Очередной набор в ВЗМШ

Квант 2022, №6 с. 42, 61 Тег 8OLO

ИНФ ОРМ А Ц И Я

Наши контакты: https: vzms.ru https: lycuz2.mskobr.ru +7(926)280-28-20 [email protected] (почта, прием) https: vk.com vzmsh 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, Второй учебный корпус, ауд. 307

Всероссийская заочная многопредметная школа приглашает школьников и учителей из всех регионов России, ближнего и дальнего зарубежья для обучения по программам дополнительного дистантного (он-лайн) образования. ВЗМШ – старейший в России центр дополнительного образования. Она была основана в 1964 году по инициативе выдающихся математиков, академиков И.Г.Петровского (в то время ректора МГУ) и И.М.Гельфанда. В настоящее время ВЗМШ – структурное подразделение знаменитого московского физикоматематического Лицея «Вторая школа». Мы учим математике, физике, биологии, русскому языку и литературе, истории, обществознанию. Наши преподаватели – это сотрудники МГУ имени М.В.Ломоносова и других ведущих вузов и академических институтов. Ими написана обширная библиотека уникальных учебных пособий по математике, истории, обществознанию и другим предметам. Созданные ими методики позволяют вести заочное (он-лайн) обучение на самом высоком уровне. Обучение старшеклассников в ВЗМШ направлено прежде всего на подготовку к олимпиадам и ЕГЭ. Однако мы считаем, что даже самая высокая оценка не может быть самоцелью. У нас занимаются преимущественно такие ученики, для которых на первом месте стоит саморазвитие, которые хотят знать СВЕРХ ТОГО (сверх школьной программы) и приобрести дополнительные знания по самым разным предметам. ВЗМШ окончили более 200 тысяч школьников. Из их рядов вышло множество ученых, исследователей, педагогов. Многим учеба в ВЗМШ помогла лучше ориентиро-

ваться в жизни, ставить перед собой бульшие задачи, добиваться задуманного. ВЗМШ, в отличие от курсов или кружков, это самая настоящая школа, со своей программой, ритмом, контрольными работами, двусторонней связью между учеником и учителем. Мы предоставляем наши материалы в электронном виде, постоянно общаемся с нашими учениками через социальные сети, рассказываем им о том, что не входит в программу обучения, но помогает их развитию, знакомим с книгами и статьями наших преподавателей, проводим видеоконференции и видеолекции. В ВЗМШ существует особая форма работы – группа «Коллективный ученик». Это группа школьников, работающая по методическим пособиям ВЗМШ под руководством школьного учителя по тем же программам и пособиям, что и индивидуальные ученики. В помощь учителям – кураторам таких групп – разрабатываются специальные методические и учебные материалы. Ученики под руководством учителя вместе обсуждают пройденный материал, полученные задания. Сотрудничество с ВЗМШ, как показывает наш многолетний опыт, многие учителя воспринимают и как свою собственную учебу. Обучение в формате «Коллективный ученик» имеет следующие преимущества: контакт с учителем упрощает обучение, что особенно важно для тех школьников, которым сложно самостоятельно, без наставника, организовать свое время; совместные занятия создают творческую атмосферу, в которой есть место и для конкуренции, и для кооперации; присылаемые из ВЗМШ материалы могут служить учителю хорошей базой для организации в школе кружка или факультатива, помогают подготовить учеников к участию в олимпиадах и сдаче ЕГЭ; ученики принимаются в ВЗМШ без выполнения вступительного задания; плата за обучение одного ученика меньше, чем при индивидуальном обучении. Подробно ознакомиться с программами обучения, зарегистрироваться, выполнить вступительные задания, а также подать заявку для группы «Коллективный ученик» можно здесь: math-vzms.org Приступить к обучению можно в любое время! Расскажем подробнее о наших отделениях и приведем условия соответствующих вступительных работ.

КВ А НT 2022/№6

Отделение математики

Будущих математиков мы обучаем работать с научными текстами, четко излагать свою мысль, предоставляем возможность, используя наши пособия, продвинуться в изучении различных математических вопросов настолько далеко по сравнению с необходимым минимумом, насколько они сами этого захотят. Мы помогаем углубить и расширить полученные в школе знания, подготовиться к ЕГЭ, ОГЭ и прочим экзаменам. Тем, кому уже ведомо удовольствие от решения математических задач, мы надеемся доставить радость от размышления над новыми, похожими и вовсе не похожими на прежние, задачами. Мы последовательно обучаем школьников с 4 по 11 класс. Начать обучение можно с любого класса.

Вступительная работа

Рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса эта задача предназначается (имеется в виду тот класс, в котором вы будете учиться в следующем учебном году). Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается. 1. (5 кл.). Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того, как Чип принес 120, а Дейл – 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них? 2. (5 кл.) Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 648 метров. Сколько простых и сколько творческих людей «отрастили» волку хвост? 3. (5 кл.) Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января? 4. (6 кл.) На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и разделились

на две стаи: одна стая уселась на ветви старой березы, а другая – на ольху. Через некоторое время с березы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с березы, после чего на березе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально? 5. (6 кл.) На карточках были написаны числа 1, 2, 3, …, 111. Ваня взял себе карточки с четными номерами, а Таня – с нечетными. У кого из них сумма чисел на карточках получилась больше и на сколько? 6. (6 кл.) На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Разбейте его на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки так, что суммарная длина проведенных отрезков не превосходит 16 клеток. 7. (7 кл.) Иннокентий хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Его друг Макар утверждает, что это невозможно. Кто прав? 8. (7 кл.) В правильном 2018-угольнике провели все диагонали. Петя выбирает наугад какие-то N диагоналей. При каком наименьшем N среди выбранных диагоналей гарантированно найдутся две, имеющие одинаковую длину? 9. (7 кл.) У юного художника была одна банка синей и одна банка желтой краски, каждой из которых хватает на покраску $38 дм^{2}$ площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зеленая трава и желтое солнце. Зеленый цвет он получал, смешивая две части желтой краски и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы на картине на $6 дм^{2}$ больше, чем площадь неба? 10. (8–10 кл.) Два города А и В расположены на берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга. Пароход может проплыть из А в В и обратно за 1 час. Больше или меньше времени понадобится ему, чтобы проплыть 20 км по озеру? 11. (7–10 кл.) а)Можно ли занумеровать ребра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров ребер, которые в ней сходятся, была одной и той же? б) Аналогичный вопрос, если расставлять по ребрам куба числа 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

Рис. 19

Рис. 18

Можно. Взвешивания приведены на схеме (рис. 18; золотые монеты – желтые, серебряные – серые, бронзовые – коричневые). Случаи, когда левая чаша перевешивает, разбираются аналогично. 7. Заметим, что угол многоугольника M может быть равен 60q, 90q, 120q, 150q. Значит, каждый внешний угол M не меньше 30q. Поскольку сумма внешних углов многоугольника равна 360q, у M не более 12 углов, причем их может быть 12 только в случае, когда все углы равны по 150q. Если у M меньше 12 сторон, то не все его углы равны 150q. Мысленно вставим несколько сторон нулевой длины: если есть угол 120q, вставим в соответствующую вершину сторону нулевой длины, если есть угол 90q ( 60q ) – две (три) последовательные стороны нулевой длины. В итоге получится 12 сторон, некоторые из которых равны 0. Назовем характеристикой многоугольника M набор $a_{1}, a_{2}$ , … $, a_{12}$ длин его сторон, перечисленных в порядке обхода против часовой стрелки от фиксированной вершины. Стороны $a_{1}, a_{3}$ , … $, a_{11}$ будем называть нечетными, а стороны $a_{2}, a_{4}$ , … $, a_{12}$ – четными. Назовем каемкой разбиения объединение плашек (квадратов и равносторонних треугольников), имеющих хотя бы одну общую точку с границей многоугольника M (рис.19). Если каемка не совпадает с M, обозначим через $M_{1}$ многоугольник, полученный из M отбрасыванием каемки. Рассмотрим плашку каемки, примыкающую к углу, сторона которой лежит на стороне AB многоугольника M. Если это квадрат, то все плашки, примыкающие к AB, – тоже квадраты (образующиеся углы в 90q можно замостить только квадратами; см. рис. 19,a). Если это треугольник, то все оставшиеся плашки, примыкающие к этой стороне, – тоже треугольники (см.рис. 19,б). Таким образом, к каждой стороне многоугольника M примыкают либо только квадраты, либо только треугольники. Отсюда следует, что стороны $M_{1}$ будут параллельны соответствующим сторонам M (стороны AB и CD на рисунке 19). Если у M нет углов по 60q или 90q, то длины сторон $M_{1}$ будут либо равны соответствующим длинам сторон M (в случае квадратов), либо на единицу меньше (в случае треугольников). При этом длина стороны $M_{1}$ может стать равной 0. Таким образом, $M_{1}$ – выпуклый многоугольник, у которого сторон не больше, чем у M. Многоугольник $M_{1}$ также имеет характеристику – набор, построенный по тем же правилам так, чтобы нумерации сторон в M и $M_{1}$ соответствовали друг другу. Пусть длины всех сторон M отличны от нуля, т.е. все углы M равны 150q. Существует два варианта расположить квадрат и треугольник, примыкающие к углу 150q. При выборе одного из вариантов остальная каемка восстанавливается однозначно (сначала восстанавливается часть каемки, примыкающая к сторонам угла, затем разбиения двух соседних углов и т.д.). Итого получается два варианта каемки: треугольники расположены вдоль всех нечетных сторон, а квадраты – вдоль всех четных, или наоборот (рис. 20). В первом варианте характеристи-

Рис. 20

кой $M_{1}$ будет набор $a_{1} 1, a_{2}, a_{3} 1, a_{4},..., a_{11} 1, a_{12}$ , во втором – набор $a_{1}, a_{2} 1, a_{3}, a_{4} 1,..., a_{11}, a_{12} 1$ . Пусть по крайней мере одна нечетная сторона M равна 0, а все четные стороны отличны от нуля. Рассмотрим такое i, что $a_{i} 0$ . Тогда угол при соответствующей вершине в многоугольнике M будет равен 120q (поскольку $a_{i} 1$ и $a_{i} 1$ не равны 0), т.е. его единственным образом можно разбить на два треугольника. Далее каемка восстанавливается однозначно: вдоль всех четных сторон лежат треугольники, а вдоль всех нечетных сторон ненулевой длины – квадраты. Характеристика $M_{1}$ будет равна $a_{1}, a_{2} 1, a_{3}, a_{4} 1,$ … $, a_{11}, a_{12} 1$ . Если хоть одна четная сторона M равна нулю, а все нечетные стороны отличны от нуля, аналогично получим, что характеристика $M_{1}$ будет равна $a_{1} 1, a_{2}, a_{3} 1, a_{4}$ , … $, a_{11} 1, a_{12}$ . Если же по крайней мере одна четная и одна нечетная стороны M равны нулю, то каемка тем более восстанавливается однозначно. Посколь-