Задачи М2594—М2597; Ф2601—Ф2604

Квант 2020, №3 с. 30-31 Тег AD4A

ЗАДАЧНИК « КВАНТА »

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2594 – М2597 предлагались на региональном этапе XLVI Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2601–Ф2604 предлагались в этом году на первом туре Московской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2594–М2597, Ф2601–Ф2604

M2594. Известно, что для некоторых x и y суммы sin x + cos y и sin y + cos x – положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа m и n, что m sin x + n cos x – натуральное число. Н.Агаханов

M2595. а) Коля и Дима играют в игру на доске 8 ¥ 8, делая ходы по очереди, начинает Дима. Коля рисует в клетках крестики, а Дима накрывает прямоугольниками 1 ¥ 2 (доминошками) пары соседних по стороне клеток доски. За свой ход Коля должен поставить один крестик в любую пустую клетку (т.е. в клетку, в которой еще не нарисован крестик и которая еще не покрыта доминошкой). Дима за свой ход должен накрыть доминошкой две соседние клетки (еще не накрытые другими доминошками), в которых суммарно четное число крестиков (0 или 2). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? б) Та же игра и тот же вопрос, но, в отличие от пункта а), первый ход делает Коля. М.Дидин

M2596. Четырехугольник ABCD описан около окружности $\omega$ . Докажите, что диаметр окружности $\omega$ не превосходит длины

отрезка, соединяющего середины сторон BC и AD. О.Южаков

M2597. Пусть p – простое число, большее 3. Докажите, что найдется натуральное число y, меньшее p 2 и такое, что число py + 1 невозможно представить в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше y. М.Антипов

Ф2601. Герметичный сосуд заполняют смесью воздуха и водяного пара и начинают охлаждать в термостате с тающим льдом. В процессе охлаждения измеряют температуру в сосуде с погрешностью $\Delta T = = 0,5 \infty C$ и давление – c погрешностью $\Delta p = 0,05$ ◊ $10^{5}$ Па. В результате получают таблицу:

Определите отношение количества воды к количеству воздуха в сосуде, а также плотность газовой фазы в начале и в конце процесса.Учтите, что давление насыщенных паров воды, равное 1 кПа, достигается при температуре около $7^\circ$ С. Молярные массы воды и воздуха равны соответственно 18 г / моль и 29 г / моль. П.Крюков

КВА НT 2020/№3

напором $p_{v} = \rho v^{2} 2$ . Безразмерное отношение $2 p_{v} p = \rho vL \eta$ называется числом Рейнольдса и обозначается Re. Для нашего реального эксперимента, в котором $r_{0} = 1$ см, h = 20 см, g = 9,81 м $с^{2}, \rho = 1000$ кг $м^{3}, v_{0} = = 2 gh \approx 2$ м с, число Рейнольдса $Re \approx \approx 20000$ . Значит, характерное вязкое трение здесь меньше характерного динамического давления во многие тысячи раз, поэтому можно полагать, что описание линий тока (см. рис.7) близко к реальности. Правда в реальности возникает сложная структурная картина, связанная с вязким «прилипанием» потока к стенке, но характерная толщина и другие размеры этой структуры относительно малы. Неожиданно обнаружилось, что в нескольких современных учебниках приводится отличная от рисунка 7 картина. Так, на рисунке 9, взятом из книги [2, с. 88] (подобный

Рис. 10

вый соответствует рисунку из книги [2, с. 88] (и похожий есть в книге [1, с. 245]), а второй составлен так, чтобы учесть пристеночное течение, обозначенное крайней линией 2. Здесь эта линия совершает разворот на $180^\circ$ , т.е. меняет направление на противоположное. (Тогда как крайняя линия 1 поворачивает лишь на $63^\circ.)$ Для выяснения реальной картины был проведен соответствующий опыт. В стенку прямоугольной 15-литровой емкости было встроено качественное стеклянное окно диаметром 8 см прямо напротив входа воды в насадок Борда. Через это окно цифровым фотоаппаратом с лампой-вспышкой получено фото, приведенное на рисунке 11. На

Рис. 9

рисунок есть также в книге [3, с. 496]), крайняя линия тока, обозначенная 1, не касается вертикальной стенки. Тогда возникает вопрос: что происходит в точке 2 чуть выше линии тока 1? Если в точке 2 скорость ненулевая, то соответствующая линия тока не выйдет через отверстие, так как крайняя линия 1 уже есть. Значит, эта линия должна развернуться и замкнуться в кольцевой поток. Если же в точке 2 скорость равна нулю, то это означает резкий скачок скорости непосредственно рядом и вдоль всей линии 1. Оба случая представляются маловероятными (хотя гидродинамика богата сюрпризами). Еще более рельефно выступает вопрос о картине течения при заходе в насадок Борда. На рисунке 10 выше и ниже средней линии даны два возможных варианта течения. Пер-

Рис. 11

фото в насадок Борда 1 втекает поток. Внутренний диаметр трубочки 20 мм, а внешний диаметр рядом со входом 20,3 мм. Из медицинской иголки 2 вытекают чернила, и их тонкая зеленая траектория, обозначенная стрелкой, показывает линию тока, которая разворачивается приблизительно на $135^\circ$ , что больше соответствует варианту ниже средней линии на рисунке 10. Неожиданно лампа-вспышка и случайные пузырьки воздуха помогли увидеть допол-

ФИЗИЧЕСКИЙ

нительные детали. Маленькие пузырьки захватываются мощным течением и движутся почти по линиям тока. За время, что длится вспышка, каждый пузырек, попавший в фокус фотоаппарата, оставляет на фотографии протяженный след, указывая линию тока. Этот след тем длиннее, чем больше скорость потока, т.е. дополнительно получается информация о скорости. Цифрой 3 на рисунке 11 отмечена группа коротких черточек-следов, которые также указывают на наличие течения с внешней стороны насадка Борда навстречу центральному потоку. Образно говоря, этот внешний поток «сталкивается» с центральным потоком.

Рис. 12

Еще один яркий сюрприз зафиксирован на фотографии, представленной на рисунке 12. Оказывается, при одной и той же глубине h в одной и той же трубке Борда бывают два совершенно разных устойчивых режима течения: ламинарный, как на рисунке 6, и турбулентный, как на рисунке 12! Какой режим возникнет, зависит от стартовых условий. Если резиновую пробку (с небольшой боковой конусностью) на старте вынимать из трубки с наружной стороны, то возникает турбулентный режим, а если с внутренней стороны в толще воды, то возникает ламинарный режим. Чтобы в последнем случае не возмущать воду рукой, резиновая пробка крепится к длинному (вертикальному) стержню посредством прямой гибко-

ФАКУЛЬТАТИВ

упругой проволоки, пронизывающей пробку вдоль центральной оси. Если просто смотреть на турбулентный поток, то он белый, шумный, беспокойный, брызгающий, но лампа-вспышка «остановила» этот внешний хаос, и открылась хрустальная прозрачность, плавность и какая-то внутренняя неуловимая сущность. Теперь поток касается стенок трубки, и расход воды увеличивается (!) по сравнению с ламинарным режимом. Математическое моделирование турбулентности до сих пор остается интеллектуальным вызовом. Простые домашние эксперименты, наподобие тех, что представлены в статье, могут дать не только ответ на сотни собственных вопросов, но и послужить основой какой-либо новой концепции турбулентности. И вообще, гидроили аэродинамику стоит воспринимать как интереснейшую область для творческого осмысления. Снова вернемся к опытам с насадком Борда. Если взять не круглую трубку, а трубку (из жести) с прямоугольным 1:3 сечением, то соотношение 2s = S сохраняется. А как будет выглядеть струя? Удастся ли вообще получить ламинарный режим? Или если случайные пузырьки воздуха оказались столь эффективны для визуализации картины течения, то, может быть, стоит пузырьки создавать искусственно? Например, можно по одной медицинской иголке подавать раствор соды $NaHCO_{3}$ , а по соседней иголке – раствор лимонной кислоты, тогда в смеси двух потоков должны образовываться пузырьки углекислого газа $CO_{2}$ . Сотни вопросов и сотни вариантов ответов… Твори, выдумывай, пробуй!

Литература

Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 7. – М.: Мир, 1966. 2. Т.Е.Фабер. Гидроаэродинамика. – М.: Постмаркет, 2001. 3. Д.В.Сивухин. Общий курс физики. Том 1. – М.: Физматлит, 2016.