Равновеликость от Произволова

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Равновеликость от Произволова

А.БЛИНКОВ

ВЯЧЕСЛАВ ВИКТОРОВИЧ ПРОИЗволов был выдающимся композитором математических задач для школьников. Многие из них вошли в его замечательную книжку «Задачи на вырост», изданную последний раз в 2003 году, но далеко не все. Сейчас в МЦНМО готовится новое, дополненное издание этой книги. Большинство задач В.В.Произволова отличают запоминающиеся факты в условиях, умение по-новому преподнести, казалось бы, известную идею, краткость и изящество решений. Будучи настоящим математиком, «поймав» какую-либо идею, он старался ее развить, поэтому его задачи легко объединять в серии, из которых можно составлять кружковые занятия для школьников, что и делают многие преподаватели. Одна из серий задач Произволова уже была представлена в статье «Угол в квадрате» («Квант» №4 за 2014 г.). А для этой статьи отобраны задачи, связанные с площадями. В них можно проследить несколько излюбленных идей и приемов Вячеслава Викторовича. Подчеркнем, что многие из предлагаемых задач можно решить разными способами, но мы будем обсуждать именно авторские решения, которые не требуют громоздких вычислений и в то же время, как правило, содержат глубокие идеи. Начнем со сравнительно простой задачи, идея решения которой известна практически каждому школьнику, но ее не так-то просто опознать. Задача 1. Параллелограммы ABCD и ВEFG с общей вершиной В расположены так, что точка С лежит на отрезке EF, а точка G – на отрезке AD. Докажите, что эти параллелограммы равновелики. Решение. Площадь каждого параллелограмма равна удвоенной площади треугольника BCG, так как этот треугольник имеет

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200904

общее основание и равную высоту с каждым из параллелограммов (рис.1).

А вот похожая идея, но ее увидеть и $реали-^{Рис.} 1$ зовать существенно сложнее. Задача 2. На стороне АС треугольника АВС задана точка $B_{1}$. На сторонах АВ и ВС постройте точки $C_{1}$ и $A_{1}$ соответственно так, чтобы площади треугольников $AB_{1} C_{1}, BC_{1} A_{1}$ и $CA_{1} B_{1}$ были равны. Решение. Равновеликость (равенство площадей) указанных треугольников равносильна равновеликости параллелограммов, для которых стороны треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ являются диагоналями (рис.2).

Рис. 2

Отсюда следует, что надо построить ломаную $B_{1} KC_{1} MA_{1} N$, последовательные звенья которой соответственно параллельны АВ, АС, ВС, АВ и АС. Тогда площадь параллелограмма $AC_{1} KB_{1}$ равна площади параллелограмма $CKC_{1} M$ (у них общая сторона CK и равны высоты, проведенные к ней), а площадь $CKC_{1} M$, в свою очередь, равна площади параллелограмма $BC_{1} MA_{1}$ (у них общая сторона $C_{1} M$ и равны высоты, проведенные к ней). Из равновеликости $AC_{1} KB_{1}$ и $BC_{1} MA_{1}$ следует равенство площадей треугольников $AB_{1} C_{1}$ и $BC_{1} A_{1}$. Чтобы доказать, что треугольник $CA_{1} B_{1}$ имеет такую же площадь, достаточно провести аналогичное рассуждение. Но сначала надо доказать, что $CB_{1} NA_{1}$ – параллелограмм. Это несложно, так как $NA_{1} B_{1} C$ по построению, а равенство этих сторон следует из того, что $AB_{1} C_{1} K MC$. В следующей задаче – другой случай стандартной равновеликости (и ее надо сначала увидеть!). Но прежде всего она служит иллюстрацией еще одной идеи, которая привлекала Произволова, – это использование объединения и пересечения фигур.