами и доложим на правую чашу гирю. Теперь на левой чаше – 8 кг, на правой – 12 кг. Для равновесия не хватает 1 кг сахара на левой чаше, который и насыпаем. 2. Можно. На рисунке 4 центры четырех монет находятся в вершинах двух треугольников со сторонами 3, 4, 5.

Рис. 4

Не могло. Заметим сначала, что произведение двух k-значных чисел – либо ( 2 k - 1 ) -значное число, либо 2k- значное. Действительно, наименьшее k-значное число $10^{k-} 1$ , умноженное само на себя, дает число $10^{2} k-^{2}$ , в котором 2k – 1 знаков, а наибольшее k- значное число, умноженное само на себя, дает меньше, чем наименьшее ( k + 1 ) -значное число $10^{k}$ , умноженное само на себя, откуда результат меньше наименьшего ( 2 k + 1 ) -значного числа $10^{2} k$ . Пусть даны числа $a_{k} a_{k} -_{1}^{…} a_{2} a_{1}$ и $a_{1} a_{2}^{…} a_{k} -_{1} a_{k}$ . Представим себе, что мы умножаем их в столбик. В самом правом разряде будет стоять $a_{1} a_{k}$ (возможно, с переносом, который уйдет в следу-

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

ющие разряды), и в ( 2 k - 1 ) -м справа разряде тогда – минимум $a_{1} a_{k}$ . По условию, $a_{1} a_{k}$ оканчивается на 1. Если есть еще и перенос, то $a_{1} a_{k}$ не меньше 11, и как минимум этот же перенос есть и в ( 2 k - 1 ) -м разряде. Но произведение двух цифр не может дать 11, т.е. $a_{1} a_{k}$ еще больше. Значит, в ( 2 k - 1 ) -м разряде после всех переносов должно получиться минимум 111 (иначе в итоге не получится число из одних единиц), что невозможно – в нашем произведении будет слишком много цифр (не меньше 2k + 1). Поэтому переноса нет, и $a_{1} = a_{k} = 1$ . Тогда произведение наших чисел будет меньше, чем 2 ◊ $10^{k} -^{1}$ ◊ 2 ◊ $10^{k} -^{1} = 4$ ◊ $10^{2} k^{-} 2$ , т.е. в произведении 2k – 1 разрядов. Посмотрим теперь на второй разряд справа. Там стоит $a_{k} a_{2} + a_{k} -_{1} a_{1}$ , возможно, с переносом. Если перенос есть, то минимум такой же перенос будет и в ( 2 k - 2 ) -м разряде, и единица в ( 2 k - 1 ) -м разряде испортится. Значит, переноса нет, и $a_{k} a_{2} + a_{k} -_{1} a_{1} = 1$ . Аналогично получаем, что и в третьем разряде (справа и слева) переноса нет и там 1, и так далее. Так мы дойдем до середины и получим, что там тоже 1 без переноса. Но на среднем месте стоит $a_{1}^{2} +$ … $+ a_{k}^{2}$ , что не меньше 2 (ведь $a_{1} = a_{k} = 1 ).$ Противоречие. Значит, число из одних единиц получить нельзя.

(

)(

РЕШЕНИЯ

юго-западная вершина, B – юго-восточная (рис.5). Назовем весом узла сетки минимум из длин пути по сетке от него до вершин A и C. Во все внутренние узлы, а также в B и D стрелок

)

10–11 классы

Рассмотрим угол, симметричный данному относительно точки O. По теореме о величине угла между хордами, эти два угла высекают на каждой окружности две дуги суммарной величины 2A, а на всех шести окружностях – 12 углов суммарной величины 12A. Поскольку картинка симметрична относительно O, каждый из углов высекает по шесть дуг суммарной величины 6A. 6. Будем использовать стандартные обозначения a, b, c и p для длин сторон и полупериметра треугольника ABC. Пусть первая вневписанная окружность касается прямой BC в точке K. Поскольку KM – медиана прямоугольного треугольника CKI, то при повороте на угол $J = 180 \infty -$ – C прямая BC переходит в прямую AC. При этом точка K переходит в C, точка B – в $B_{1}$ , а точка $A_{1}$ – в A (как известно, $KB = = CB_{1} = p$ – $a, BA_{1} = B_{1} A = p - c ).$ Поэтому $MA = MA_{1}, MB = MB_{1}$ . Равнобедренные треугольники $A_{1} MA$ и $B_{1} MB$ подобны (у обоих углы при вершине M равны J ). Значит, – MAN = – $MAA_{1} =$ – $MB_{1} B =$ – $MB_{1} N$ , что и требовалось. 7. На каждом ребре сетки (отрезке улицы) поставим стрелки в направлениях на север или на восток. Пусть город – квадрат ABCD, где A –

Рис. 5

входит и выходит поровну, назовем эти узлы равновесными. В узлы на интервалах BC и CD входят две стрелки, выходит одна, назовем эти узлы финальными, обозначим их $B_{k}$ на BC и $C_{k}$ на CD, где k – вес. А в узлы на интервалах AB и AD входит одна, выходят две стрелки, назовем эти узлы стартовыми, обозначим их $A_{k}$ на AB и $D_{k}$ на AD. Пути из A в C идут по стрелкам. Пути из C в A идут против стрелок, но их тоже будем считать путями по стрелкам из A в C. Каждый путь имеет длину 2n, веса узлов на нем сначала возрастают от 0 до n, затем убывают от n до 0. Будем нумеровать дни, начиная с 0, а также считать, что пройденные ребра окрашиваются в синий цвет (исходный цвет ребер – черный). Докажем индукцией по k, что в k-й день станут синими ровно 4 n k ребер, после этого все ребра, инцидентные узлам веса не более k, будут синими, а все синие ребра, инцидентные узлам веса больше k, будут пройдены только по разу. База (k = 0). Проведем любой путь из A в C. Заведомо есть еще один путь из A в C по еще не пройденным стрелкам, например симметричный предыдущему относительно прямой AC. Проведем любой такой путь. Все четыре ребра, инцидентные A и C (т.е. узлам веса 0), пройдены. Каждый из узлов веса 1 имеет степень 3, через каждый прошел один путь. Шаг индукции. Пусть настал k-й день. Первые k звеньев любого пути выходят из узлов с весами от 0 до k – 1. По предположению индукции, они пройдут по синим ребрам. То же верно для k последних звеньев. Значит, на пути может быть не более 2 n k черных ребер. Докажем, что есть путь, где таких ребер ровно 2 n k. На сторонах квадрата остались узлы веса не