Задачи М2690—М2693; Ф2697—Ф2700

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2690 – М2693 предлагались на региональном этапе XLVIII Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2697 – Ф2700 предлагалась на Инженерной олимпиаде школьников 2021/22 учебного года. Автор задач – С.Муравьев.

Задачи М2690–М2693, Ф2697–Ф2700 M2690. У Васи есть n конфет нескольких сортов, где n t 145. Известно, что если из данных n конфет выбрать любую группу, содержащую не $менее^{145}$ конфет (в частности, можно выбрать группу из всех данных n конфет), то существует такой сорт конфет, что выбранная группа содержит в $точности^{10}$ конфет этого сорта. Найдите наибольшее возможное значение n. А.Антропов

M2691. На плоскости отмечены N точек. Любые три из них образуют треугольник, величины углов которого в градусах выражаются натуральными числами. При каком наибольшем N это возможно? Е.Бакаев

M2692. В окружность: вписан шестиугольник AECDBF $(рис.^{1).}$ Известно, что точка D делит дугу BC пополам, а треугольники ABC и DEF имеют общую

Рис. 1

вписанную окружность. Прямая BC пересекает отрезки DF и DE в точках X и Y, а прямая EF пересекает отрезки AB и AC в точках Z и T соответственно. Докажите, что точки X, Y, T, Z лежат на одной окружности. Д.Бродский

M2693. Докажите, что существует натуральное число b такое, что при любом натуральном n! b сумма цифр числа n! не $меньше^{10} 100$. Д.Храмцов

Ф2697. Незнайка решил изготовить «инновационного ваньку-встаньку». Для этого он взял очень много шаров одинаковой плотности, радиусы которых отличаются вдвое. Незнайка скрепил шары так, что все их центры лежат на одной прямой, а радиус каждого последующего меньше радиуса предыдущего в 2 раза. Незнайка решил, что из-за большой массы самого нижнего шара такая конструкция, поставленная на большой шар, будет устойчивой. Но «ванька-встанька» устойчивым не был. Объясните, почему. Знайка посоветовал Незнайке прикрепить к самой нижней точке большого шара точечное массивное тело (рис. 2; массивное тело показано цветной жирной точкой). Какую оно должно иметь массу, чтобы «инновационный ванька-встанька»