Задачи М2646—М2649; Ф2653—Ф2656

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2646, М2647 предлагалась на заключительном этапе XIII Олимпиады имени Л.Эйлера. Задачи Ф2653–2656 предлагались на Московской физической олимпиаде 2021 года.

Задачи М2646–М2649, Ф2653–2656 M2646. Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спербанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладет на счет $k (^{k}$! 0 ) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он $добавляет^{k} 1$ рублей, на третий$^{k}$ 2 рубля и т.д.). Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счет, общая величина счета уменьшается банком в два раза. Найдите все такие k, при которых сумма на счете всегда будет выражаться целым числом рублей. С.Берлов

M2647. При каких натуральных n можно так отметить несколько клеток доски n u n, чтобы во всех строках и столбцах было четное число отмеченных клеток, а на всех диагоналях, длина которых больше одной клетки, – нечетное? С.Берлов

M2648. Дан треугольник ABC. Пусть $точка^{C} c$ на стороне AB такова, что $отрезок^{CC} c$ делит треугольник на два треугольника с равными радиусами вписанных окружностей (рис.1). Обозначим через $t_{c}$ длину отрезка CC c. Аналогично $определим_{a}^{t} и_{b}^{t}$. Выразите площадь треугольника ABC через $t_{a}, t_{b}, t_{c}$. К.Мосевич Рис. 1

M2649. Изначально точечные частицы A, B, C находятся соответственно в точках 0;0, 1;0, 0;1 координатной плоскости. Каждую минуту какие-то две частицы отталкиваются друг от друга вдоль прямой, соединяющей их текущие положения, проходя одинаковое (положительное) Рис. 2 расстояние (рис.2). Может ли частица A оказаться в точке а) 3;3; б) 2;3? в) Могут ли B и C оказаться одновременно соответственно в точках 0;100 и 100;0? К.Кривошеев

Ф2653. Отношение количества кислорода к количеству азота в некотором объеме «неправильного воздуха» равно 1:5. На рисунке 3 изображены графики зависимости давления насыщенных паров азота (красная линия) и кислорода (синяя линия) от температуры. Температура неправильного воздуха в начальный момент $равна_{0}^{t} 120 q C$. В процессе охлаждения в некоторый момент времени кислород и азот одновременно начинают конденсироваться. Используя график, определите как можно точнее, каким было начальное давление неправильного воздуха, если охлаждение производилось изобарически. А если изохорически? А.Бычков, П.Крюков

22

КВАН T 2021/№4

фишки разбиты на 1200 блоков. Тогда ему надо получить блок 0-го типа (на самом деле он получит три таких блока, которые и составляют требуемую фишку). За ход Петя выбирает в каждой строке блок наименьшего типа. Один из этих трех блоков сдвинется вправо и превратится в три блока предыдущего типа, так что общее количество блоков останется тем же. Петя сможет так действовать, пока каждая строка непуста; осталось показать, что этого не случится до выигрыша. Действительно, заметим, что после каждого хода в любой клетке, кроме самых левых и той, в которую только что пришли фишки, стоит не более чем два блока. Значит, в каждой строке не более чем 400 99 ˜ 2 1 600 блоков. Поскольку общее число блоков равно 1200, в каждой строке осталось хотя бы по одному блоку, что и требовалось. И.Богданов, П.Святокум, А.Хузиева, Д.Шабанов

Ф2641. Прямой участок магистрального газопровода (МГ) высокого давления проходит с востока на запад мимо двух поселков: Анискино и Борискино. Поселки расположены севернее газопровода. Кратчайшие расстояния от этих поселков до газопровода составляют 14 км и 16 км соответственно. Расстояние между точками на МГ, которым соответствуют эти минимальные расстояния, равно 10,39 км. Для газификации поселков на магистральном газопроводе требуется построить одну распределительную станцию, которая будет подавать газ с уменьшенным давлением в поселки. Определите наименьшую суммарную длину газопровода низкого давления (ГНД), необходимую для поставки газа в поселки. Укажите также место на МГ, в котором следует построить эту распределительную станцию.

Возможны разные варианты. Рассмотрим два из них. 1) Есть общий для двух поселков участок трубы, который сначала идет по кратчайшему пути к Анискино, а затем продолже-

ние идет по кратчайшему пути из Анискино в Борискино. В этом случае длина ГНД составит

14 км +

2

16 14 10,39

2 км

24,58 км.

2. Вспомним вариант, который «ищет сама природа» в том случае, когда мыльная пленка натягивается на проволочную конструкцию и самопроизвольно «выбирает» такое расположение, при котором площадь этой пленки будет минимальной. Вот этот вариант мы и обсудим в подробностях. Представим себе три длинные параллельные друг другу проволочные конструкции, две из которых неподвижны, а третья может поступательно и без трения перемещаться в направлении, перпендикулярном себе самой (при этом каждая точка этой подвижной проволоки движется строго по прямой линии). Эта третья проволока, можно сказать, скользит без трения вдоль направляющих (вдоль магистрального газопровода). Естественно, конструкция остановится в таком положении, что три участка мыльной пленки будут образовывать друг с другом двугранные углы величиной 120q. При этом пленка, натянутая на подвижную проволоку, будет перпендикулярной к направляющим, вдоль которых может скользить эта подвижная проволочка (соответствующий общий участок ГНД будет перпендикулярен трубе магистрального газопровода). Ну вот, теперь можно заняться вычислениями. Участки ГНД, идущие от места раздвоения каждый к своему поселку, составляют с МГ углы 30q. Если провести такие линии через Анискино и Борискино (считая их точками), то пересечение этих линий произойдет на расстоянии 12 км от газопровода высокого давления. Таким образом, общий для двух поселков участок ГНД имеет длину 12 км. При этом точка на МГ, в которой нужно установить распределительную станцию, делит отрезок между точками с минимальными расстояниями от Анискино (А) и Борискино (Б) в отношении 1:2 и расположена ближе к точке А. В таком случае участки ГНД от