Кажущиеся прямые и попятные движения планет принадлежат не им, но Земле. Николай Коперник
… в этом труде я соединяю небесную физику с астрономией. Иоганн Кеплер
… Кеплер нашел истинную форму орбиты Земли и характер движения Земли по этой орбите. Все мы, кто родились позже, должны ему поклоняться и воздавать хвалу. Альберт Эйнштейн
… я сравнил силу, требуемую для того, чтобы удерживать Луну на ее орбите, с силой тяготения на поверхности Земли и нашел, что они весьма близки. Исаак Ньютон
Конечная цель небесной механики состоит в разрешении великого вопроса: может ли закон Ньютона, и только он один, объяснить все астрономические явления?.. Анри Пуанкаре
По яйцевидному пути Летит могучая комета.
Константин Бальмонт
Во времена Кеплера некоторые считали, что планеты движутся вокруг Солнца, потому что невидимые ангелы толкают их вдоль орбиты. Это не так уж далеко от истины: ангелы толкают планеты, но не вдоль, а поперек орбиты, в направлении к ее центру. Ричард Фейнман
А так ли хорошо знакома вам
?
небесная механика
Итак, в нашем астрономическом путешествии мы, наконец, вышли за пределы Земли. И прежде всего натолкнулись на проблемы описания космических траекторий, по которым следуют небесные тела. До поры до времени единственным источником информации о них были лишь наблюдения невооруженным глазом, что зачастую приводило к необоснованным домыслам либо к весьма сложным теоретическим концепциям. Да еще эти материалистические построения необходимо было согласовывать с религиозными канонами! Несмотря ни на что, картина окружающего нас мира пополнилась за многие столетия новыми деталями, а с изобретением оптических приборов был совершен форменный прорыв в познании космоса. Вглядываясь в окуляр телескопа, астрономы изрядно расширили наши представления о Солнечной системе. Оказалось, что движения входящих в ее состав планет, комет и астероидов подчиняются открытым учеными законам, теперь позволяющим не только объяснить, но и предсказать их дальнейшую судьбу. Сегодня же поразительным подтверждением всеобщности этих законов служит обнаружение все новых экзопланет, входящих в состав невероятно далеких от нас подобий Солнечной системы. Созданная человеческим гением небесная механика работает и там! Попробуем убедиться в ее достоверности пока на более близких нам примерах.
Вопросы и задачи
- В каком направлении будет происходить суточное движение звезд, Солнца и Луны для наблюдателя в Северном полушарии, если он повернется лицом к южной стороне горизонта? 2. Как можно надежно отличить на небосводе планету от звезды? 3. В какое время года Солнце быстрее движется относительно звезд (по эклиптике)? 4. Допустим, что Солнце неожиданно сколлапсировало в черную дыру. Как при этом изменится орбитальный период Земли? 5. Если бы масса Луны была вдвое больше, но она продолжала бы обращаться по той же орбите, то каким бы стал период ее обращения? 6. О каком периоде обращения Луны шла речь в предыдущей задаче? 7. На географическом полюсе Земли Сол-
нце полгода находится над горизонтом и полгода – под ним. А Луна? 8. Если бы орбита Луны лежала строго в плоскости эклиптики, то солнечные и лунные затмения происходили бы реже или чаще, чем сейчас? 9. По результатам каких измерений можно установить, что орбита Земли не является Является ли орбита Земли Марс лучше всего виден с Земли, когда она расположена между ним и Солнцем. Каковы в это время условия видимости Земли с Может ли на какой-либо планете день быть длиннее Почему кольца Сатурна иногда «исчезают»? Существует ли планета, находящаяся к Солнцу ближе, чем Почему орбиты комет при их движении через планетную систему часто испытывают заметное изменение?
Микроопыт
Понаблюдайте за звездным небом в ясную безоблачную ночь. Сможете ли вы отличить звезду от планеты за несколько минут наблюдения невооруженным глазом?
Любопытно, что…
… первым, кто пытался аргументировать, что в центре Вселенной не Земля, а Солнце, был древнегреческий астроном Аристарх Самосский в 3 веке до н.э. – за 18 веков до Коперника! Гелиоцентрическая доктрина Аристарха навлекла на него обвинение в богоотступничестве, и он вынужден был покинуть Афины. … чтобы выяснить истинное движение планет среди звезд, Архимед сочетал наблюдения с расчетами, проводимыми с созданной им механической моделью Солнечной системы. Однако в решении столь трудной задачи небесной механики он, как и его предшественники, потерпел неудачу. … полную победу гелиоцентрическая модель одержала лишь в XVII веке с появлением теории Кеплера об эллиптических траекториях планет, подкрепленной расчетами с применением интегралов и проверенной прямыми измерениями с помощью телескопа.
… и Кеплер, и Галилей профессионально занимались астрологией, составляя гороскопы и для заказчиков, и для своих близких. В то время это было обычным делом астрономов и врачей и астрология считалась не лженаукой, а скорее искусством. … в 1577 году 30-летний Тихо Браге, наблюдая очередную комету, впервые сумел вычислить расстояние до нее. В это время мать шестилетнего Кеплера, обладавшая необыкновенно острым зрением, показала сыну эту комету как величайшее чудо природы. … Аристотель полагал, что кометы возникают из «земных паров», а их хвосты – пламя, которое гонит ветер; долгое время астрономы считали, что кометы пролетают через Солнечную систему только один раз. Наконец, Ньютон установил, что эти небесные тела движутся по замкнутым, но сильно вытянутым эллиптическим орбитам. … теория движения Луны оказалась одной из самых сложных задач небесной механики, на решение которой ушло, считая только от Ньютона, два с половиной века и потребовало участия таких выдающихся ученых, как Эйлер. … наличие экваториального «вздутия» Земли необходимо учитывать при расчете траектории космических кораблей и даже орбиты Луны. … согласно общей теории относительности, любая планета описывает в своем движении медленно поворачивающийся эллипс. Впервые этот эффект был обнаружен у Меркурия, а с развитием радиолокации – и у других планет, что с огромной точностью экспериментально подтвердило теорию.
Что читать в «Кванте» о небесной механике
(публикации последних лет)
- «Для чего мы изучаем математику?» – 2017, №7, с.4; 2. «Астрономия вернулась в школу» – 2017, №12, с.2; 2018, №1, с.2; 3. «Астрофизика в ЕГЭ по физике» – 2018, №1, с.42; 4. «Почему Луна не падает на Землю» – 2018, №4, с.25; 5. «Законы механики и параметры эллипса» – 2018, №5, с.32.
Материал подготовил А.Леонович
34
КВАН T 2018/№7
(Начало см. на с. 29)
и b явным образом, не используя значения функции F при меньших значениях ее аргументов. Пока же обсудим стратегию для игры Ним, когда кучек больше 3. Для этого нам понадобится сначала поговорить о суммировании игр.
Суммирование игр
Определим понятие суммы двух или нескольких независимых игр. Два игрока одновременно играют в несколько игр – «на нескольких досках». На каждом ходу игрок имеет право выбрать одну из игр и сделать в ней ход в соответствии с правилами. (При этом другой игрок не обязан немедленно отвечать в той же игре, а может сделать ход в другой.) Состояния остальных игр при этом не меняются. Если ни в одной из игр хода сделать нельзя (как в Ниме, когда все кучки пусты), то игрок, который должен ходить, проигрывает. Если все игры одновременно находятся в состояниях со знаком «–», то в минусовом же состоянии находится и сумма игр, т.е. победу себе может обеспечить второй игрок. Действительно, первый игрок делает ход в одной из игр и обязательно переводит игру в состояние, которому отвечает знак «+». Второму игроку следует в ответ в той же игре получить минусовое состояние: по правилам расстановки знаков «+» и «–» это всегда можно сделать. В конце концов каждая из игр завершится ходом второго игрока. Значит, и последний победный ход в общей игре сделает второй игрок. Важно, однако, отметить, что обратное неверно: если в одной из игр состояние отмечено знаком «+», то не обязательно состояние суммы игр также плюсовое. Примером служит сам Ним, который можно рассматривать как сумму «тривиальных нимов» с одной кучкой. Для непустой кучки каждая из игр находится в состоянии «+» (первый выигрывает за один ход), при этом сумма может быть и в минусовом состоянии. Однако если ровно в одной игре состояние плюсовое, а в остальных минусовое, то вся игра-сумма будет в состоянии «+»: пер-
вый игрок пользуется правилом «Ставь на минус!» и выигрывает. Так, если к игре Ним с m кучками добавить новые k кучек камней и состояние игры Ним на добавленных k кучках соответствует знаку «–», то состояние новой игры с m + k кучками соответствует тому же знаку, что и состояние исходной игры с m кучками. Действительно, новая игра есть сумма двух игр, в одной из которых состояние заведомо «минусовое». Если состояние другой игры также отмечено знаком «–», то состояние суммы игр «минусовое», если «+» – «плюсовое». Кучки можно не только добавлять, но и удалять. Если из m кучек удалить k кучек, причем состояние игры Ним на этих k кучках соответствовало знаку «–», то состояние исходной игры Ним с m кучками соответствует тому же знаку, что и состояние новой игры Ним с m – k кучками. Указанное свойство позволяет при оценке состояния игры Ним заменить ее игрой с меньшим количеством кучек, но с сохранением приписываемых состояниям знаков. Действительно, выделим в игре Ним с m кучками произвольные 2 кучки. Пусть в них находится a и b камней. Добавим к имеющимся m кучкам еще 3 кучки, состоящих из a, b и c F a, b камней. Добавленные 3 кучки образуют игру с минусовым состоянием. В полученной игре с m + 3 кучками появились две пары кучек с одинаковым количеством камней: пара a и a и пара b и b. Пара кучек с одинаковым количеством камней образует минусовое состояние в игре Ним с 2 кучками. Такую пару можно удалить, не изменив знак состояния игры. В результате две кучки с a и b камнями мы заменили одной кучкой, в которой c F a, b камней. Количество кучек уменьшилось на единицу, а приписываемый состоянию игры знак при этом не изменился.
Когда кучек больше трех…
Теперь все подготовлено к построению стратегии игры Ним в случае, когда кучек больше трех. Выбираем произвольные 2 кучки камней и заменяем их по описанному выше алгоритму на 1 кучку. Количество кучек камней сократилось на 1. Аналогич-