А так ли хорошо знаком вам союз физики и математики?

Все есть число.

Пифагор

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук. Леонардо да Винчи

…многие из открытых математиками плодотворных методов исследования могут быть значительно лучше выражены с помощью идей, вытекающих из работы Фарадея, чем в их оригинальной форме. Джеймс Клерк Максвелл

Математика – это язык. Джозайя Уиллард Гиббс

Непостижима эффективность математики в естественных науках. Юджин Вигнер

Наш опыт… позволяет предположить, что природа является выражением простейшей математической идеи. …Но началом каждой физической теории являются мысли и идеи, а не формулы. Альберт Эйнштейн

…теоретическая физика пользуется приемами и методами математики. Однако от последней она резко отличается непосредственной связью с результатами эксперимента. Лев Ландау

…невозможна физика без математики, а пожалуй – и математика без физики: ведь вряд ли имеет смысл создавать язык, которым мы не имеем в виду пользоваться. Исаак Яглом

А так ли хорошо знаком вам

?

союз физики и математики

Был этот союз, как видно даже из эпиграфов, отнюдь не всегда безоблачным. Тем не менее, за многие столетия активного взаимодействия наук он смог настолько укрепиться, что стал необычайно плодотворным. Последние полвека «Квант» интенсивно этому способствовал, а теперь и наша рубрика попробует внести свою скромную лепту. К сожалению, математика и физика в школе порой располагаются, что называется, «по разные стороны баррикад», когда ученики не подозревают, насколько такое содружество поможет им обогатить свои знания и умения. В этом, однако, легко убедиться, участвуя в разнообразных турнирах и олимпиадах. Малую толику сходных задач мы и предлагаем сегодня, не проводя, правда, предметную границу. Полагаем, что вы сами выберите, на что опереться при их решении – на физическую интуицию, на математическую смекалку или просто на шутку. И круг подобных заданий «Калейдоскоп» намерен вскоре расширить.

Вопросы и задачи

1. На праздновании юбилея журнала «Квант» директор физико-математического лицея предложил 24 выпускникам постро- иться в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек. Как справились с этим заданием лицеисты? 2. На поверхности сферы наугад выбраны три точки. Чему равна вероятность того, что все они окажутся в одном полушарии? 3. Из Москвы стартовал вертолет, который пролетел 300 км на юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток, после чего приземлился. На какой широте и долготе он окажется по отношению к старту? 4. Два велосипедиста одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились через 15 минут после того кaк первый велосипедист доехал до середины пути. Когда же после их встречи прошло 30 минут, до середины пути доехал второй велосипедист. Сколько времени занял весь путь у первого велосипедиста? 5. Два пешехода стартовали одновременно по круговой дороге с одного места в одном направлении. Пешеход, идущий быстрее, нагнал другого через 36 минут. Если бы они стартовали в противоположных направлениях, то встретились бы через 4 минуты. За сколько минут каждый из пешеходов может обойти круговую дорогу?

6. Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 секунды, вторые – через каждые 3 секунды. Всего было насчитано 13 ударов, при этом совпадающие удары воспринимались как один. Сколько времени били часы? 7. В поход пошли 56 математиков и в целое число раз меньше физиков. Они разместились в нескольких палатках, в каждой – столько человек, сколько палаток. Сколько было физиков? 8. Число яиц в корзине удваивается каждые 5 минут. Через час корзина наполнилась. За сколько времени она наполняется наполовину? 9. Десять машин выпускают одинаковые детали массой по 10 г каждая. Одна из машин испортилась и стала выпускать детали массой по 5 г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания деталей? 10. Можно ли поставить на край круглого стола кастрюлю так, чтобы она только на 1 3 площади своего дна соприкасалась с поверхностью стола? 11. По данным опроса, проведенного в классе, выяснилось, что 20% учеников, интересующихся математикой, проявляют интерес еще и к физике, а 25% учеников, интересующихся физикой, проявляют интерес и к математике. И только два ученика равнодушны к обоим этим предметам. Сколько человек в классе, если их больше 20, но меньше 30?

Микроопыт

Представьте, что вы оказались в равнинном лесу площадью $100 км^{2}$ с выпуклой границей. Можно ли из него выбраться, пройдя путь, не превышающий 30 км?

Любопытно, что…

…уже на самом раннем этапе своего формирования математика интересовала человека как геометрия и как алгебра, о чем позволяют судить наскальные рисунки и орнаменты кроманьонцев, а также числовые амулеты, отражающие связь с семидневной лунной неделей. …уровень развития математики в Вавилоне и Древнем Египте обеспечивал замечательные достижения землемеров, астрономов и строителей – достаточно вспомнить хотя бы знаменитые пирамиды!

…математическая наука в современном ее понимании была заложена в период от 6 до 4 веков до новой эры в Древней Греции, причем уровень строгости и глубины понимания были там и тогда таковы, что вновь оказались достигнуты лишь в европейской науке XIX столетия. …в школе Пифагора на первом месте были теоретические рассуждения о математических моделях природных явлений – эксперименты и наблюдения считались делом второстепенным. Зенон полагал, что математика способна решить все проблемы физики. Архимед же превосходно понимал, что математика не может развиваться в отрыве от практических потребностей людей. …Фарадей не написал ни одной формулы сложнее пропорции, тем не менее ему мы обязаны созданием одного из основных понятий физики – понятия поля; он ввел и образное представление поля – картину силовых линий. …основатель и руководитель петербургской математической школы П.Л.Чебышёв в середине XIX века впервые внедрил в теорию механизмов математические методы, указав на аналитическое направление в решении задач этой теории. …в начале XХ века известный физик, астроном и математик Джеймс Джинс активно протестовал против включения в университетскую программу подготовки физиков теорию групп, считая, что она «наверняка ни одному физику никогда не понадобится». Однако вскоре теория групп стала чуть ли не первой из областей математики, используемой в квантовой физике.

Что читать в «Кванте» о союзе физики и математики

(публикации последних лет)

1. «Пределы точности “точных” наук» – 2016, Приложение №4, с.219; 2. «Для чего мы изучаем математику?» – 2017, №7, с.4; №8, с.2; 3. «Численные значения: зачем и почему они нужны» – 2019, №4, с.2; 4. «Вычисления без вычислений» – 2020, №1, с.21; 5. «Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения» – 2020, №1, с.29.

Материал подготовил А.Леонович

42

КВА НT 2020/№3

ВЗМШ окончили более 200 тысяч – несколько поколений – школьников. Из их рядов вышло множество ученых, исследователей, педагогов. Многим учеба в ВЗМШ помогла лучше ориентироваться в жизни, ставить перед собой большие задачи, добиваться задуманного. ВЗМШ, в отличие от курсов или кружков, это самая настоящая школа, со своей программой, ритмом, контрольными работами, двусторонней связью между учеником и учителем. Для учащихся работают форумы, в которых они могут задать любой интересующих их вопрос преподавателю – и получить полный и исчерпывающий ответ. Мы предоставляем наши материалы в электронном виде, постоянно общаемся с нашими учениками через социальные сети, WhatsApp и другие передовые средства связи, рассказываем им о том, что не входит в программу обучения, но помогает их развитию, знакомим с книгами и статьями наших преподавателей, проводим видеоконференции и видеолекции. В ВЗМШ существует особая форма работы – группа «Коллективный ученик». Это группа школьников, работающая по методическим пособиям ВЗМШ под руководством школьного учителя по тем же программам и пособиям, что и индивидуальные ученики. В помощь учителям – кураторам таких групп – разрабатываются специальные методические и учебные материалы. Ученики под руководством учителя вместе обсуждают пройденный материал, полученные задания. Учителя часто пользуются своей связью с ВЗМШ для выяснения и других, не связанных с работой группы, вопросов преподавания. Сотрудничество с ВЗМШ, как показывает наш многолетний опыт, многие учителя воспринимают и как свою собственную учебу. Обучение в формате «Коллективный ученик» имеет следующие преимущества: контакт с учителем упрощает обучение, что особенно важно для тех школьников, которым сложно самостоятельно, без наставника, организовать свое время; совместные занятия создают творческую атмосферу, в которой есть место и для конкуренции, и для кооперации; присылаемые из ВЗМШ материалы могут служить учителю хорошей базой для организации в школе кружка или факультатива, помогают подготовить учеников к участию в олимпиадах и сдаче ЕГЭ; ученики принима-

ются без выполнения вступительного задания; плата за обучение одного ученика меньше, чем при индивидуальном обучении. Подробно ознакомиться с программами обучения, зарегистрироваться, выполнить вступительные задания (постарайтесь сделать это до 20 июня 2020 г.), а также подать заявку для группы «Коллективный ученик» можно здесь: https: // sdo.vzms.ru / Приступить к обучению можно в любое время!

Расскажем о наших отделениях подробнее и приведем условия соответствующих вступительных заданий.

ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

Будущих математиков мы обучаем работать с научными текстами, четко излагать свою мысль, предоставляем возможность, используя наши пособия, продвинуться в изучении различных математических вопросов настолько далеко по сравнению с необходимым минимумом, насколько они сами этого хотят. Мы помогаем углубить и расширить полученные в школе знания, подготовиться к ЕГЭ, ОГЭ и прочим экзаменам. Тем, кому уже ведомо удовольствие от решения математических задач, мы надеемся доставить радость от размышления над новыми, похожими и вовсе не похожими на прежние. Мы обучаем всех наших учеников рассуждать безупречно и стройно. Мы последовательно обучаем школьников с 4 по 11 класс. Начать обучение можно с любого класса.

Вступительное задание Возможно, вы не сможете выполнить все задания своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои ответы. Для поступления в 4 класс математического отделения задания не предусматриваются.

5 класс

1. Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того как Чип принес 120, а Дейл – 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них?

45

И Н ФОРМА Ц И Я

Расстояние между бортиками s = 20 см. 7. С какой минимальной скоростью нужно бросить снежок, чтобы попасть в окно третьего этажа, находясь на расстоянии L = 15 м от дома? Высота окна h = 1,5 м, нижний край окна находится на высоте H = 6 м над землей. 8. Палочка лежит на гладкой опоре, упираясь одним концом в шероховатую стенку,

нируют связать свое будущее с самыми перспективными направлениями – ИТ, программированием, аналитикой. У нас работает 6 программ – по одной для 8 и 9 классов и по две (базовый и углубленный уровни) – для 10 и 11 классов. При поступлении на отделение информатики нет вступительных испытаний – дело в том, что в школах очень по-разному преподается этот предмет.

ОТДЕЛЕНИЕ БИОЛОГИИ

Рис. 3

как показано на рисунке 3. Длина палочки в k = 1,5 раза больше расстояния от опоры до стенки. Каким должен быть коэффициент трения палочки о стенку, чтобы она могла находиться в равновесии под углом $\alpha$ к горизонту? 9. В круглом стеклянном сосуде находится $\nu = 1 10$ моль азота при температуре $t = 20 ^\circ C$ и давлении р = 1 атм. Оцените количество ударов молекул газа о стенки сосуда за время $\Delta t = 1$ с. 10. В схеме, изображенной на рисунке 4 и

Рис. 4

состоящей из батарейки, двух одинаковых конденсаторов и резистора, в начальный момент ключи 1 и 2 замкнуты. В каком случае на резисторе выделится больше тепла: если ключи разомкнуть одновременно или по очереди через большой промежуток времени? Внутренним сопротивлением батарейки пренебречь.

ОТДЕЛЕНИЕ ИНФОРМАТИКИ

Мы будем рады видеть на нашем отделении школьников 8–11 классов, которые пла-

Цель биологического отделения – помочь школьникам углубить и расширить свои знания, а также познакомиться с современными методами и достижениями науки. Программа биологического отделения включает в себя наиболее интересные темы, которым в базовом школьном курсе уделяется мало внимания: это физиология растений, цитология и генетика, теория систематики, физиология человека и животных и некоторые другие разделы. Наши пособия и учебные материалы в первую очередь приучают школьников к самостоятельной творческой работе, дают им возможность приобретения навыков письменного изложения своих мыслей, выдвижения и критического анализа различных гипотез, работы с биологической литературой. Каждый учащийся биологического отделения получает куратора, который проверяет работы и отвечает на возникшие вопросы, а также помогает школьнику увидеть свои слабые места и их скорректировать. Это обеспечивает получение школьниками информации «из первых рук», знакомство с фактами и теориями, которые еще не успели войти в школьные учебники. В зависимости от класса – 8 или 9 – школьники учатся на биологическом отделении ВЗМШ 2 или 3 года. Закончившие 8 классов поступают на 1 курс, а 9 классов – на 2, по окончании 3 курса все ученики, выполнившие программу обучения (по схемам 1-2-3 или 2-3), получают диплом об окончании биологического отделения ВЗМШ. Вступительное задание 1. Составьте определитель (в форме тез и антитез) овощей, продающихся в магазине, по внешнему виду, собрав в нем десяток видов, наиболее типичных для вашей местности. Включать в определитель полные описания не нужно – только те признаки,

46

КВА НT 2020/№3

которые реально могут быть использованы для отличия одних овощей из вашей выборки от других. 2. На океаническом дне обитают представители самых разных групп животных. Какие приспособления к такому образу жизни у них возникли? Для каждого из указанных вами приспособлений приведите один-два примера животных, у которых оно имеется. 3. При разведении животных в неволе имеет место эффект так называемого «вырождения» – уменьшения жизнеспособности из-за близкородственного скрещивания. Интересно, что у разных видов животных вырождение наступает с разной скоростью – в то время как одним видам хватает нескольких поколений, чтобы начать вырождаться, у других маленькие близкородственные популяции могут существовать достаточно долго. Как можно объяснить это явление? С какими особенностями вида может быть связано быстрое или медленное вырождение? 4. Апоптоз – запрограммированная клеточная гибель. Когда клетка получает сигнал к запуску апоптоза, она фактически оканчивает жизнь самоубийством. Подумайте – в каких случаях это может быть полезно для организма? С какими проблемами столкнется человек, если механизм апоптоза в его клетках отключится? 5. В настоящее время на наших глазах разворачивается пандемия нового коронавируса. Расскажите, как вы понимаете: а) чем этот вирус опаснее предыдущих; б) как быстро может появиться лекарство, помогающее в случае нового заболевания, или предупреждающее его; в) какие меры могут быть приняты для предотвращения или замедления эпидемии? В ответах можно использовать и факты, найденные в литературе, и собственные идеи. Просим для сведений, почерпнутых из книг, приводить ссылки на источники (для сведений, взятых из интернета, – точный адрес страницы, с которой вы их взяли).

ОТДЕЛЕНИЕ ФИЛОЛОГИИ

Мы помогаем желающим систематизировать и углубить имеющиеся знания, расширить свой кругозор, приобрести навыки исследовательской работы. Объект нашего интереса, внимания и исследования, конечно же, Слово. Родное и

«чужое», «претворенное» метафорой, образное, терминологически точное. Как правильно написать и к месту использовать; как учесть системные связи; как увидеть и оценить уникальность работы со Словом великих Мастеров? Сколько с ним проблем – у многих, и как приятно встретить к нему интерес – пусть у некоторых! Наши курсы будут полезны и тем, и другим. Прагматики смогут повысить грамотность, научиться решать олимпиадные лингвистические задачи, подготовиться и хорошо сдать ЕГЭ. Те же, кто получает удовольствие от общения с художественным текстом, научатся размышлять над поэзией и прозой русских классиков и писать сочинения, отвечающие требованиям ДВИ (дополнительных вступительных испытаний) филологических факультетов вузов. Ученик филологического отделения находится в постоянном взаимодействии со своим преподавателем, который в рецензии к работе обязательно дает рекомендации, как улучшить результат, а при необходимости индивидуально подбирает дополнительные задания для отработки темы или литературу для более глубокого понимания исследуемого материала.

Вступительное задание 1. Подумайте и напишите, что не так с выражениями: остался за бортом разбитого корыта; довести до белого колена; не мудрствуя долго; ни зги не брезжит; ни слуху ни пера; скрипя сердцем; шито-крыто белыми нитками; не в коне корм. 2. Определите часть речи: (НА)ВСТРЕ- ЧУ, ОЗАБОЧЕ(Н/НН)О. Придумайте предложения, которые помогут доказать вашу точку зрения. 3. Вспомните трех героев русской литературы с «говорящими» фамилиями. Предложите для каждого из них две другие, тоже «говорящие» об их свойствах и качествах, и объясните свой выбор. 4. В приведенном ниже отрывке из пушкинского «Евгения Онегина» найдите аллитерацию и попытайтесь объяснить: зачем автор использует этот фонетический прием, почему именно так?

Бывало, Когда гремел мазурки гром, В огромной зале все дрожало,

47

И Н ФОРМА Ц И Я

Паркет трещал под каблуком, Тряслися, дребезжали рамы; Теперь не то: и мы, как дамы, Скользим по лаковым доскам. Но в городах, по деревням Еще мазурка сохранила Первоначальные красы: Припрыжки, каблуки, усы…

ОТДЕЛЕНИЕ ИСТОРИИ

Обучение на историческом отделении позволит расширить кругозор, подготовиться к олимпиадам по истории, получить высокий балл по ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам. Каждый раздел курса посвящается определенному периоду российской истории, сопровождается множеством иллюстраций, историческими документами, сводами дат, династическими таблицами, которых не найдешь в обычном учебнике. Такие материалы помогут не просто запомнить пройденное, но и понять содержание эпохи. Ведь мы учим не просто запоминать, но и размышлять! На каждое выполненное задание мы даем свой комментарий: ученик не просто знает, правильно ли он ответил, а узнает, почему верен или неверен именно такой ответ. Мы рекомендуем лучшие учебники и пособия, но предлагаем свой, оригинальный, проверенный временем курс. На нашем форуме можно задавать вопросы преподавателям. Отвечают они незамедлительно. Программа обучения рассчитана на школьников старших классов. Вступительное задание 1. Сколько правительниц государства насчитывает история России? 2. Какой сборник законов из ниже перечисленных был первым, изданным массовым тиражом? 1) Судебник Ивана III. 2) Судебник Ивана IV. 3) Соборное Уложение. 4) Воинский артикул Петра I. 3. Почему в совхозе был директор, а в колхозе председатель?

ОТДЕЛЕНИЕ ОБЩЕСТВОЗНАНИЯ

Когда наук много, а предмет один, – это обществознание. Наш курс нацелен на подготовку к ЕГЭ, ОГЭ, олимпиадам по этому предмету и входящим в его состав дисциплинам, в том числе по экономике, праву, поли-

тологии, социологии, философии. Он будет интересен и тем, кто просто хочет стать разносторонне образованным человеком. Задания ЕГЭ по обществознанию, особенно второй части этого экзамена, задания олимпиад очень сложные. Поэтому мы объясняем каждый ответ (неважно, верен он или нет), а не просто ставим баллы за его выполнение. Особое место мы уделяем самому сложному заданию экзамена – написанию эссе. Только такая обратная связь позволяет вдумчиво и полноценно подготовиться к любым экзаменам. Эту же цель преследует форум, на котором ученики могут задать любой вопрос преподавателю. Кроме того, с преподавателем можно связаться через WhatsApp. Программа обучения рассчитана на школьников старших классов. Вступительное задание 1. Руритания, согласно ее Конституции, является социальным государством. Приведите примеры положений, которые могут быть включены в Конституцию Руритании, которые отражали бы данную характеристику. 2. Кристина увлекается орнитологией: весной она записывает пение разных птиц, летом проводит наблюдения за их гнездованием, осенью наблюдает, как собираются на юг перелетные птицы, в школе она делает на уроках доклады о жизни пернатых. Данные факты характеризуют Кристину как 1) личность, 2) индивида, 3) генотип, 4) гражданку. 3. Использование только доказанных фактов, законов и теорий, особого языка характерно для 1) религии, 2) морали, 3) науки, 4) искусства. 4. Одной из главных экономических проблем является 1) условия жизни, 2) ограниченность ресурсов, 3) лень, 4) альтернативная стоимость. 5. Для какого из исторических типов обществ характерно становление массового стандартизированного серийного производства, механизация и автоматизация производственных процессов, безусловное преобладание экономических стимулов к труду? 1) Aграрного, 2) информационного, 3) традиционного, 4) индустриального.

49

ОЛИМПИАДЫ

2. Множество A состоит из n различных натуральных чисел, сумма которых равна $n^{2}$. Множество B также состоит из n различных натуральных чисел, сумма которых $равна^{n} 2$. Докажите, что найдется число, которое принадлежит как множеству A, так и множеству B. Д.Храмцов 3. См. задачу М2595,б «Задачника «Кванта». 4. См.задачу 4 для 9 класса. 5. См. задачу 5 для 9 класса. 6. На доске написано выражение cos x. Разрешается сложить или перемножить несколько написанных на доске выражений (одно выражение может использоваться несколько раз) и дописать полученное новое выражение на доску. Можно ли за несколько действий получить выражение, которое при $x = \pi$ принимает значение 0? Н.Агаханов 7. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD во внешнюю сторону построены прямоугольники. Оказалось, что все вершины этих прямоугольников, отличные от точек A, B, C, D, лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольник ABCD – вписанный. А.Кузнецов 8. На доске пишут n квадратных трехчленов вида $∗^{x} 2 + ∗^{x} +$ ∗ (вместо коэффициентов написаны звездочки). Можно ли при каком-либо n > 100 поставить вместо 3n звездочек некоторые 3n последовательных натуральных чисел (в каком-то порядке) так, чтобы каждый из n данных трехчленов имел два различных целых корня? О.Южаков 9. См. задачу 9 для 9 класса. 10. Петя задумал два многочлена f ( x ) и g ( x ), каждый вида $ax^{2} + bx + c$ (т.е. степень каждого многочлена не превышает 2). За ход Вася называет Пете число t, а Петя сообщает ему (по своему усмотрению) одно из значений f ( t ) или $g (^{t} )$ (не уточняя, какое именно он сообщил). После n ходов Вася должен определить один из Петиных многочленов. При каком наименьшем n у Васи есть стратегия, позволяющая гарантированно этого добиться? М.Антипов

11 класс

1. На доске написано n различных целых чисел. Произведение двух наибольших рав-

но 77. Произведение двух наименьших тоже равно 77. При каком наибольшем n это возможно? Р.Женодаров, жюри 2. См. задачу 2 для 10 класса. 3. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AC опущена высота BH. На стороне BC отмечена точка D, на отрезке BH – точка E, а на отрезке CH – точка F так, что $\angle$ BAD $= \angle$ CAE и $\angle^{AFE} = \angle^{CFD}$. Докажите, что $\angle^{AEF} = 90 ^\circ$. Б.Обухов 4. См. задачу 4 для 9 класса. 5. В таблице $N \times N$ расставлены все натуральные числа от 1 до $N^{2}$. Число назовем большим, если оно наибольшее в своей строке, и малым, если оно наименьшее в своем столбце (таким образом, число может быть и большим, и малым одновременно, а может не быть ни тем, ни другим). Найдите наименьшую возможную разность между суммой всех больших чисел и суммой всех малых чисел. С.Токарев 6. На доске написаны функции $x + 1, x^{2} + 1, x^{3} + 1, x^{4} + 1$. Разрешается дописывать на доску новую функцию, получаемую из двух уже написанных на доске с помощью операций вычитания или умножения. Покажите, как получить ненулевую функцию, которая при положительных значениях аргумента принимает неотрицательные значения, а при отрицательных значениях аргумента – неположительные значения. Н.Агаханов 7. Можно ли раскрасить все натуральные числа в два цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не являлась степенью двойки? Д.Храмцов 8. См. задачу М2594 «Задачника «Кванта» 9. Три сферы попарно касаются внешним образом в точках A, B и C, а также касаются плоскости $\alpha$ в точках D, E и F. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, меньше, чем радиус окружности, описанной около треугольника DEF. А.Кузнецов 10. См. задачу 10 для 10 класса.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, М.Григорьев, П.Кожевников, О.Подлипский