Задачи

КОНКУ РС ИМ Е НИ А. П. С АВИНА

Мы завершаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

29. Положительные числа x и y таковы, что 1 > 3 2 + 5 4 +…………………………. 2017 2016 + 2019 2018 + 2020 + x

1

>

.

3

2 +

4 +

5………………………….

2016 +

2017 2019 2018 + 2020 + y

Что больше: x или y?

C.Дворянинов

30. На доске написаны числа 1, 2, ……, 2020. Какое наименьшее количество чисел надо стереть, чтобы для любых двух оставшихся чисел a и b сумма a + + b не делилась на разность a – b? Фольклор

31. В окружность вписан 1000-угольник, его вершины покрашены поочередно в красный и синий цвета. Каково наибольшее возможное количество красных вершин, углы при которых меньше $179^\circ$? Б.Френкин

32. Рассмотрим плоскость с декартовыми координатами. Можно ли разделить ее на многоугольники так, чтобы строго внутри каждого многоугольника была точка с целыми координатами, а также чтобы а) площадь каждого многоугольника была меньше 0,9; б) существовало такое d, что у каждого многоугольника диаметр меньше d, а площадь меньше 0,9; в) существовало такое d, что у каждого многоугольника диаметр меньше d, а площадь меньше 1? (Диаметром многоугольника называется наибольшее из расстояний между двумя точками на его границе. Например, диаметр квадрата со стороной 1 равен 2 .) Е.Бакаев

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит 12 номеров журнала. Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса России» – 90964. Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦМНО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru