А так ли хорошо знакомы вам экстремумы в физике?

…из всех лучей, падающих из данной точки и отражающихся в данную точку, минимальны те, которые от плоских и сферических зеркал отражаются под равными углами. Герон Александрийский

Из всех путей от точки А к точке В свет выбирает тот путь, на который требуется наименьшее время. Пьер Ферма

По обе стороны от места наибольшего значения убывание вначале нечувствительно. Иоганн Кеплер

В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Леонард Эйлер

А так ли хорошо знакомы вам

?

экстремумы в физике

Как, располагая определенной суммой, выбрать в магазине максимальное количество необходимого товара; как затратить минимальное время на подготовку к экзамену, рассчитывая на высокую оценку? А вот задания посерьезнее: уменьшить до предела вес прибора, посылаемого на Марс; выпустить как можно больше продукции, используя ограниченное оборудование; добиться наименьших транспортных расходов при доставке грузов; запустить ракету на максимальную высоту при заданном запасе топлива… Это не что иное, как задачи поиска наибольших и наименьших значений, максимумов и минимумов, обобщенно экстремумов, или задачи оптимизации. Последние столетия физики и математики – порой вразнобой, чаще «нога в ногу» – бились над методами их решения и достигли, без преувеличения, превосходных результатов, продвинув их и в экономику, и в химию, и в медицину…

Вопросы и задачи

1. Вдоль железной дороги стоят километровые столбы на расстоянии 1 км друг от друга. Один из них покрасили в желтый цвет и шесть – в красный. Сумма расстояний от желтого столба до всех красных равна 14 км. Чему может быть равно максимальное расстояние между красными $столбами?^{2.}$ По одну сторону от прямой дороги расположены поселки А и В. Где на дороге нужно поставить автобусную остановку, чтобы суммарный путь до нее от поселков был $наименьшим?^{3.}$ Начальные положения и скорости двух равномерно движущихся кораблей показаны на рисунке. Как найти минимальное расстояние между $ними?^{4.}$ Определите минимальную скорость, с которой пловец может переплыть реку шириной d 40 м при условии, что его не должно снести на расстояние больше s 30 м. Скорость течения реки $2^{м}$ с $.^{5.}$ На графике представлена зависимость проекции ускорения прямолинейно движу- щегося тела от времени. В какие моменты скорость тела наименьшая; $наибольшая?^{6.}$ Из точки А тело движется по прямой с начальной скоростью, равной нулю, и останавливается в точке В. При этом оно может двигаться с постоянным по модулю ускорением и равномерно. Каков должен быть характер движения, чтобы его время было $минимальным?^{7.}$ Имеется множество гладких наклонных плоскостей с одинаковыми основаниями s, но разными высотами. При какой высоте h время соскальзывания тела по

$наклонной^{плоскости}$ будет минимальным?$^{8.}$ Какова скорость лопатки паровой турбины, при которой максимальная часть кинетической энергии бьющей в нее струи пара переходит в энергию вращения $турбины?^{9.}$ На диаграмме p, T процесс, проводимый с идеальным газом, изображается в виде окружности. Объем газа постоянен. Как определить графически, где масса газа максимальна и где $минимальна?^{10.}$ Давление идеального газа, расширяющегося по линейной зависимости, падает в два раза при удвоении объема. Начальная температура газа $T_{0}$. Чему равна максимальная температура в этом $процессе?^{11.}$ Найдите минимальное расстояние между предметом и его действительным изображением в тонкой линзе, фокусное расстояние которой F известно.

Микроопыт

Склейте противоположными сторонами прямоугольный лист кальки или бумаги для запекания. Полученную поверхность – произвольной формы в поперечном сечении – поставьте вертикально на дно плоской тарелки и медленно наливайте в нее воду, придерживая так, чтобы вода не могла внизу просочиться. Какую форму примет поверхность?

Любопытно, что…

…об экстремальных свойствах круга и шара в Древней Греции знали с 4 века до новой эры. Однако задачи подобного рода исследовались тогда только геометрическими методами, и каждая из них для своего решения требовала специфического приема. …общие подходы к изучению «спровоцированных» практикой экстремальных задач начали проявляться лишь в XVII веке, что привело к созданию дифференциального и интегрального исчисления – мощнейшего исследовательского инструмента естествознания. …Винченцо Вивиани, итальянский ученый, ученик Галилея, построивший по идее своего учителя маятниковые часы, а по поручению Торричелли выполнивший знаменитый опыт по доказательству существования атмосферного давления, был извес-

тен и своей книгой «О максимальных и минимальных значениях». …прозвучавшую еще у Герона мысль о том, что природа управляется экстремальными принципами, развил Ферма. От идеи кратчайшего пути, выбираемого светом, он пришел к утверждению о минимуме времени, затрачиваемого на прохождение неоднородной среды, что позволило ему вывести закон преломления света. …подтверждением того, что природа пользуется экстремальными решениями, служит форма ячеек пчелиных сот, на строительство которых при заданном объеме идет наименьшее количество воска, или форма мыльной пленки, ограниченной двумя проволочными кольцами и имеющей наименьшую площадь поверхности. …изучая движение центров тяжести тел, Торричелли опирался на принцип, носящий сейчас его имя и гласящий, что механическая система в состоянии с наименьшей потенциальной энергией находится в равновесии. …из всех шариков, скатывающихся по разным гладким желобкам из одной определенной точки в другую, быстрее всех у цели окажется шарик, скользящий по циклоиде (или брахистохроне). С решения этой и аналогичных задач, возникающих в геометрии, механике, физике, началось создание вариационного исчисления. …дальнейшее развитие теории экстремальных задач в XX веке было вызвано потребностями космонавтики, энергетики, транспорта, что привело к бурному росту таких научных направлений, как линейное программирование, оптимальное управление и теория катастроф.

Что читать в «Кванте» об экстремумах в физике

(публикации последних лет)

1. «Задачи с экстремумами» – 2015, №1, с.46; 2. «Принцип Ферма и необычное поведение света» – 2017, №2, с.27; 3.«Движение тел в гравитационном поле» – 2018, №9, с.29; 4. «Исследуем сферу ЭКСПО-2017» – 2019, №3, с.34; 5. «Относительность движения в задачах динамики» – 2019, №4, с.40; 6. «Муравей на консервной банке» – 2020, №2, с.31.

Материал подготовил А. Леонович