Решения задач М2678—М2681; Ф2685—Ф2688

17

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

Рис. 5

Рис. 2

стал устойчивым? Масса самого большого шара m.

Ф2698. Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа ОА (стержня, прикрепленного к шарниру О), шатуна АВ (стержня, шарнирно прикрепленного к кривошипу в точке А) и ползуна В (точечной детали, шарнирно связанной с шатуном и способной перемещаться вдоль поверхности). Известно, что механизм находится в равновесии в положении, показанном на рисунке 3. Найдите коэффициент трения между ползуном и поверхностью, если D 60 q, E 90 q, массы кривошипа и шатуна одинаковы, масса ползуна пренебрежимо мала.

Рис. 3

Рис. 4

Ф2699. Четыре одинаковых стержня АЕ, ЕD, DB и DC соединены так, как показано на $рисунке^{4.}$ В точках соединения обеспечен тепловой контакт между стержнями. Температуры точек А, В и С поддерживаются равными $t_{A} t, t_{B}^{2} t, t_{C}^{3} t$ соответственно. Найдите температуру точки D. Известно, что поток тепла по стержню зависит от его длины, площади сечения и материала и пропорционален разности температур его концов. Потоком тепла через боковые поверхности стержней можно пренебречь.

Ф2700. При фотографировании в помещении с помощью двух фотоламп с ограниченным ресурсом работы используется следующая методика работы. При наводке на резкость, выборе экспозиции и т.д.

лампы включают не на полную мощность последовательно, а при фотографировании лампы включают параллельно, обеспечивая максимальную освещенность фотографируемого объекта. Предложите такую схему соединения двух ламп, чтобы лампы были подключены к источнику последовательно, но при включении одного выключателя их соединение с источником менялось на параллельное. Во сколько раз возрастает освещенность объекта при таком переключении? Считайте, что вся энергия, выделяющаяся в лампах, превращается в световую. В распоряжении имеются один идеальный источник электрического напряжения, две одинаковые электрические лампы, один двухполюсный выключатель и провода. Двухполюсный выключатель $(рис.^{5)}$ одновременно замыкает или размыкает два провода.

Решения задач М2678–М2681, Ф2685–Ф2688 M2678. Дан треугольник ABC. Пусть A c, B c, C c – середины сторон BC, CA, AB, а $O_{a}, O_{b}, O_{c}$ – центры окружностей, описанных около треугольников CAC c, ABA c, BCB c соответственно $(рис.^{1).}$ Докажите, что треугольники ABC и $O_{a} O_{b} O_{c}$ подобны.

Рис. 1

34

КВА НT 2022/№3

Рис. 3

прямые линии при рассматривании через кристалл кальцита могут раздваиваться в различной степени или даже совсем не раздваиваться. Почему это происходит? Нанесем на лист бумаги несколько точек и будем рассматривать их через кальцит (рис. 4). Мы увидим два изображения каждой точки, соответствующие ои е-лучам. Для всех точек линии, соединяющие их изображения, параллельны и вертикально ориентированы. Этот рисунок позволяет объяснить наблюдавшуюся картину раздваивания линий. Например, три левые точки на бумаге были расположены на вертикальной прямой. Видим, что после прохождения через кристалл изображения ои е-лучей этих точек также находятся на одной и той же вертикальной прямой. Отсюда следует, что исходная вертикальная линия, составленная из множества точек, раздваиваться не будет. Теперь будем поворачивать кристалл над рисунком с точками (рис. 5 и 6). Видим, что для каждой точки изображение, соответствующее одному лучу, остается неподвижным, а второе движется вокруг него. При этом линия, соединяющая их, остается параллельной диагонали тупого угла верхней грани.

Рис. 5

Рис. 4

Напомним, что в нашем опыте исходные лучи падают на кристалл перпендикулярно его ромбической грани {1011}. Поэтому, вопервых, о-луч (для него показатель преломления в кальците $n_{o}$ 1,658) сохраняет исходное направление и не меняет его при вращении кристалла. Соответствующее ему точечное изображение остается неподвижным. Вовторых, е-луч (показатель преломления в кальците $n_{e}$ меняется в диапазоне 1,486– 1,658) испытывает преломление в кристалле. Величина преломления зависит от кристаллографического направления, по которому падает исходный луч. Вращение кристалла приводит к вращению е-луча вокруг о-луча. Где же в кальците проходит оптическая ось (линия O O c на рисунке 1), т.е. то направление, вдоль которого свет, распространяясь, не испытывает двойного лучепреломления? Это направление [0001], совпадающее с осью симметрии 3-го порядка в решетке кальцита (при повороте вокруг этой оси на угол 2 S 3 тело переходит в само себя). В нашем опыте лучи света падают на кристалл не по направлению оптической оси, а под углом 57 q 30 c к ней. Поэтому мы и наблюдаем картину двупреломления (двулучепреломления).

Рис. 6

38

КВА НT 2022/№3

Рис. 3

ной поверхностью посредством гладкого участка. Определите угол D, который образует с горизонтом шероховатая наклонная поверхность, если эта шайба поднимается по ней на такую же высоту h. Коэффициент трения между шайбой и шероховатой поверхностью P. Ответ приведите в градусах, округлив до целых. 2. На шероховатом горизонтальном столе находится брусок массой M с прикрепленной к нему легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый неподвижный блок (рис. 4). Ко второму концу нити привя-

Рис. 4

зана легкая пружина жесткостью k 10 Н м с подвешенным на ней грузом массой m 100 г. В начальном состоянии груз удерживают в таком положении, что нить слегка натянута, а пружина не деформирована, причем правый конец нити и пружина занимают вертикальное положение. В некоторый момент груз отпускают из состояния покоя. Спустя время W S 30 с | 0,105 с после этого брусок сдвигается с места. Найдите коэффициент трения P между бруском и столом. Ответ округлите до сотых. 3. В теплоизолированном вертикальном цилиндре под тяжелым теплоизолирующим поршнем находится идеальный одноатомный газ. Расстояние между поршнем и дном сосуда H 1 м. Сверху на поршень медленно насыпают малую порцию песка, масса которой m значительно меньше массы поршня. На какую величину ’ U изменится в результате этого внутренняя энергия газа? Ускорение свободного падения примите равным g 10 м $с^{2}$. Ответ приведите в миллиджоулях, округлив до целых. 4. В цепи, схема которой показана на рисунке 5, в некоторый момент замыкают ключ K. Найдите напряжение U на катушке к тому моменту, когда через резистор проте-

Рис. 5

чет заряд q 1 мКл. Индуктивность катушки L 1мГн, сопротивление резистора R 4 Ом, ЭДС источника E, а его внутреннее сопротивление r 1 Ом. Ответ приведите в вольтах, округлив до десятых. 5. Стеклянный кубик освещается широким пучком параллельных световых лучей, параллельных одной из его граней, как показано на рисунке 6. Определите ширину d

Рис. 6

параллельного пучка лучей, выходящих из кубика в направлении падающего пучка. Длина ребра кубика a, коэффициент преломления стекла n 1,5. Ответ приведите в сантиметрах, округлив до десятых.

Заключительный этап

Заключительный этап олимпиады проводился 24–26 февраля 2022 года в дистанционном формате на портале https: exam.distant.msu.ru. Для участия в заключительном этапе к рабочему месту испытуемого предъявлялись определенные технические требования (с ними можно ознакомиться на сайте олимпиады). Задание для учащихся 7–9 классов состояло из четырех задач по темам, изучаемым в рамках программы по физике для основной общеобразовательной школы. Задания для учащихся 10–11 классов были составлены в полном соответствии с Кодификатором ЕГЭ 2021 года по физике и охватывали основные разделы Кодификатора, а именно: 1) механику, 2) молекулярную физику и термодинамику, 3) электродинамику и 4) оптику. Типовое задание состояло из четырех раз-