Еще раз о графике синуса
Е.БАКАЕВ
В статье П.Панова (см. «Квант» № 3) обсуждается, как выглядит график sin ( 314x ), состоящий из точек с абсциссами, кратными . Естественно обобщить этот вопрос и выяснить, как выглядит график sin ( ax ), если отмечаются только его точки с абсциссами, кратными d. Здесь же мы рассмотрим другой подход к этой задаче. Для простоты мы тоже возьмем частный случай, но другой: a = d = 1. Построим график: на рисунке 1 изображены точки, соответствующие значениям sin x для целых x от 0 до 50. Но размеры графика и, соответственно, масштаб осей можно выбирать по-разному. Например, вот первые 1000 точек sin x для натуральных x (рис.2) и первые 10000 точек (рис.3). Получается, что a и d это не единственные параметры, от которых зависит, что мы увидим на графике, – важен еще масштаб осей.
Рис. 1
Рис. 3
Графики друг на друга не похожи: на одном вырисовывается узор из шестиугольников, а на другом возникает переплетение линий, похожих на синусы. А ведь они устроены одинаково, просто график с 1000 точками это растянутая в ширину 1 10 часть графика с 10000 точками (при этом растягивании сами точки не вытягиваются в овалы, а по-прежнему остаются круглыми). В этом можно убедиться, посмотрев на график на рисунке 2 сбоку под острым углом. Тем не менее графики выглядят поразному, потому что при таком растягивании расстояние между многими парами точек увеличивается, и точки, которые на рисунке 3 кажутся близкими, на рисунке 2 могут такими не казаться. Такой вопрос был поставлен в книге Гилберта Стрэнга [1]. Более подробно он разобран в статье Нормана Ричерта «Strang’s Strange Figures» [2]. Наш подход будет во многом следовать этим источникам. Но будет и отличаться.
Прямая, намотанная на цилиндр
Рис. 2
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200402
Чтобы сделать дальнейшие рассуждения и вычисления более простыми, перейдем от синусов к рассмотрению прямых. Для этого представим себе цилиндр. Если на прозрачной пленке нарисовать прямую и намотать пленку на прозрачный цилиндр