Задачи М2714—М2717; Ф2721—Ф2724

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2714–М2717, Ф2721–Ф2724 M2714. Даны многочлены f и g с целыми коэффициентами, причем у многочлена g старший коэффициент равен 1. Известно, что для бесконечно многих натуральных n число f n делится на g n. Докажите, что f n делится на g n для всех натуральных n, при которых g n z 0. Фольклор

M2715. На шахматной доске хромая ладья за ход может переходить в клетку, соседствующую по стороне с клеткой, в которой ладья находится. На доске 9 u 9 хромая ладья, начав с какой-то клетки, сделала n ходов, при этом она ни одну клетку не посетила дважды и не сделала два хода подряд в одном направлении. Каково наибольшее возможное значение n? Фольклор

M2716. Найдите все пары натуральных чисел k, m такие, что для любого натурального n произведение n m n 2 m … … n km делится на k!. П.Кожевников

M2717*. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF, пересекающиеся в точке H; O – центр описанной окружности; касательные к окружности (ABC), проведенные в точках B и C, пересекаются в точке T (рис. 1). Пусть K и L симметричны точке O относительно AB и AC соответственно. Окружности (DFK) и (DEL) пересекаются в точке

Рис. 1

P, отличной от D. Докажите, что P, D, T лежат на одной прямой. Дон Луу (Вьетнам)

Ф2721. Экспериментатор Анатолий полетел с экспедицией на новую планету, пригодную для жизни. Из-за бессонницы Анатолий решил исследовать ускорение свободного падения на поверхности этой планеты и назвал эту величину «ж». Для изучения он взял три резинки с разными значениями коэффициента упругости, но одинаковой массы, равной m 20 г. Он начал измерять зависимость высоты полета резинок от величины их растяжения, но по своей неопытности написал все значения в одну таблицу. Помогите Анатолию найти ускорение свободного падения ж на