Комбинации квадратов

22

КВАН T 2018/№7

Комбинации квадратов

Е.БАКАЕВ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ЭТОЙ СТА- тьи достаточно знать программу 7 класса школьного курса геометрии: признаки равенства треугольников, сумму углов треугольника, а также что собой представляет квадрат. С этим «набором юного геометра» мы предлагаем пройти путь до некоторых непростых и, надеемся, красивых задач. Эти задачи, как часто бывает в геометрии, можно решать по-разному. Например, многие коротко решаются с помощью векторов или комплексных координат. Но наша цель не показать наиболее короткие решения, а дать читателю (и решателю) увидеть связь в цепочке задач, общую для них геометрическую конструкцию. Решения задач записаны кратко. Мы подразумеваем, что некоторые логические переходы неочевидны и требуют от читателя самостоятельного обдумывания. Также предлагаем в этих задачах не обращать внимания на другие возможные случаи взаимного расположения объектов, а опираться на рисунок, который задает условие. Но внимательному читателю будет полезно самостоятельно поразмыслить, что собой представляют эти дру-

Рис. 1

гие случаи и как следует формулировать доказательство, чтобы оно охватывало и их тоже. Автор признателен В.Н.Дубровскому за предложение дополнить статью решениями с помощью поворота и за ценные указания по их написанию. Задача 1. На рисунке 1,а даны два квадрата с общей вершиной. Докажите, что пунктирные отрезки равны и перпендикулярны. Указание. Найдите два равных треугольника или воспользуйтесь поворотом. Решение. Первый способ. На рисунке 1,б закрашены два равных треугольника. Они равны по первому признаку: есть две пары равных сторон, а углы между ними в треугольниках одинаковые, потому что они образуются добавлением прямого угла к одному и тому же углу. Значит, пунктирные отрезки равны как соответствующие элементы равных треугольников. Теперь докажем их перпендикулярность. Рассмотрим треугольники, закрашенные на рисунке 1,в. Докажем, что в них одинаковые наборы углов (иначе говоря, треугольники подобны). Два угла равны как вертикальные. Еще два угла равны как соответ-

23

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ствующие элементы треугольников, равенство которых мы доказали выше. Сумма углов треугольника равна 180q, значит, и третьи углы треугольников равны. Так что угол между пунктирными отрезками прямой.

Упражнение 1. Докажите то же утверждение для квадратов, расположенных, как на рисунке 1,г. Указание. Продлите пунктирные отрезки до пересечения. Далее – аналогично решению для рисунка 1,а.

Второй способ. Это решение использует поворот. Поясним, что это такое. Сделаем копию чертежа на прозрачной пленке и наложим ее на чертеж так, чтобы оригинал и копия совпадали. Воткнем в стол иголку, проколов чертеж и копию. Если теперь подвинуть пленку, то копия чертежа на ней повернется вокруг точки O, в которую воткнута иголка (рис.1,д). Перечислим основные свойства поворота. Пусть поворот был совершен вокруг точки O, точка A перешла в точку A c, точка B – в B c. Тогда: 1) Углы AOA c и BOB c равны, иными словами, все точки поворачиваются на один и тот же угол. Он называется углом поворота (рис.1,е). 2) Фигуры переходят в равные им фигуры. В частности, OA OA c, AB A c B c, ’ OAB ’ OA c B c. 3) Угол между прямыми (точнее, лучами) AB и A c B c равен углу поворота.

Упражнение 2. Докажите свойство 3. Указание. Обозначим прямые AB и A c B c как а и a c соответственно (рис.1,ж). Через точку O проведем прямую b параллельно прямой а. Пусть при повороте b переходит в b c. Тогда a c P b c. Получаем два угла с параллельными сторонами.

Рис. 2

ШК О ЛЬНИК О В

Вооруженные свойствами поворота, вернемся к нашей задаче. Повернем конструкцию на 90q вокруг общей вершины квадратов (рис.1,з). Тогда в каждом квадрате одна вершина перейдет в другую (потому что соседние стороны квадрата равны и перпендикулярны). Соответственно, один пунктирный отрезок перейдет в другой. По свойству 2 эти отрезки равны, а по свойству 3 они перпендикулярны. Подробнее о поворотах и других движениях плоскости можно прочитать, например, в статье В.Бугаенко «Движения плоскости и теорема Шаля» в «Кванте» №4 за 2009 год или в статье В.Фишмана «Решение задач с помощью геометрических преобразований» в «Кванте» №7 за 1975 год. Задача 2. Рассмотрим теперь комбинацию трех квадратов, изображенную на рисунке 2,а. Докажите, что центр синего квадрата является серединой отрезка, соединяющего вершины двух красных квадратов. Указание. Найдите три равных треугольника. Решение. В предыдущей задаче рассматривались два квадрата с общей вершиной и возникали два равных треугольника с этой же общей вершиной. В нашей конструкции есть такие же пары квадратов, значит, есть и соответствующие им пары равных треугольников. Объединив две такие пары, получим, что три треугольника равны (рис.2,б). Задача свелась к такой: на противоположных сторонах квадрата построены равные треугольники (рис.2,в), требуется доказать, что их вершины лежат на одной прямой с центром квадрата. Рассмотрим симметрию относительно центра квадрата. (Центральная симмет-

24

КВАН T 2018/№7

рия – это поворот на 180q .) Квадрат симметричен самому себе, а треугольники – друг другу. Значит, вершины треугольников не только лежат на одной прямой с центром квадрата, но и равноудалены от него. Можно доказать это, и не прибегая к симметрии. Закрашенные на рисунке 2,г треугольники равны по первому признаку: две стороны равны как стороны равных треугольников, еще две стороны равны, потому что это отрезки, соединяющие вершины квадрата с его центром, а углы равны, потому что они состоят из углов в 45q и углов равных треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов, а раз две их стороны образуют одну прямую, значит, эти углы вертикальны. Задача 3. На рисунке 3,а даны три квадрата. Докажите, что вершина зеленого квадрата является серединой отрезка, соединяющего вершины красных квадратов.

Рис. 4

Задача 4. Даны два квадрата и отрезок, соединяющий их вершины (рис. 4). Докажите, что два пунктирных отрезка равны и перпендикулярны. Указание. Используйте предыдущую задачу. Решение. Эта задача обратна предыдущей. В ней мы доказали, что вершина зеленого квадрата является серединой отрезка, соединяющего вершины красных квадратов. Но у отрезка только одна середина, значит, пунктирные отрезки равны и перпендикулярны, так как это стороны зеленого квадрата из предыдущей задачи.

Рис. 3

Указание. Воспользуйтесь предыдущими задачами. Решение. Первый способ. Добавим синий квадрат, как на рисунке 3,б. Получим конструкцию из задачи 2, в которой мы уже доказали требуемое. Второй способ. Применим задачу 1 для зеленого и одного из красных квадратов. Получим, что два отрезка, отмеченных одной черточкой, равны и перпендикулярны (рис.3,в). Потом рассмотрим зеленый квадрат в паре с другим красным квадратом. Получим еще пару равных и перпендикулярных отрезков. Значит, рассматриваемые в условии задачи пунктирные отрезки равны и лежат на одной прямой.

Задача 5. Три квадрата расположены, как на рисунке 5,а. Докажите, что два пунктирных отрезка равны и перпендикулярны. Указание. Воспользуйтесь предыдущими задачами. Решение. Заметим, что комбинация квадратов здесь такая же, как в задаче 3. Значит, мы можем ее использовать и по-

Рис. 5

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

лучить, что вершина зеленого квадрата лежит на середине отрезка, соединяющего две вершины красных квадратов (рис. 5,б). Теперь, зная, что это середина отрезка, воспользуемся задачей 4. Задача 6. Противоположные вершины синего квадрата расположены в центрах красных квадратов (рис.6,а). Докажите,

Рис. 6

что другие две вершины синего квадрата являются серединами отрезков, соединяющих вершины красных квадратов. Указание. Придумайте, к каким двум квадратам следует применить утверждение задачи 3. Решение. Рассмотрим два зеленых квадрата (рис.6,б). Применим к ним и к синему квадрату утверждение задачи 3. Для другой вершины синего квадрата утверж-

Рис. 7

Рис. 8

ШК О ЛЬНИК О В

дение доказывается аналогично, рассмотреть надо такие же зеленые квадраты, но построенные «с другой стороны». Задача 7. На сторонах четырехугольника во внешнюю сторону построены квадраты (рис.7,а). Докажите, что пунктирные отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны. Указание. Нужно больше квадратов! Решение. Рассмотрим красные квадраты, противоположные вершины которых лежат в центрах синих квадратов (рис.7,б). По задаче 6 вершины каждого из них попадают в середину диагонали четырехугольника, таким образом, у красных квадратов есть общая вершина. Применив к ним задачу 1, получим, что пунктирные отрезки равны и перпендикулярны. Задача 8. На сторонах четырехугольника во внешнюю сторону построены квадраты (рис.8,а). Докажите, что середины диагоналей четырехугольника и середины отрезков, соединяющих центры противоположных квадратов, образуют квадрат.

26

КВАН T 2018/№7

Указание. Воспользуйтесь тем, что получено в решении предыдущей задачи. Решение. Рассмотрим те же красные квадраты, что в доказательстве предыдущей задачи (рис.8,б). В решении задачи 1 мы показали, что отрезки переходят друг в друга при повороте вокруг общей вершины красных квадратов на 90q. При этом повороте середина одного отрезка переходит в середину другого. Значит, отрезки, соединяющие эти середины с центром поворота, равны и перпендикулярны (по свойствам 2 и 3 поворота). Таким образом, три точки, являющиеся концами зеленых отрезков, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Рассмотрев другую пару красных квад-

Рис. 9

Задачи для самостоятельного решения

Указания к этим задачам есть в конце номера. Условия задач задаются рисунками 9–16. Для каждой комбинации квадратов надо либо доказать, что пунктирные отрезки перпендикулярны, либо доказать, что три точки лежат на одной (пунктирной) прямой.

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 14

ратов (общая вершина которых лежит в середине другой диагонали исходного четырехугольника), аналогичным образом получим, что другие три точки тоже образуют равнобедренный прямоугольный треугольник, причем у них общая гипотенуза. Значит, четыре точки образуют квадрат.

Рис. 12

Рис. 15

Рис. 13

Рис. 16

30

КВАН T 2018/№7

Случай двух кучек

Если m = 1, то кучка всего одна и начинающий выигрывает, забрав первым ходом из нее все камни. Если кучек две (m = 2), то стратегию можно получить с помощью расстановки знаков «+» и «–». Состояние игры определяют два числа – количество камней в первой и второй кучках, поэтому каждому состоянию можно поставить в соответствие клетку двумерной таблицы. Координата клетки по горизонтали соответствует количеству камней в первой кучке, по вертикали – во второй. После хода игрока уменьшается либо первая, либо вторая координата клетки, т.е. клетка, отвечающая новому состоянию, расположена либо ниже, либо левее исходной. Расставляя знаки «+» и «–» по сформулированным выше правилам, получим таблицу, приведенную на рисунке 1.

Рис. 1. Разработка стратегии в игре Ним с двумя кучками камней

Видно, что минусы располагаются по главной диагонали, т.е. в клетках, у которых первая координата совпадает со второй. Следовательно, правило «Ставь на минус!» приводит к следующей стратегии. Если кучки разные, победу себе может обеспечить первый игрок. Первым ходом он должен уравнять количества камней в обеих кучках, а далее следует повторять ход соперника, но на другой кучке, оставляя после своего хода кучки с равным числом камней в них. Если изначально кучки одинаковые, выигрывает

второй. Эта стратегия носит название симметричной, и мы получили ее при помощи расстановки знаков «+» и «–» в таблице.

Ним с тремя кучками

Теперь рассмотрим случай m = 3. Тогда состояние игры определяют три числа, и для разработки стратегии следует заполнить знаками «+» и «–» клетки трехмерной таблицы. Клетка таблицы с координатами (a, b, c), где a, b, c – неотрицательные целые числа, соответствует состоянию игры Ним, в котором в первой кучке находится a, во второй – b, а в третьей – c камней. Конечно, потратив определенное время, можно по сформулированным выше правилам осуществить расстановку знаков по слоям таблицы и тем самым разработать стратегию игры Ним с тремя кучками (при данных фиксированных a, b, c в начальной позиции). Поступим по-другому. Предположим, что знаки «+» и «–» в клетках трехмерной таблицы в соответствии с приведенными выше правилами уже расставлены. Докажем следующую $лемму.^{Лемма} 1.$ В любом столбце таблицы, в котором две координаты фиксированы, а третья принимает все неотрицательные значения, встречается ровно одна клетка со знаком «–». Доказательство. Пусть первые две координаты a и b фиксированы. Сначала покажем от противного, что в столбце не может быть двух или более клеток со знаком «–». Пусть в каждой из двух клеток с координатами $a, b, c_{1}$ и $a, b, c_{2}$ стоит знак «–» и $c_{1} c_{2}$. Тогда, взяв из третьей кучки $c_{2} c_{1}$ камней, за один ход игру можно перевести из состояния, соответствующего клетке $a, b, c_{2}$, в состояние, задаваемое клеткой $a, b, c_{1}$, т.е. с минуса на минус. Получили противоречие: все ходы с клетки со знаком «–» должны приводить на клетки со знаком «+». Следовательно, в столбце не может быть более одного минуса. Теперь докажем, что один «–» в любом столбце обязательно есть. Предположим противное и рассмотрим клетки одного столбца с координатами a, b, 0, a, b, 1, ……, a, b, a b. Их количество равно a + b + + 1. По нашему предположению, все они содержат знак «+». Тогда с каждой из них есть ход на клетку с минусом. Однако умень-