Вячеслав Викторович Произволов

МАТЕМАТИ Ч ЕСКИЙ МИ Р

Вячеслав Викторович Произволов

Вот уже год как не стало замечательного математика Вячеслава Викторовича Произволова. Читателям «Кванта» он в первую очередь известен как задачный композитор, обладающий уникальным чутьем и вкусом. С конца 1990-х до середины 2000-х Вячеслав Викторович заведовал «Задачником «Кванта». В его ярких задачах всегда просматривается незабываемый изящный авторский почерк. В этом и ближайших номерах мы вспомним некоторые из его замечательных задач. На семинаре учителей математики, посвященном памяти Вячеслава Викторовича, выступила его дочь, учитель математики Александра Вячеславовна Дроботова. Приводим здесь текст ее рассказа.

ВЯЧЕСЛАВ ВИКТОРОВИЧ РОДИЛся незадолго до войны, в 1939 году. Одним из первых его воспоминаний и впечатлений было удивление: он сидит на коленях у деда, а дед протягивает ему кусок фанеры и говорит: «Кушай, внучек!» Оказалось, это была вафля! Первые шаги на научном поприще вряд ли можно назвать удачными. Папа рассказывал, как он ходил в первый класс: выходил из дому, в соседнем дворе прятал портфель и шел по своим делам. К обеду забирал портфель и возвращался домой. Когда тайное стало явным, последовало громкое возмездие. И дальше процесс учебы развивался примерно в этом же духе. Математикой папа заинтересовался в пионерском лагере, после 8 класса. Друг предложил решить несколько логических задач, Слава решил и, очарованный, спросил: «Что это?» Оказалось, математика. В результате в выпускном классе работу папы на Московской математической олимпиаде заметил Андрей Николаевич Колмогоров. Участникам было предложено несколько задач. Приступив к одной из них, папа не заметил или не увидел одно из условий, получилась задача с неполными исходными данными. Все время, отведенное на олимпиаду, папа потратил на эту задачу, провел целое исследование. Види-

мо, удачно, потому что за решение этой задачи он получил поощрительную премию. В 1956 году Вячеслав Викторович поступил на мехмат МГУ. Первые годы работал с Андреем Николаевичем Колмогоровым и Павлом Сергеевичем Александровым. Вернее, конечно, академики работали с ним. Где-то в это время появилась так называемая теорема Произволова – что-то связанное с топологией. Когда я приставала, чтобы Вячеслав Викторович объяснил мне суть теоремы, он морщился и махал рукой. На третьем курсе пришла пора выбрать научного руководителя. После бурных всеобщих переживаний руководителем стал Павел Сергеевич Александров. Область

В центре – Павел Сергеевич Александров, справа – Вячеслав Викторович Произволов (выпускной вечер в МГУ, 1961; фото Е. Ермаковой)

19

$МАТЕМАТИ_{Ч}$ ЕСКИЙ

научных интересов студента Произволова – топология. Затем аспирантура, преподавание на мехмате, участие в научных симпозиумах, конференциях, защита диссертации, около 15 научных статей. Долгое время он преподавал в ВЗМИ (Всесоюзном заочном машиностроительном институте). Читал в том числе теорию вероятностей и статистику. Была у Вячеслава Викторовича знаменитая лекция про колбасу. Суть в том, что некое событие происходит не по одной какой-то причине, а по совокупности нескольких причин, каждая из которых имеет свой вес. Так вот папа начинал лекцию с вопроса: «Почему колбасу режут наискосок?» Постепенно аудитория разогревалась, и высказывались самые разные версии ответов, от шуточных до строго научных. Например, что руке так удобнее двигаться, что кусок колбасы так больше: бутерброд вкуснее, и даже, что, согласно науке, вероятность того, что угол будет в точности равен 90 градусов, равна 0. Причин десять Вячеслав Викторович выписывал на доске, а затем снова спрашивал: «Так почему колбасу режут наискосок?» После работы во ВЗМИ Вячеслав Викторович работал в ЦНИИ Госстроя. Вот, например, одна из задач, которые там решались. Нужно подобрать размер ячейки металлической сетки, которую натягивают на стройке вдоль перекрытий так, чтобы сквозь сетку не проваливался инструмент. Чем крупнее ячейка, тем дешевле, чем мельче, тем надежнее. С этого времени Вячеслав Викторович начинает составлять задачи. Как он объяснял, нужно было поле для игры ума. Началось многолетнее сотрудничество с «Квантом». Затем работа в МИРОСе (Московском институте развития образовательных систем), организация и участие летних математических выездов под Кострому, отбор задач для Московской математической олимпиады. Появилась книжка «Задачи на вырост». Так получилось, что сама я никогда не решала папиных задач с листа, из журнала или книжки. Некоторые из задач или их элементы папа давал мне во время прогу-

МИР

Вячеслав Викторович Произволов (начало 90-х) лок. Мы с папой шутили, что он приверженец перипатетиков: любил обучать на ходу, во время прогулки. Например, когда я слышу слова «теорема Пифагора», мне до сих пор вспоминаются пифагоровы штаны, нарисованные прутиком на снегу. Вячеслав Викторович был очень разносторонним человеком, блестящим собеседником. Он увлекался минералогией, классической музыкой, историей, философией, поэзией. Его можно было заслушаться. Что касается проблем математического образования, Вячеслава Викторовича всегда приводило в желчное настроение появление очередной методички с названием вроде «Математика легко и весело». Он очень злился, говорил, что не надо, нельзя делать вид, что изучать математику – это просто. Это серьезный труд. Важно, что это может быть интересным. Подтверждение тому – его задачи.

23

ЗАДАЧНИК

Далее докажем, что всегда найдется пестрый путь длины не меньше n. Предположим противное. Для каждой пары соседних по стороне одноцветных клеток a и b поставим стенку (единичный отрезок) на их общую сторону. После «возведения стен» пестрый путь становится просто путем (по соседним клеткам), которые не проходит через стенку. Так как никакой квадрат 2 u 2 не состоит из четырех одноцветных клеток, невозможно, чтобы 3 или 4 стенки сходились в одном узле решетки. Значит, в каждой вершине сходится не более двух стенок, поэтому стенки образуют несколько (непродолжаемых) попарно непересекающихся ломаных (некоторые из которых могут быть замкнутыми). Если некоторый пестрый путь соединяет некоторую клетку нижнего ряда с некоторой клеткой верхнего ряда, то его длина не меньше n – противоречие. Значит, стенки должны отделять клетки нижнего ряда от клеток верхнего ряда. Следовательно, некая (незамкнутая) ломаная P, состоящая из стенок, должна начинаться в некотором узле A на левой стороне данной таблицы, а заканчиваться в некотором узле B правой стороны. При этом отметим, что A и B не являются углами (угловыми узлами) таблицы (поскольку в угле не сходится стенок). Также отметим, что первое и последнее звенья ломаной P горизонтальны. Аналогично ломаной P определим ломаную Q, идущую от верхней стороны таблицы к нижней стороне. При этом первое и последнее звенья ломаной Q вертикальны. Очевидно, ломаные P и Q различны. Из предыдущего следует, что они должны пересекаться в некотором внутреннем узле таблицы, что противоречит нашему выводу о том, что различные ломаные из стенок не пересекаются. Полученное противоречие завершает решение задачи. Н.Белухов

«КВАНТА»

$Ф2613.^{1}$ Для изучения циклона, который со средней скоростью 20 км/ч перемещался к северу, с одного аэродрома были направлены два беспилотных летательных аппарата – БПЛА – с разными полетными заданиями. Каждый аппарат должен был, оставаясь от центра циклона на расстоянии 20 км по горизонтали и двигаясь с постоянной скоростью относительно окружающего воздуха 20 м/с на определенной высоте (одинаковой для обоих аппаратов), облетать центр циклона. Один аппарат – по часовой стрелке (если смотреть сверху), а второй – против часовой стрелки. В момент старта расстояние от аэродрома до центра циклона как раз равнялось 20 км. Через 15 часов полета оба БПЛА практически одновременно приземлились на одном аэродроме, расположенном севернее аэродрома, с которого они взлетали, причем все время полета каждый строго выполнял заложенную в память компьютера программу полета. Сколько кругов вокруг центра циклона совершил один из БПЛА, если второй все время двигался по отношению к земле по прямой линии и не совершил ни одного круга?

Если один из аппаратов двигался по прямой, то это означает, что его скорость по отношению к земле была такой же, как и скорость центра циклона, т.е. 20 км ч. Иными словами, в движущейся поступательно системе отсчета, в которой центр циклона неподвижен, этот аппарат был неподвижен. Следовательно, на расстоянии 20 км от центра циклона скорость ветра в этой системе отсчета равна 20 м c. А скорость другого аппарата в системе отсчета, связанной с циклоном, равна сумме относительной и переносной скоростей, т.е. равна 40 м c. За 15 часов этот аппарат налетает такое расстояние, что сумеет совершить вокруг центра циклона

N

1

40 м c ˜ 15 ˜ 3600 c | 17 кругов. 2 S ˜ 20 ˜ $10^{3}$ м

Автор решений задач Ф2613–Ф2616 – С.Варламов.

26

КВАН T 2020/№9

Казалось бы, чем помогает какая-то посторонняя окружность? Если бы ее центр был дан, то построение перпендикуляра было бы очевидным (см., например, линии 3 и 4 в способе 2). А поскольку центра в нашем распоряжении нет, то остается только игнорировать эту окружность. Так ведь? Нет, не так! Парадоксально, но наличие даже «посторонней» окружности дает новые варианты построения перпендикулярной прямой.

Способ 4. Вписанный четырехугольник

Данная в условии окружность нарисована синим цветом (рис.4). Проведем прямую AB, а также окружность с центром A через точку B. Пусть E – точка пересечения этих прямой и окружности (т.е. точка, симметричная B относительно A), а D – точка пересечения двух $окружностей.^{Рис.} 4$ Тогда третья линия – прямая DE; пусть F – точка ее пересечения с данной окружностью. Прямая AF – искомая. Доказательство. Четырехугольник ABDF – вписанный, поэтому сумма противоположных углов равна 180q. Так как ‘ BDE опирается на диаметр BE, то он прямой. Следовательно, ‘ BAF тоже прямой.

Рис. 5

точке F. Это напрямую следует из того, что угол BDE опирается на диаметр BE, а значит, является прямым. Следовательно, угол BDF также прямой, а так как вписанный угол BAF опирается на ту же дугу, то и он прямой.

Способ 6. Две окружности и одна прямая

Опять начинаем с произвольного центра окружности, но саму окружность проведем через точку A (рис.6). Пусть D – вторая точка ее пересечения с данной (синей) окружностью. Теперь строим (вторая линия) окружность с центром B радиусом BD. Эта окружность пересечет две предыдущие окружности в точках E и F. Тогда прямая EF пересекает первую из построенных нами окружностей в такой точке G, для которой угол GAB – прямой.

Способ 5. Произвольная oкружность плюс две прямые

Как и в предыдущем способе, мы хотели бы построить точку F, диаметрально противоположную B в данной синей окружности. Но делать это будем совсем иначе. Первый шаг – возьмем произвольный центр C и проведем окружность радиусом CB (рис.5). Если D – вторая точка ее пересечения с данной окружностью, а E – второй конец диаметра BC, то прямая DE пересечет синюю окружность в нужной

Рис. 6

27

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

Докажем, что в данной конструкции действительно ‘ GAB 90 q. В этом состояло утверждение задачи М2606. M2606. Три окружности $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ проходят через одну точку D и пересекаются вторично в точках A, E, F, как показано на рисунке 7. Известно, что $Z_{3}$

Рис. 8

Рис. 7

проходит через центр B окружности $Z_{2}$. Прямая EF вторично пересекает $Z_{1}$ в точке G. Докажите, что ‘ GAB 90 q.

Доказательство. Пусть GA пересекает вторично $Z_{3}$ в точке H (рис. 8). Тогда ‘ HED ‘ DAG ‘ DFG, значит, ‘ EFD 180 q ‘ HED, что означает касание прямой HE и окружности $Z_{2}$. Следовательно, ‘ HEB 90 q, откуда ‘ HAB 90 q, что нам и нужно.

Рис. 9

Отметим, что в приведенном решении E–G–H–E является частным случаем замкнутой траектории через попарные точки пересечения окружностей, проходящих через одну точку (рис. 9).

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит 12 номеров журнала. Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»_{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru