Математическая «археология»: задачи первой советской олимпиады школьников по математике

Квант 2020, №7 с. 17, 18, 19, 27, 29 Тег OG7N

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИ Р

Математическая «археология»:

Задачи первой советской олимпиады школьников по математике

Д.ФОМИН

НА ПРОТЯЖЕНИИ МНОГИХ ЛЕТ всем, кто когда-либо интересовался задачами Ленинградских математических олимпиад (ЛМО), было хорошо известно, что варианты первых ЛМО пропали во время войны и блокады или попросту не были сохранены. Да и в первые послевоенные годы эта печальная судьба не обошла северную столицу – пожалуй, только задачи олимпиад второй половины 1950-х годов удалось найти в более или менее полных вариантах (да и то не для каждого года и не для каждого класса). С одной стороны, это можно понять. Вполне вероятно, что в те годы эти новомодные соревнования не воспринимались как нечто заслуживавшее особого внимания. Тем более, что разные революционные (в полном смысле этого слова) инициативы в образовании сваливались на головы учителей и школьников буквально каждый день. Зачастую не проходило и квартала или двух, как все отменялось, приходили новые министры, директора и другие руководящие энтузиасты, которые изобретали и внедряли совершенно другие способы обучения, новаторские идеи по выявлению молодых дарований, подъему социалистической науки на небывалый уровень и так далее. Не исключено, что многие профессора-организаторы олимпиады не считали нужным хра-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200703

нить все эти многочисленные списки задач, которые – чего уж тут греха таить – поначалу почти ничем особенно и не отличались от обыденных задач школьной программы. С другой стороны, надо отметить, что в те годы и в Ленинграде и в Москве нашлись энтузиасты, которые уже тогда интуитивно понимали, как важно сохранить для истории эти первые олимпиадные задачи, материалы первых кружков. Они аккуратно сберегали эти тексты в своих архивах, а затем публиковали первые статьи и сборники задач, посвященные математическим соревнованиям. Среди москвичей здесь в первую очередь стоит упомянуть Ростислава Николаевича Бончковского (1905–1942) и Иоасафа Ивановича Чистякова (1870–1942). Что касается Ленинграда, то известно, например, что руководители кружков Дворца пионеров Михаил Львович Вержбинский (1909–1962) и Марк Константинович Гавурин (1911–1992) бережно собирали комплекты олимпиадных задач и материалы занятий со школьниками (см. [7]). Но затем они ушли на фронт, а уж что приключилось с их архивами, теперь, наверное, никому не известно. Дочка М.Л.Вержбинского написала в своих воспоминаниях об отце, что во время блокадных зим изза нехватки дров на растопку порубили хранившуюся в их квартире уникальную мебель фирмы «Чиппендейл». Что уж тут

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

говорить о каких-то бумажках с никому не нужными формулами. В 1941 году Ленинградский университет был эвакуирован в Елабугу, а потом в Саратов; многие профессора, аспиранты и студенты ушли на фронт, их записи и архивы пропали – или в блокадном Ленинграде, или во время многочисленных переездов. Когда в конце 1980-х годов я попытался разыскать задачи олимпиад тех далеких довоенных лет, то всеобщий консенсус был таков – «это безнадежно». Да и результаты моих раскопок в Государственной публичной библиотеке (ныне Российская национальная библиотека), в документах и отчетах Дворца пионеров и в более чем тридцати личных архивах привели меня к тому же печальному выводу. В первом издании сборника Ленинградских математических олимпиад ([6]) я примерно так и написал, что, мол, найти задачи довоенных олимпиад представляется крайне маловероятным, реальных шансов на это нет. Тут необходимо упомянуть, что в 1984 году, к пятидесятилетию первой олимпиады, в журнале «Математика в школе» была опубликована любопытная статья Н.М.Матвеева и С.Е.Рукшина [5], в которой авторы, в частности, цитировали воспоминания $С.В.Валландера^{1}$ , а затем сообщали нам, что «история сохранила первую задачу первой олимпиады». При этом в статье отсутствовала точная атрибуция этого утверждения. Вот условие приведенной там задачи: Задача про кубик. Сколько существует различных способов раскрасить грани кубика шестью цветами? (Два способа раскраски называются различными, если их нельзя совместить поворотом кубика.) Когда я прочитал этот текст вскоре после его публикации, то моя первая реакция была – какой приятный сюрприз! Мало того, что удалось найти задачу первой ЛМО, так еще и задачка-то сама весьма

1 Сергей Васильевич Валландер – победитель первой ЛМО, в будущем доктор физ.-мат. наук, член-корр. АН СССР, декан математико-механического факультета ЛГУ в 1965–1973 гг.

МИ Р

симпатичная и не стандартная, совершенно не похожая на подавляющее большинство других задач математических соревнований тех лет, которые выглядят так, как будто их только что переписали из школьного учебника. Полюбовавшись на задачу, я немного призадумался, поскольку у меня возникло ощущение, что где-то я ее уже видел. И в самом деле, открыв сборник [3], я тут же обнаружил эту задачу… в варианте первой Московской математической олимпиады 1935 года. Могли ли москвичи использовать задачу с ленинградской олимпиады предыдущего года? Нечего даже и говорить, что в наше время это было бы абсолютно невозможно. Но тогда, в эпоху самых первых математических соревнований, во времена, когда скорость распространения узкоспециализированной технической информации была крайне невелика, подобные вопросы, конечно же, не воспринимались столь серьезно. Трудно было утверждать что-либо наверняка, хотя мне и показалось, что это (т.е. повторное использование уже опубликованной задачи) все же маловероятно – если даже и допустить, что москвичам так понравилась эта задача, что им без нее никак было не обойтись, то вполне достаточно было бы слегка видоизменить ее условие; сделать это было бы совсем несложно. Поэтому у меня возникла – впрочем, ни на чем не основанная – гипотеза, что за давностью лет произошло этакое непроизвольное «наложение» варианта ММО-1935 на воспоминания об ЛМО-1934. В кратких воспоминаниях другой участницы первой олимпиады М.Л.Александровой ([4]) приводились некоторые дан-

КВАНТ 2020/№7

ные про организацию самого соревнования, но, увы, задач олимпиады она не помнила. Ясно было, что однозначно разрешить это небольшое и, вообще говоря, не очень существенное разночтение не представлялось возможным. Оставалось только надеяться, что когда наши отдаленные потомки изобретут машину времени, то один из них посетит Ленинград весной 1934 года, и тогда благодарное человечество наконецто получит в свое распоряжение полный список задач первой в мировой истории городской математической олимпиады. Однако, почти тридцать лет спустя, при подготовке переиздания сборника ЛМО я предпринял дополнительные поиски в интернете – в основном с целью разыскать какие-либо фотографии тех лет. И довольно скоро (в январе 2020 года), почти по чистой случайности, я натолкнулся на выпуск сборника «Математическое просвещение», изданного в Москве в 1935 году. В этой книжке была опубликована статья И.И.Чистякова [2] под длинным официозным названием «Математическая олимпиада Ленинградского государственного университета им. А.С.Бубнова». Нечего и говорить, что я был приятно ошеломлен и обрадован. Во-первых, Чистяков указывал точную дату олимпиады (среда, 18 апреля). Во-вторых, он более подробно описал схему организации олимпиады, а также сообщил, сколько именно школьников приняло участие во втором и третьем (заключительном) туре – 307 и 48 человек соответственно. В-третьих, и это было самое важное, в приложении к этой заметке были перечислены одиннадцать задач олимпиады. Впервые за много лет были найдены хотя бы некоторые задачи первой в СССР математической олимпиады! Вопрос об атрибуции в статье был также полностью опущен, но в данном случае речь шла о работе, написанной по горячим следам только что прошедшего соревнования. Естественно было предположить, что либо сам автор статьи, либо редакция сборника получили список задач непос-

редственно от организаторов первой ЛМО – в частности, с января 1935 года главный «идеолог» Ленинградской олимпиады Борис Николаевич Делоне уже жил и работал в Москве (в связи с переездом туда Математического института Академии наук СССР). К сожалению, в статье не было указано, какие именно из этих задач относятся к первому (тренировочному), второму или третьему туру олимпиады. Задача про раскраску кубика отсутствовала (что, однако, ничего не означало, ибо из текста явствовало, что приложение содержало лишь набор из нескольких избранных задач олимпиады). Однако сам факт обнаружения этой заметки послужил для меня толчком к дальнейшим поискам. Не прошло и нескольких месяцев, как в середине мая 2020 года (хоть какой-то прок от печального короновирусного карантина), продолжая «блуждать» по просторам мировой сети, я обнаружил там копию журнала «Математика и физика в средней школе» (предшественника журнала «Математика в школе») за 1934 год, в котором была опубликована аналогичная статья того же автора [1]. Название этой статьи было более лапидарным («Итоги Ленинградской математической олимпиады»), и за исключением некоторых малосущественных деталей она практически не отличалась от статьи [2]. Однако в этой версии сразу за основным текстом следовало приложение, содержавшее комплект задач третьего тура ЛМО-1934! В уже упомянутых выше воспоминаниях М.Л.Александрова написала, что каждый участник заключительного тура олимпиады получил две задачи – первая по алгебре, вторая по геометрии. Именно так и выглядит это приложение к статье [1] – оно состоит из восьми вариантов по две задачи. Необходимо указать, что по непонятной причине (не поместилась? потеряна? случайно пропущена при наборе?) отсутствует задача 5(a) – впрочем, не исключено, что эта задача содержится в списке из приложения к статье [2] – см. ниже задачи 1934.X, 1934.Y и 1934.Z.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Теоретически возможно, что это все еще не полный набор всех вариантов. Мне лично верится с трудом в то, что жюри приготовило по отдельному варианту для каждого из 48 участников, тем более что их количество не было заранее известно. Идея многовариантной олимпиады состояла в том, чтобы исключить возможность списывания – даже тогда, на самой первой олимпиаде, на это уже обращали внимание, что, впрочем, и не удивительно. Однако восьми вариантов вполне должно было хватать – Александрова вспоминает, что участников рассадили в несколько аудиторий Главного здания университета. Видимо, организаторы хотели гарантировать, чтобы в каждом помещении сидели школьники с разными вариантами условий – тогда такая организация проведения устного тура выглядит вполне разумно. Конечно, существует ненулевая вероятность того, что количество вариантов могло быть и больше, скажем десять или двенадцать. Но в таком случае, однако, было бы трудно объяснить, почему публикация не содержала полный комплект задач. Что касается задачи о раскраске кубика, то нельзя полностью исключить, что она была включена в рассылавшийся по школам список тренировочных задач, на основе решения которых школы формировали свои «команды» на второй тур (этот школьный этап был вполне заслуженно назван первым туром ЛМО-1934). Такое предположение теоретически могло бы объяснить воспоминания одного из участников, что эта задача была самой первой задачей олимпиады. Я, однако, честно сознаюсь, что эта гипотеза не кажется мне правдоподобной. В статье [2] упомянуто, что список задач первого тура состоял из «90 задач из различных разделов алгебры, геометрии и тригонометрии»; кстати, многие из них также перечислены в приложении к этой статье под заголовком «Упражнения для учащихся», другой список тренировочных задач приведен в предыдущем выпуске (1934, №3) того же журнала «Математика и физика в средней школе»; ни одной нестандартной задачи в этих списках нет.

МИ Р

Если же речь шла о втором туре олимпиады, то он, как и третий тур, был составлен по многовариантному методу, что опятьтаки исключало возможность использования такой задачи. Не исключено, однако, что вопрос про кубик был одной из дополнительных задач, которые предлагались школьникам, решившим все задачи основного варианта. Как бы то ни было, теперь мы можем с достаточно серьезным основанием заявить, что вопрос о задачах основных вариантов заключительного тура первой в истории городской математической олимпиады практически разрешен. Любители математических соревнований, наконецто, могут ознакомиться со многими задачами Ленинградской математической олимпиады 1934 года. И кто знает, может быть, среди тех, кто читает эти строки, найдутся потомки ленинградских школьников, учителей, студентов или профессоров, в чьих давно забытых семейных архивах до сих пор хранятся задачи или фотографии с олимпиад других довоенных лет. Будем надеяться, что нам не придется ждать еще почти девяносто лет до следующей публикации, посвященной истории Ленинградских городских математических олимпиад. Впрочем, на худой конец, у нас всегда остается вариант с машиной времени.

А теперь – задачи третьего тура первой ЛМО (набор из восьми вариантов, перечисленных в статье [1]). В некоторых местах мною исправлены опечатки и заменена устаревшая терминология.

Третий тур. 10-й класс. 1934 год

1934.01. (a) Покажите, что если а, b, c – стороны треугольника, то корни уравнения $b^{2} x^{2} b^{2} c^{2} a^{2} x c^{2} 0$ будут $мнимые^{2}$ . (б) Треугольник скользит по своей плоскости так, что две его стороны все время

2 Т.е. эти корни не могут быть вещественны-

ми числами.

ЗАДАЧНИК

Рис. 2

«КВАНТА»

ловию покоится, то линейная скорость точки второго колеса, связанной в данный момент с первым, равна нулю, скорость его центра $v_{1}$ равна скорости рычага в этой точке: $v_{1} 2 r Z$ . Поэтому это колесо должно вращаться с такой угловой скоростью Z 2, что

2 r Z Z 2 r

Рис. 3

как показано на рисунке 3. Проследим за вращением точки А четного (шестого колеса) и точки В нечетного (пятого колеса). Пусть после рассматриваемого момента времени прошел малый интервал времени ’ t. Тогда рычаг повернулся на угол ‘M Z’ t по часовой стрелке. На такой же угол по отношению к рычагу (ведь колеса имеют угловую скорость Z относительно рычага) повернутся и колеса: четное колесо – по часовой стрелке, нечетное колесо – против часовой стрелки. На рисунке 4

Рис. 4

показано положение рычага и колес в этот момент времени, а углы поворота рычага и колес изображены дугами. Из этого рисунка заключаем, что четное колесо повернется по отношению к своему начальному положению на угол 2’M по часовой стрелке, а нечетное не повернется вообще. Это значит, что угловые скорости четного колеса и рычага складываются и дают удвоенную угловую скорость, а угловые скорости нечетного колеса и рычага вычитаются. Таким образом, при вращении рычага по часовой стрелке (при условии, что первое колесо закреплено) все четные колеса, а значит и шестое, будут вращаться вокруг своей оси по часовой стрелке с угловой скоростью 2Z, нечетные же колеса вообще не будут вращаться вокруг своей оси. Возможно также другое решение – без перехода в систему отсчета, связанную с рычагом. Поскольку первое колесо по ус-

0, и $Z_{2}$

2 Z.

Отсюда находим линейную скорость точки второго колеса, которая контактирует с третьим колесом: $v_{23} 2 Z r Z_{2} r 4 Z r$ . Скорость центра третьего колеса $v_{3}$ равна скорости рычага в той точке, где находится центр третьего колеса: $v_{3} 4 r Z$ . Из двух последних формул видим, что и центр третьего колеса и его точка, касающаяся второго, имеют одинаковые скорости. Следовательно, третье колесо не вращается: $Z_{3} 0$ . Поэтому и его точка, касающаяся четвертого колеса, имеет такую же линейную скорость: $v_{34} 4 Z r$ . Значит, такую же скорость имеет и точка четвертого колеса, касающаяся третьего. С другой стороны, линейная скорость центра четвертого колеса $v_{4}$ равна линейной скорости рычага в той точке, где находится центр четвертого колеса: $v_{4} 6 Z r$ . Следовательно, четвертое колесо должно вращаться с такой угловой скоростью $Z_{4}$ , что $6 Z r Z_{4} r 4 Z r$ , и $Z_{4} 2 Z$ . И так далее. Из этой цепочки равенств видим, что угловая скорость всех нечетных колес равна нулю, а всех четных равна 2Z.

Ф2607. Инженеры-взрывотехники проводят испытание новых видов взрывчатки в открытом снизу толстостенном цилиндрическом «колоколе» массой М и радиусом R, стоящем на земле. Внутри

ЗАДАЧНИК

Отсюда находим суммарный импульс осколков, ушедших в землю:

$R^{2} 2 mE$

$4 R^{2} h^{2}$

Такой же импульс (но направленный вверх) получит колокол, следовательно, по закону сохранения импульса его скорость сразу после взрыва заряда будет равна

$R^{2} 2 mE$

$4 R^{2} h^{2} M$

(здесь мы пренебрегли массой осколков, застрявших в колоколе). Высоту подъема колокола теперь можно найти по закону сохранения энергии:

$V^{2} 2 g$

$mER^{4}$

$16 R^{2} h^{2}$

$M^{2} g$

Ф2608. Рассмотрим модель передачи вращения между двумя параллельными осями, основанную на трении. Два одинаковых конуса – ведущий и ведомый – прижимаются друг к другу по образующей (рис.1). Ведущий конус вращается с постоянной угловой скоростью Z, к его оси приложен момент внешних сил М. С какой угловой скоростью вращается ведомый конус? Конусы прижаты друг к другу равномерно по образующей с силой N. Угол при вершине конусов D, коэффициент трения между конусами P, высота конусов h.

За счет силы трения ведущий конус разгонит ведомый до какой-то угловой скорости и в стационарном режиме вращения угловые скорости обоих конусов не будут ме-

Рис. 1

«КВАНТА»

няться. Но поскольку линейные скорости разных точек на поверхности каждого конуса разные, между касающимися друг друга точками конусов есть проскальзывание и должны действовать силы трения скольжения. Действительно, точки ведущего конуса, находящиеся дальше от его оси, имеют бульшие линейные скорости и должны опережать точки ведомого конуса, с которыми они контактируют. А точки ведущего конуса, находящиеся ближе к его оси, имеют меньшие линейные скорости и должны отставать от точек ведомого конуса, с которыми они контактируют. А это значит, что в разных точках поверхности каждого конуса сила трения действует по-разному. На ведущий конус действует тормозящая сила трения со стороны ведомого конуса в тех его точках, которые опережают точки ведомого, и разгоняющая сила трения в тех его точках, которые отстают от точек ведомого. Однако суммарная сила трения, действующая на ведущий конус, должна быть тормозящей, поскольку он вращается равномерно при действии на него момента внешних сил. Из условия равенства момента внешних сил и момента суммарной силы трения можно найти точки конусов, имеющие одинаковые линейные скорости (сечение равных скоростей). Итак, пусть сечение равных скоростей находится на расстоянии $h_{0}$ от вершины ведущего конуса (показано пунктиром на рисунке 2), сила нормальной реакции, действующая между конусами, равна N. Рассмотрим тонкий слой ведущего конуса толщиной ’ x, лежащий на расстоянии x от

Рис. 2