Вероятность и последняя цифра произведения

17

НА М

Рассмотрим одно из простейших применений кинематической формулы. Пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ – выпуклые ограниченные множества. Обозначим (как это сделано в уже упомянутой статье [5]) через $C_{1} C_{2}$ множество середин отрезков, один конец которых принадлежит $C_{1}$, а второй – $C_{2}$. Множество $C_{1} C_{2}$, конечно, выпукло. Задача 5. Докажите, что длина границы множества $C_{1} C_{2}$ есть полусумма длин границ множеств $C_{1}$ и $C_{2}$. Идея, заложенная в кинематической формуле, оказывается очень продуктивной в пространствах бульших размерностей. Например, в трехмерном случае средняя площадь проекции выпуклого множества на (двумерные) плоскости есть (с точностью до постоянного множителя) площадь его поверхности, а средняя длина его проекции на (одномерные) прямые есть (опять же, с точностью до некоторого множителя) коэффициент c при $r^{2}$ в трехмерной формуле Штейнера, о «физическом» смысле которого мы спрашивали ранее. В n-мерном пространстве этот под-

П И ШУ Т

ход позволяет построить серию смешанных объемов выпуклого тела, каждый из которых является новой дополнительной «физической» характеристикой тела наряду с его объемом и площадью поверхности.

Авторы выражают глубокую благодарность М.В.Козлову за ценные советы и замечания.

Литература 1. Начала Евклида. Книги I–VI. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 («Классики естествознания»). 2. T.Bonnesen, W.Fenchel. Theorie der Konvexen Kцrper. – Teubner, Leipzig, 1934. 3. Г.Г.Магарил-Ильяев, В.М.Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. – М.: Либроком, 2016. 4. L.W.Szczerba and W.Szmielew. On the Euclidean geometry without the Pasch axiom. – Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 18 (1970), 659–666. 5. Н.Васильев. Сложение фигур. – «Квант», 1976, №4. 6. В.Тихомиров. Теорема Ферма–Эйлера о двух квадратах. – «Квант», 1991, №10.

НА М П И ШУ Т

Вероятность и последняя цифра произведения

Наш читатель Е.Знак заметил и доказал, что цифра «1» обладает следующим интересным свойством: она не более вероятна, чем любая другая цифра, как последняя цифра произведения двух случайных натуральных чисел и она не менее вероятна, чем любая другая цифра, как последняя цифра степени случайного натурального числа со случайным натуральным показателем. Прежде всего надо определиться, в каком смысле говорится о случайных натуральных числах. Будем считать, что вероятность выбора числа с данной последней цифрой для всех цифр одинакова и равна 1/10. Аналогично, вероятность выбора числа с данным остатком при делении на 4 равна 1/4, и т.д. Такая договоренность вполне соответствует следующей модели выбора натурального числа: из данного большого количества N подряд идущих натуральных чисел с равной вероятностью выбирается одно так, что вероятность выбора конкретного числа равна 1/N. Таблица умножения остатков при делении на 10 (табл.1) позволяет легко непосредственно сосчи-

Таблица 1 тать вероятность того, что произведение двух случайных натуральных чисел оканчивается на данную цифру. В этой таблице меньше всего цифр «1», «3», «7», «9» – по четыре штуки,

(Продолжение см. на с. 29)

20

К В АН T 2018/№6

квантовой механики). На самом деле в середине 20-х годов, после создания квантовой механики, в России (и не только в России) пути математики и физики серьезно разошлись. Лучшие математики – современники Колмогорова – за очень немногими исключениями не знали даже математического языка теоретической физики. Новый язык теоретической физики начал создаваться примерно в 1925 году. Судя по тому, что писали физики того времени, решающим моментом в расхождении математики и физики было возникновение не теории относительности, ее роль была осознана позднее, а квантовой теории. В Москве, вероятно, один лишь Гельфанд выучил новую физику. Иногда физики участвовали и в работе его семинара; однако в конце 50-х годов Гельфанд полностью прекратил эту деятельность, и физики пропали с его семинара на целых двадцать лет. […]

Изучение физики

[…] Одновременно и независимо друг от друга мы [с Ю.И.Маниным] решили изучить квантовую физику (мой $брат^{6}$ говорил мне, что математики должны обязательно знать квантовую теорию). Сначала я пытался выучить квантовую теорию поля так же, как математики обычно учат новые вещи, и обнаружил, что эта задача совершенно невыполнима; возможно, такая попытка и вовсе глупа. Стиль, который мне очень нравится, – это стиль лекций Эйнштейна или лучших лекций Ландау. Я понял, что основой этой науки является естественность, – и ровно это же я ранее понял из чтения книг по топологии. Топологи того времени, такие как Жан-Пьер Серр, Рене Том или Джон Милнор, иногда в своих лекциях опускали определения, они просто говорили: «это определяется естественным образом». И вот я узнал этот стиль «естественности» в лекциях Эйнштейна и в лучших книгах Ландау. (Не все книги Ландау одинаково хороши, но собрание их всех очень ценно. Наши студенты, желающие заниматься теоретической

физикой, должны изучить все эти книги к 22 годам. Это основа для начала самостоятельной работы.) Мы с Маниным обсуждали различные парадоксы и неясности квантовой теории, к которым мы относились одинаково. Помню, как Манин говорил мне, что всякий математик эти неясности обнаружит, но что при этом было бы ошибкой остановиться и заняться критикой этих неясностей. Многие математики, включая моих учеников, испытывают серьезные трудности при изучении теоретической физики. Они пытаются учить ее так же, как математику: если они натыкаются на что-то непонятное, они останавливаются. Я могу с уверенностью сказать, что физики также натыкаются на множество непонятных вещей; тем не менее надо продолжать двигаться вперед, а продумывать эти непонятные вещи надо только выйдя на определенный уровень и достаточно поупражнявшись. Очень трудно выполнить программу Гильберта и переписать теоретическую физику в аксиоматическом стиле. Гильберт проделал важную работу после того, как Эйнштейн открыл общую теорию относительности: он понял, что уравнение Эйнштейна является уравнением Эйлера– Лагранжа для некоторого функционала. Таким образом он нашел подтверждение (для случая уравнения Эйнштейна) того общего принципа, что аксиомы всякой фундаментальной физической теории должны начинаться с принципа $Лагранжа^{7}$. Тем самым программа Гильберта оказалась полезна для него самого, коль скоро он применил ее таким образом. Однако же мне не нравятся попытки некоторых моих друзей – очень хороших специалистов по математической физике, работающих по программе Гильберта, – сделать физику строгой. Я думаю, что это невозможно. Можно доказать хорошую теорему здесь, хорошую теорему там о некоторой физической ситуации. Тем не менее, я уверен, что Ричард Фейнман был прав, когда говорил, что глобально этого добиться невозможно (иногда это могло бы получиться локально). Развитие физики проте-