Квант
Конкурс имени А. П. Савина

Задачи 17—20

Квант 2019, №1с. 38Тег FEH0

38

КВАН T 2019/№1

2 (Е.Горский). На доске написаны по возрастанию два натуральных числа x и y (x d y). Петя записывает на бумажке x2x^{2}, а затем заменяет числа на доске числами x и y – x, записывая их по возрастанию. С новыми числами на доске он проделывает ту же операцию и т.д., пока одно из чисел на доске не станет нулем. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на бумажке? 3 (Е.Горский, С.Дориченко). На доске написаны натуральные числа x, y и z. Петя пишет на бумажку произведение двух из них, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми

тремя числами на доске он делает ту же операцию и т.д., пока одно из чисел на доске не станет нулем. Чему в этот момент равна сумма чисел на бумажке? Подсказка к задачам 2 и 3: придумайте геометрическую интерпретацию подсчета. Рекомендуем для дальнейшего изучения статью Е.Бакаева «Мальчики, девочки, таблицы, графы…» («Квант» №3 за 2015 г.), в которой также обсуждается геометрический подход к подобным комбинаторным задачам. (Прим. ред.)

К О НК УРС И МЕ НИ А .П.С АВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

  1. Есть 5 карточек с числами 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из них можно сложить пятизначных чисел, делящихся на 55? (Карточку «6» нельзя переворачивать и использовать как «9».) П.Кожевников

  2. Петя и Вася купили по конструктору «Собери тетраэдр». В конструкторе 4 треугольника – будущие грани тетраэдра. По дороге Петя потерял один треугольник. Заметив это дома, он побежал с остатками своего конструктора к Васе. Сравнивая детали, они обнаружили, что среди четырех Васиных треугольников есть три таких же, как у Пети. «Отлично, теперь я знаю, какой треугольник я потерял!» – воскликнул Петя. «Вот только почему цены конструкторов отличаются?» – задумался он. А могло ли быть так, что у ребят конструкторы отличались одним треугольником, но из каждого конструктора можно было собрать свой тетраэдр? Л.Емельянов

  3. а) Найдутся ли 100 различных натуральных чисел, среднее арифметическое любых нескольких из которых – натуральное? б) А если добавить условие, что любые два числа из этих ста должны быть взаимно просты? П.Кожевников

  4. Дан клетчатый квадрат 100 u 100. Некоторые его клетки можно закрыть. Будем говорить, что доминошки 1 u 2 расположены в нем разрешенным образом, если каждая занимает ровно две незакрытые клетки и никакие две доминошки не имеют общего отрезка границы (но у доминошек могут быть общие вершины). Какое наименьшее количество клеток можно закрыть, чтобы: а) 2; б) 100 доминошек нельзя было расположить разрешенным образом? Е.Бакаев