Решения задач М2530—М2533; Ф2537—Ф2540

22

КВАН T 2019/№1

двигатели перестали работать. На какое максимальное расстояние s от поверхности Луны удалится ракета? Радиус Луны $R_{Л} | 2,5$ тыс.км, ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны $g_{Л} | 1,6$ м $с^{2}$. Д.Мороз

Ф2550. Не поджатая однородная пружина имеет длину L, которая много больше диаметра D ее витков. Диаметр D, в свою очередь, много больше диаметра проволоки, из которой сделана пружина. Эта пружина имеет жесткость на растяжение (или сжатие) k. Однако растягиваться такая пружина не может, так как внутрь нее помещена нерастяжимая гибкая нить, а вот изгибаться может. Пружину изогнули так, что ее концевые витки соприкоснулись, т.е. пружину свернули в кольцо. Какую работу пришлось совершить для этого? Н.Год

Ф2551. Коэффициент трения шайбы о плоскую поверхность равен P. Эту поверхность расположили так, что она образует с горизонталью угол D, для которого tg D P, и закрепили. Шайбу, масса которой m, толкнули так, что все ее точки приобрели одинаковую начальную скорость $v_{0}$, направленную вдоль наклонной поверхности, причем угол $M_{0}$ между направлением начальной скорости и направлением наискорейшего спуска по поверхности такой, что cos $M_{0} 0,5$. В тот момент, когда угол $M_{1}$ между направлением скорости движения шайбы и направлением наискорейшего спуска стал таким, что cos $M_{1} 0,5$, шайба оказалась на том же горизонтальном уровне, что и в момент старта. Какое количество теплоты Q выделилось за счет трения между шайбой и поверхностью к этому моменту? Какова длина L пути, который к этому моменту прошла шайба? Какой будет установившаяся через большое время скорость v движения шайбы? С.Негурочка

Ф2552. Струя воды с объемным расходом $E м^{3}$ с падает на плоскую поверхность

перпендикулярно ей. Перед соприкосновением с поверхностью вода движется со скоростью v. Уровень воды на поверхности на большом расстоянии от места падения струи равен H. Воду можно считать маловязкой. Как зависит радиус углубления R на поверхности воды от указанных в условии задачи параметров? При каком соотношении между параметрами углубление не возникает? На фотографии

Рис. 2

(рис.2), найденной в интернете (http:// staff.civil.uq.edu.au/h.chanson/pictures/ eviergrnd.jpg), приведен пример такого явления. П.Январский

Решения задач М2530–М2533, Ф2537–Ф2540

M2530. Решение этой задачи см. в статье «Высоты треугольника и обратный ход».

M2531. Пусть k – натуральное число и $1 d_{0} d_{1}$ … $d_{m} 4k$ – все положительные делители числа 4k. Докажите, что найдется i  {1,…,m} такое, что $d_{i} d_{i} 1 2$.

Предположим противное – нужного i не нашлось. Тогда если d и d + 2 – делители числа 4k, то и d + 1 – тоже. Заметим, что если a – делитель числа 4k, причем a не делится на 4, то 2a – тоже делитель числа 4k. Пользуясь указанными свойствами, начав с пары 1, 2, будем находить у числа 4k