XLI Турнир городов

ОЛИМПИАДЫ

XLI Турнир городов

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

$1. (4)^{1}$

Карта Квадрландии представляет собой квадрат $6 \times 6$ клеток. Каждая клетка – либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную территорию претендуют все королевства по соседству и только они (т.е. клетки, соседние со спорной по стороне или вершине). Может ли быть, что на каждые две спорные территории претендует разное число королевств? М.Евдокимов

2. (4) Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101? Е.Бакаев

3. (4) На диагонали AC ромба ABCD построен параллелограмм APQC так, что точка B лежит внутри него, а сторона AP равна стороне ромба. Докажите, что B – точка пересечения высот треугольника DPQ. Е.Бакаев

4. (5). Целое число n таково, что уравнение $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx = n$ имеет решение в целых числах x, y, z. Докажите, что тогда и уравнение $x^{2} + y^{2} - xy = n$ имеет решение в целых числах x, y. А.Юран

5. (5) На доске $8 \times 8$ в клетках a1 и c3 стоят две одинаковые фишки (см. рисунок). Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. В свой ход игрок выбирает любую фишку и сдвигает ее либо по вертикали вверх, либо по горизонтали вправо на любое число клеток. Выиграет тот, кто сделает ход в клетку h8.

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за разные пункты одной задачи суммируются).

Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник? В одной клетке может стоять только одна фишка, прыгать через фишку нельзя. В.Ковальджи

10–11 классы

1. (4) Можно ли в каждую клетку $таблицы^{40} \times^{41}$ записать по целому числу так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано такое же число? А.Грибалко

2. (4) Обсуждая в классе зимние каникулы, Саша сказал: «Теперь, после того как я слетал в Аддис-Абебу, я встречал Новый год во всех возможных полусферах Земли, кроме одной!» В каком минимальном количестве мест встречал Новый год Саша? Места, где Саша встречал Новый год, считайте точками на сфере. Точки на границе полусферы считаются не принадлежащими этой полусфере. И.Думанский, Р.Крутовский

3. (5) По кругу стоят буквы A и B, всего 41 буква. Можно заменять ABA на B и наоборот, а также BAB на A и наоборот. Верно ли, что из любого начального расположения можно получить такими операциями круг, на котором стоит ровно одна буква? М.Дидин

4. Существует ли непостоянный многочлен p ( x ) с действительными коэффициентами, который можно представить в виде суммы a ( x ) + b ( x ), где a ( x ) и b ( x ) – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,

44

КВ А НT 2020/№4

а) (2) ровно одним способом; б) (3) ровно двумя способами? Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми. С.Маркелов

окружности в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что угол KDA прямой. А.Юран

5. (5) Даны две окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Произвольная прямая l, проходящая через Q, повторно пересекает окружности в точках A и B. Прямые, касающиеся окружностей в точках A и B, пересекаются в точке C, а биссектриса угла CPQ пересекает прямую AB в точке D. Докажите, что все точки D, которые можно так получить, выбирая по-разному прямую l, лежат на одной и той же окружности. А.Заславский

6. (9) У Пети есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Он выбирает из нее половину карт, какие хочет, и отдает Васе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди выкладывают на стол по одной карте (по своему выбору, в открытом виде); начинает Петя. Если в ответ на ход Пети Вася смог выложить карту той же масти или того же достоинства, Вася зарабатывает 1 очко. Какое наибольшее количество очков он может гарантированно заработать? М.Евдокимов

Сложный вариант 8–9 классы

7. (12) См. задачу М2601 «Задачника «Кванта».

8. (4) Существует ли число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, …, 9 поровну? М.Евдокимов

9. (5) Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и еще две, Алеша Попович – четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею? (Напомним, $что^{41!} =^{1} \cdot^{2} \cdot^{3} \cdot$ … $\cdot^{41}.)$ А.Заславский

10. Существует ли вписанный в окружность N-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если а) (4) N = 19; б) (3) N = 20? М.Малкин

11. (8) Для каких N можно расставить в клетках квадрата $N \times N$ действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от $1 до^{2} ( N -^{1} ) N$ включительно (ровно по одному разу)? М.Дидин

12. (9) Трапеция ABCD вписана в окружность. Ее основание AB в 3 раза больше основания CD. Касательные к описанной

10–11 классы

1. (4) На плоскости даны две параболы: $y = x^{2}$ и $y = x^{2} -^{1}$. Пусть U – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^{6}$, целиком содержащийся в U? А.Толпыго

2. (5) Алеша задумал натуральные числа a, b, c, а потом решил найти такие натуральные x, y, z, что a = НОК ( x, y ), b = НОК ( x, z ), c = НОК ( y, z ). Оказалось, что такие x, y, z существуют и определены однозначно. Алеша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа a и b. Докажите, что Боря может восстановить c. Б.Френкин

3. (8) См. задачу М2598 «Задачника «Кванта». 4. (9) См. задачу М2599 «Задачника «Кванта». 5. (9) См. задачу М2600 «Задачника «Кванта». 6. (10) На доске написаны 2n последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2n последовательных чисел. А.Грибалко