Задачи М2518—М2521; Ф2525—Ф2528

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2518–М2521 предлагались на III Кавказской математической олимпиаде.

Задачи М2518–М2521, Ф2525–Ф2528

M2518. Графики двух квадратных трехчленов пересекаются в точках A и B (рис.1).

существует бесквадратный способ разбиения на пары. Докажите, что в таком случае существует не менее n! бесквадратных способов разбиения этих 2n чисел на пары. П.Кожевников

M2520. На изначально пустую доску 8 ¥ 8 одна за другой выставляются фишки. Фишку можно ставить только в клетку, которая граничит по стороне хотя бы а) с двумя; б) с тремя свободными клетками. Какое наибольшее число фишек мы можем выставить на доску по таким правилам? Д.Белов, В.Брагин

Рис. 1

Через вершину O первого из них проведены прямые OA и OB, они пересекают второй график в точках C и D соответственно. Докажите, что прямая CD параллельна оси абсцисс. А.Антропов

M2519. Назовем способ разбиения множества из 2n натуральных чисел на n пар бесквадратным, если ни в одной паре произведение чисел не является квадратом натурального числа. Известно, что для данных 2n различных натуральных чисел

M2521. В каждую клетку таблицы n ¥ n Мортеза поместил некоторую функцию [ 0; 1 ] Æ [ 0; 1 ] (т.е. всего $n^{2}$ функций, каждая из которых определена на отрезке [ 0; 1 ] и принимает значения из отрезка [ 0; 1 ] ). Павел хочет поместить слева от каждой строки и снизу под каждым столбцом еще по одной функции [ 0; 1 ] Æ [ 0; 1 ] (т.е. еще 2n функций) так, чтобы для любой строки и любого столбца было выполнено следующее условие: если под этим столбцом помещена функция f, слева от строки помещена функция g, а в пересечении этого столбца и этой строки помещена функция h, то для любого x Œ [ 0; 1 ] верно равенство h ( x ) = f ( g ( x ) ). Докажите, что Павел всегда сможет осуществить свой замысел. М.Сагафиян (Иран)

15

ЗАДАЧНИК

делится на $p^{D+} 1 ).$ Аналогично, пусть p входит в разложения b и c в степенях E и J соответственно. Для определенности считаем, что $D \ge E \ge J$. Тогда p входит в разложения НОД ( a, b ) и НОК ( b, c ) в степени E. Из делимости c ⋮ НОД ( a, b ) вытекает, что $J \ge E$, а из делимости НОК ( b, c ) ⋮ a следует, что $E \ge D$. Таким образом, D = E = J, что и требовалось. б) Пусть данные числа – это a, b, c, d. Достаточно доказать, что фиксированное простое число p входит в разложение числа abcd в четной степени. Снова обозначим степени вхождения p в разложения: пусть для чисел a, b, c, d они равны D, E, J, G соответственно, при этом для определенности считаем, что $D \ge E \ge J \ge G$. Так как d ⋮ НОД ( a, b, c ), то $G \ge$ min { D, E, J } = J. Значит, J = G. Так как НОК ( b, c, d ) ⋮ a, то E = max ${ E, J, G } \ge \ge D$. Значит, D = E. Следовательно, p входит в разложение числа abcd в четной степени D + E + J + G = = 2 ( D + J ). Это и требовалось установить. Из решения задачи б) нетрудно получить полное описание всех четверок чисел a, b, c, d, удовлетворяющих условию. В отличие от пункта а), легко привести примеры четверок различных чисел, удовлетворяющих условию. Например, a = pq, b = p, c = q, d = 1, где p и q – различные простые числа. Б.Френкин

M2507. Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, а точка P лежит на стороне AB (рис.1). Диагональ AC пере-

Рис. 1

«КВАНТА»

секает отрезок DP в точке Q. Прямая, проходящая через P параллельно CD, пересекает продолжение стороны CB за точку B в точке K, а прямая, проходящая через Q параллельно BD, пересекает продолжение стороны CB за точку B в точке L. Докажите, что описанные окружности треугольников BKP и CLQ касаются.

Мы докажем, что окружности BKP и CLQ касаются в точке T повторного пересечения прямой DP и окружности ABCD (рис.2). Так как четырехугольник BCDT

Рис. 2

вписанный, получаем – KBT = – CDT. Поскольку KP P CD, имеем – CDT = – KPT. Таким образом, – KBT = – CDT = – KPT, откуда следует, что T лежит на окружности BKP. Аналогично, равенства – LCT = = – BDT = – LQT показывают, что T также лежит на окружности CLQ. Остается доказать, что эти окружности в самом деле касаются в точке T. Пусть m – касательная, проведенная в точке T к окружности BKTP. По теореме об угле между касательной и хордой, угол D между прямой m и прямой TD равен углу TBP. Но – TBP = – TBA = – TCA = – TCQ. Из равенства D = – TCQ следует касание прямой m и окружности CLTQ. Тем самым, m – общая касательная окружностей, и задача решена. Отметим, что точка T может быть также описана как точка Микеля для любой четверки из пяти прямых AB, BC, AC, KP, LQ. Конечно, утверждение задачи будет верно для аналогичной конструкции, где P – произвольная точка на прямой AB (не

17

ЗАДАЧНИК

нашего разбиения. Тогда Анна ориентирует отрезок t таким образом, чтобы либо обе стрелки на отрезках s и t входили в вершину уголка, либо обе выходили из вершины уголка (примеры показаны на рис.2). Заметим, что после каждого хода Анны лю-

«КВАНТА»

стратегию для разбиения решетки только на ЛН-уголки. И.Богданов, М.Дидин

$Ф2513.^{1}$ Два очень длинных стержня вращаются с постоянными угловыми скоростями Z и 2 Z вокруг параллельных осей, проходящих через их концы А и В (см. рисунок). Расстояние между осями l, в

Рис. 2

бой уголок нашего разбиения либо состоит из двух уже ориентированных отрезков, либо из двух еще не ориентированных. Это означает, что Анна всегда сможет сделать свой ход по указанной выше стратегии. Предположим, что на некотором шаге Боб все-таки выиграл, т.е. появился ориентированный цикл C. Найдем самую левую из вертикальных линий сетки, на которой есть узлы цикла C, и среди этих узлов выберем самый нижний. Обозначим этот узел через X, т.е. X – «самый нижний из самых левых». Аналогично определим «самый верхний среди самых правых» узлов цикла C. Если X лежит строго левее средней линии, то X – вершина некоторого ЛН-уголка, у которого оба отрезка ориентированы. По определению узла X, оба эти отрезка входят в цикл C. Но, согласно стратегии Анны, эти отрезки ориентированы таким образом, что они не могут быть в ориентированном цикле. Иначе, узел Y лежит строго правее средней линии, и аналогичные рассуждения для узла Y приводят к противоречию. Таким образом, Боб никогда не выиграет. Задача решена. Более простой вариант этой задачи получится, если Боб ходим первым. В этом случае достаточно использовать парную начальный момент оба стержня направлены направо. По какой траектории движется точка пересечения стержней O? Найдите скорость и ускорение этой точки через время t = S ( 6 Z ) после начала движения. Ответ обоснуйте.

Пусть после начала движения (когда стержни были направлены направо) прошло некоторое время t, которое меньше времени половины оборота правого стержня, т.е. t < S ( 2 Z ). Рассмотрим треугольник АВО, где А и В – концы стержней, вокруг которых они вращаются, О – точка пересечения стержней в этот момент. Очевидно, этот треугольник равнобедренный, в котором АВ = ВО. Действительно, поскольку угол АВО равен S - 2 Z t и угол ОАВ равен Z t, то угол АОВ равен S - Z t - ( S - 2 Z t ) = Z t. Таким образом, в треугольнике ОАВ равны углы АОВ и ОАВ, а следовательно, этот треугольник равнобедренный, в котором АВ = ВО в любой момент времени. Так что расстояние от точки В до точки пересечения стержней О остается одинаковым в процессе движения и равным l. Следовательно, точка пересечения стержней движется с постоянной угловой скоростью 2Z по окружности с центром в точке В и радиу-

1 Автор решений задач Ф2513–Ф2516 – С.Муравьев.