Как возникает хаос. Законы равновесного хаоса идеального газа

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Как возникает хаос. Законы равновесного хаоса идеального газа

А.ВЛАСОВ

ВСЕНТЯБРЕ 1859 ГОДА НА ЗАСЕДАнии Британской научной ассоциации Дж.Максвелл доложил о своих исследованиях в области молекулярной кинетической теории газов. В этом докладе впервые был приведен статистический закон распределения скоростей молекул. С этой работы в кинетической теории газов появляется вероятность, начинается становление статистической физики. Здесь уместно привести цитату из книги Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица «Статическая физика»: «Предмет статистической физики… составляет изучение особого типа закономерностей, которым подчиняются поведение и свойства макроскопических тел, т.е. тел, состоящих из колоссального количества отдельных частиц – атомов и молекул …На первый взгляд отсюда можно было бы заключить, что с увеличением числа частиц должны невообразимо возрастать сложность и запутанность свойств механической системы и что в поведении макроскопического тела мы не сможем найти и следов какой-либо закономерности. Однако это не так, и мы увидим в дальнейшем, что при весьма большом числе частиц появляются новые своеобразные закономерности. Эти – так называемые статистические закономерности… – ни в какой степени не могут быть сведены к чисто механическим закономерностям». Сразу отметим, что мы ограничимся исследованием простейших классических идеальных систем. Попытаемся проследить, как с ростом числа частиц, составляющих систему, в ней возникает предельный статистический порядок. Естественно, здесь не будет красивой (но для школьника непонятной)

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210403

математики, однако и без формул, в которых воплощен порядок хаоса, нам не обойтись. Отвечать на поставленные вопросы будет компьютер (естественно, мы предоставим ему соответствующую программу). Начнем с уточнения модели идеального газа.

Модель идеального газа Из школьного учебника известно, что идеальный газ – это система невзаимодействующих материальных точек. Но в такой модели нет главного – отсутствует возможность возникновения хаоса и, соответственно, нет возможности возникновения вероятностного порядка. Очевидно, что хаос в замкнутой (изолированной) системе невзаимодействующих частиц может возникать только в результате их столкновений. Столкновения возможны только между частицами, имеющими размер. Если считать молекулы газа упругими шариками, то возникает проблема «исключенного» объема. Газ твердых шариков – это уже не идеальный газ, и его равновесное состояние уже не подчиняется уравнению Клапейрона–Менделеева. Но можно исправить положение, предложив особый – виртуальный – механизм столкновений. В момент виртуального столкновения определяются (вычисляются) изменения скоростей, но эти изменения временно «откладываются». Шарики продолжают движение, и только в момент кратчайшего расстояния между их центрами «включается» отложенное изменение скоростей.

Распределение Максвелла и закон равномерного распределения Здесь нам не обойтись без понятия вероятности. Сделаем небольшое отступление в область элементарной теории вероятности. Физические процессы бывают детерминированными и случайными. Соответственно, параметры (физические величины), характеризующие эти процессы, являются детерминированными или случайными. Характер процессов и их параметров определяется в ходе повторных измерений. Для детерминированных величин повторные измерения дают неизменные результаты (в пределах погрешности измерения). Для случайных величин повторные измерения приводят к множеству (спектру) значений. Вероятность – характеристика случайного процесса. Ее «математика» строится на идее

33

ФИЗИЧЕСКИЙ

координаты частиц рассчитываются по формулам $x_{i} x_{i}^{v} i$ ˜ dt, где dt – очень малый промежуток времени. При перекрытии сфер шариков возникает фаза удара. Рассчитываются новые скорости встретившихся молекул, и движение продолжается. На протяжении всего компьютерного эксперимента собирается необходимая информация о физическом состоянии системы. В нашем случае это статистика скорости и энергии молекул. На рисунке 4 показан вероятностный спектр скоростей молекул газа. Компьютер эту кар-

ФАКУЛЬТАТИВ

Рис. 5

Рис. 4

тинку получает следующим образом. Весь возможный интервал скоростей молекул делится на малые ячейки. После каждого шага движения в соответствующие ячейки (в те ячейки, в которые попадает скорость молекулы) добавляется по 1. По завершении достаточно продолжительного эксперимента содержимое ячеек делится на число шагов (число испытаний). Понятно, что таким делением мы определяем вероятность скорости молекул в данном интервале. Полученный график доказывает дискретность спектра скоростей молекул. Всего состояний 36. Можно отметить наличие достаточно четкой симметрии в спектре. И, что самое важное, этот спектр зависит от начальных условий. Тому подтверждение повторный график системы с другими начальными условиями (рис. 5). Интересно, что число состояний остается прежним, но картинка спектра существенно меняется. И наблюдается совсем неожиданное (для такой малой системы, всего 2 частицы) равенство средних энергий легкой и тяжелой частиц. В двух реализациях отношение средних энергий достаточно близко к единице (0,988 и 1,139).

Рис. 6

При увеличении числа частиц до 4 (две пары частиц легкая – тяжелая) функция вероятности резко меняется (рис. 6). Она становится практически непрерывной. Число состояний превышает 400 (число ячеек скорости). На графике видно, что уже все ячейки скорости заполнены, а точность вычислений уже не позволяет выявить дискретность. Смена начальных состояний практически уже не меняет спектр и поэтому при дальнейшем увеличении числа частиц можно перейти к функциям плотности вероятности. Для этого интервальную вероятность следует поделить на величину интервала. На графике на рисунке 7 представлена функция плотности вероятности проекции скорости для 3 пар частиц. Точки (крестики) – компьютерный эксперимент, синяя непрерывная линия соответствует теоретической функции Максвелла для случая одномерного идеального газа

$mv^{2}$

U v

m ˜ $e^{2} kT. 2 S kT$

34

КВАН T 2021/№4

Рис. 7

Двумерная модель идеального газа Здесь все значительно интереснее. Модели газа второй и третьей размерности должны иметь непрерывный спектр скоростей (при малом числе частиц дискретного спектра уже не будет). Это определяется непрерывностью углового параметра, определяющего изменение скоростей при столкновениях. Теперь посмотрим, как меняется спектр скоростей при увеличении числа частиц. На рисунке 10 представлен график для 2 частиц. Очень неожиданный и красивый результат – линейная функция плотности вероятности (для системы двух частиц наиболее вероятным является наличие максимальной скорости). Это очень далеко от функции Максвелла. Но стоит добавить одну частицу, и система начинает «исправляться» (рис. 11). С дальнейшим ростом числа частиц система очень быстро по спектру скоростей «сходится» к функции Максвелла (рис. 12 для 16 частиц). Здесь уместно привести (для любителей программирования) дополнительную инфор-

Рис. 8

Рис. 10

Рис. 9

На графике видно, что уже для 3 пар (6 частиц) проявляется достаточно четкая корреляция с функцией Максвелла. Следующий график (рис 8) соответствует системе из 10 пар (20 частиц). Здесь теоретическая кривая практически совпадает с экспериментальной, различия видны (небольшие флуктуации) только в области нулевых скоростей. И наконец, график на рисунке 9 для 50 пар (100 частиц) иллюстрирует, что эксперимент и теория идеально совпадают.

Рис. 11

37

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

A при этом совершили, если при вращении стержни отклонились на угол D 45 q? Ускорение свободного падения примите равным g 10 м $с^{2}$, размерами грузов можно пренебречь. 2. Колебательная система состоит из груза $массой^{m,} лежаще-_{Рис.} 4$ го на гладкой горизонтальной плоскости, невесомого гладкого блока, двух невесомых, нерастяжимых нитей и трех невесомых пружин $жесткостью_{1}^{k} 2 3$ Н см $,_{2}^{k} 1 2$ Н см $и_{3}^{k} 1$ Н см соответственно, соединенных так, как показано на рисунке 5. Центр масс груза лежит на одной горизонтали с прикрепленной к нему нитью и осью пружины $жесткостью_{1}^{k}$. В положении равновесия все пружины растянуты. Считая, что нити все время остаются $натянутыми,^{Рис.} 5$ определите круговую частоту Z малых гармонических колебаний груза. 3. В полностью заполненном баллоне объемом $V_{0} 5$ л помещается $m_{0} 2,5$ кг сжиженного пропана $( C_{3} H_{8} ).$ Если часть пропана из баллона выпустить наружу, то в нем будут находиться в равновесии жидкий пропан и его насыщенный пар. Найдите массу $m_{1}$ пропана, находящегося в баллоне в газообразном состоянии, когда из этого баллона выпущено D (%) первоначально находившегося пропана, если температуру пропана поддерживают постоянной и равной t 17 q C. Давление насыщенных паров пропана при этой температуре p 0,8 МПа. Молярная масса пропана 0 44 г моль, универсальная газовая постоянная R 8,31Дж моль ˜ К. 4. Две разноименно заряженные частицы находятся на оси х декартовой системы координат на расстоянии l 3 см друг от друга (рис.6). Удерживая одну частицу неподвижной, вторую частицу переместили в направлении оси у на расстояние $l_{1} 4$ см. При этом была совершена работа $A_{1}$. Рис. 6

МАТЕРИАЛЫ

Какую работу $A_{2}$ понадобится совершить, чтобы после этого передвинуть вторую частицу на расстояние $l_{2} 2$ см в направлении оси х? 5. На горизонтальном дне аквариума лежит плоское зеркало. Человек, наклонившийся над водой и смотрящий вертикально вниз, видит изображение своего глаза в зеркале на расстоянии l 50 см. Определите толщину слоя H воды в аквариуме, если глаз расположен на расстоянии h 10 см от ее поверхности. Показатель преломления воды считайте равным n 4 3. Учтите, что для малых значений аргумента M, заданного в радианах, можно считать tg M | sin M | M.

Заключительный этап

Заключительный этап олимпиады проводился 25–27 февраля 2021 года в дистанционном формате на портале https: exam.distant.msu.ru. Для участия в этом этапе к рабочему месту испытуемого предъявлялись определенные технические требования (с ними можно ознакомиться на сайте олимпиады). Задание для учащихся 7–9 классов состояло из четырех задач по темам, изучаемым в рамках программы по физике для основной общеобразовательной школы. Задания для учащихся 10–11 классов были составлены в полном соответствии с Кодификатором ЕГЭ 2021 года по физике и охватывали основные разделы Кодификатора, а именно: 1) механику, 2) молекулярную физику и термодинамику, 3) электродинамику и 4) оптику. Типовое задание состояло из четырех различных разделов, включающих задачи и уточняющие вопросы по теории. На выполнение заданий для всех классов отводилось 4 астрономических часа (240 минут).

7–9 классы 1. При выполнении лабораторной работы по физике ученик получил в свое распоряжение три пружины, жесткости двух из которых оказались $равными_{1}^{k} 10$ Н м $и_{2}^{k} 20$ Н м соответственно, а жесткость третьей была неизвестна. По указанию учителя ученик соединил все три пружины последовательно и растянул получившуюся составную пружину, подействовав на каждый из ее свободных концов силой F 1 Н (рис.7). Измерив полное удлинение ’ l со-