Задачи М2514—М2517; Ф2521—Ф2524

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2514–М2517 предлагались на заключительном этапе XLIV Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2514–М2517, Ф2521–Ф2524

M2514. Даны натуральные числа a и b. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n таких, что число $a^{n} 1$ не делится на $n^{b} 1$. А.Голованов

M2515. В карточной игре каждой карте сопоставлено числовое значение от 1 до 100, причем каждая карта бьет меньшую, за одним исключением: 1 бьет 100. Игрок знает, что перед ним лежат рубашками вверх 100 карт с различными значениями. Крупье, знающий порядок этих карт, может про любую пару карт сообщить игроку, какая из них какую бьет. Докажите, что крупье может сделать сто таких сообщений, чтобы после этого игрок смог точно узнать значение каждой карты. И.Богданов, К.Кноп, Ю.Кузьменко

$M2516^{*}$. Изначально на доске записано натуральное число. Затем каждую секунду к текущему числу прибавляют произведение всех его ненулевых цифр. Докажите, что найдется натуральное a такое, что прибавление числа a случится бесконечное количество раз. Д.Крачун

$M2517^{*}$. На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки P и Q соответственно так, что PQ P BC (рис. 1). Отрезки BQ и CP пересекаются в точке O. Точка A c симметрична точке A относительно

Рис. 1

прямой BC. Отрезок A c O пересекает окружность Z, описанную около треугольника APQ, в точке S. Докажите, что окружность, описанная около треугольника BSC, касается окружности Z. А.Кузнецов Ф2521. В результате столкновения астероидов образовались два осколка, разлетающиеся с одинаковыми скоростями, направленными под углом M друг к другу. Найдите отношение полуосей орбиты первого осколка, если орбита второго оказалась круговой. Орбиты осколков лежат в одной плоскости. Д.Александров

Ф2522. На горизонтальной дороге перед красным светофором скопилась колонна