ЕГЭ по физике

45

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

числа пробегают все остатки по модулю 3, т.е. находятся 0, 1, 2 в каком-то порядке; и во всех 2m столбцах с номерами, не кратными 3, поровну чисел 0, 1 и 2. Значит, их поровну и в объединении m столбцов с номерами, кратными 3. Но эти столбцы состоят либо только из 1, либо только из 2, либо только из 0. Значит, каждого из типов должно быть поровну, поэтому m делится на 3, а n делится на 9. Рассуждение В.Ретинского закончено. Ответ на вопрос задачи для n, кратных 9, пока не известен. Отметим еще такую интересную связь этой задачи с предыдущими. Рассмотрим искомую перестановку $a_{i}$. Вернемся к пронумерованным точкам на окружности. Проведем стрелки от вершин с номерами $a_{i}$ к $a_{i} 2 i$. Тогда, во-первых, из каждой вершины выходит одна стрелка и входит в нее одна стрелка. Во-вторых, все эти стрелки разные (т.е. не совпадают при поворотах). В-третьих, все

МАТЕРИАЛЫ

точки типа $a_{i} i$ разные, а это полусумма чисел $a_{i}$ и $a_{i} 2 i$, т.е. середина дуги от $a_{i}$ к $a_{i} 2 i$. А раз середины таких дуг для всех стрелок разные, то при нечетном n это значит, что среди стрелок от $a_{i}$ к $a_{i} 2 i$ нет параллельных! Что, конечно, напоминает нам о задачах 2 и 4… В завершение приведем еще одну непростую задачу про перестановки по кругу. 23 (Д.Храмцов, региональный этап Всероссийской олимпиады, 2013). На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих ее на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовем расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между этими точками. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удаленными не более чем на n, увеличилось?

ЕГЭ по физике

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

В 2022 году вариант ЕГЭ по физике состоял из 30 заданий: 23 задания в первой части (с кратким ответом) и 7 заданий во второй части (с развернутым ответом). Из заданий первой части 12 оценивались максимум в 1 балл, 11 – максимум в 2 балла. Из 11 двухбалльных заданий в пяти требуется выбрать все правильные утверждения из пяти предложенных. Первые два задания первой части – межраздельные, в ответе на каждое из них требуется проявить знание различных разделов физики. Из заданий второй части одно качественное (24, максимум 3 балла), два средней сложности (25 и 26, максимум 2 балла), три повышенной сложности (27,28, 29, максимум 3 балла), а за последнее 30-е задание можно было получить максимум 4 балла (3 балла за решение и 1 балл за обоснование применимости физических законов и корректности написания формул). Всего за весь вариант можно было получить максимум 54 первичных балла. Варианты 2023 года по структуре будут мало чем отличаться от вариантов 2022 года.

Демонстрационный вариант ЕГЭ-2023 можно найти на сайте ФИПИ. Ниже приводится один из открытых вариантов ЕГЭ 2022 года с ответами ко всем заданиям, требующим краткого ответа, и решениями всех задач, требующих развернутого ответа. Решения даются в редакции, предложенной предметной комиссией. Инструкцию по выполнению работы и необходимые справочные данные можно найти в журнале «Квант» №9 за 2020 год или на сайте ФИПИ.

Часть 1 Ответами к заданиям 1–23 являются число или последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ №1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Едини-

63

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 10

Первый способ. Без ограничения общности будем считать, что $‘^{BAC} d ‘^{BCA}$. Пусть $O_{a}$ и $O_{c}$ – центры описанных окружностей треугольников AA 0 I и $CC_{0} I$ соответственно, а M – середина AC.

Так как MO a и $MO_{c}$ – средние линии треугольника AIC, $то^{MO} a_{c}^{O} I_{c}^{LO} и^{KO} a^{O} a^{I} MO_{c}$.

Из параллельности $прямых^{MO} a$ и CI, а также

$O a^{K} и^{IA} 0$ (обе они $перпендикулярны^{AA} 0 )$ получаем ‘ MO a K ‘ CIA 0 ‘ CIC 0 ‘ C 0 IA 0

‘ CIC 0 120 q. Аналогично, ‘ $LO_{c} M$

‘ CIC 0 ‘ CIA

‘ C 0 IA

‘ CIC 0 120 q. Следовательно, треугольники MO a K и $LO_{c} M$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда MK = ML.

Второй способ. Так как $‘^{A} 0^{IC} 0 ‘_{1}^{A} IC_{1} 120 q$, то дуги A 0 C 0 и $A_{1} C_{1}$ вписанной окружности треу- гольника ABC равны. Следовательно, хорды $A 0 A_{1}$ и $C 0 C_{1}$ параллельны, поэтому точки K, I, L лежат на одной прямой. При этом $‘^{AKI}$

$‘^{CLI} 90 q$, т.е. AKLC – прямоугольная трапеция. Ее средняя линия является серединным перпендикуляром к стороне KL, значит, середина стороны AC равноудалена от точек K и $L. 14. За^{5}$ вопросов. Оценка. Каждый вопрос делит цифры на две группы: одни соответствуют ответу «да», остальные – ответу «нет». Пусть жюри на первый вопрос ответило «да». Если мы точно знаем, правдивый ли это ответ, то наш вопрос не разделял цифры на группы. В противном случае никаких выводов о числе мы сделать также не можем, так как не знаем, сказали нам правду или нет. Значит, у нас по-прежнему остается

РЕШЕНИЯ

девять возможных вариантов. Даже если все последующие ответы будут правдивые, то для отгадывания одной цифры из девяти потребуется еще хотя бы четыре вопроса, поскольку 9! $2^{3}$. Алгоритм. Сначала научимся отгадывать одну цифру из пяти за четыре вопроса. Будем считать, что это цифры $1, 2,^{3,} 4,^{5.}$ Спросим: «Это 1 или 2?» 1) Если ответ «да», то спросим еще раз: «Это 1 или 2?» 1.1) Если ответ снова «да», то загаданная цифра действительно 1 или 2 и нам еще не врали. Спросим два раза: «Это 1?» Если оба раза нам ответят «да», то загадана цифра 1, а если будет хотя бы один ответ «нет», то цифра 2. 1.2) Если ответ «нет», то на первый вопрос нам соврали и загадана одна из $цифр^{3,} 4,^{5.}$ За два вопроса, на которые нам ответят правдиво, мы отгадаем эту цифру. 2) Если на первый вопрос нам ответили «нет», то спросим: $«Это^{3?»}$ 2.1) Если ответ «да», то спросим еще раз: $«Это^{3?»}$ Если нам снова ответят «да», то загадана действительно $цифра^{3,}$ а если «нет», то нам уже соврали и загадана $цифра^{4} или^{5.}$ За один вопрос мы ее отгадаем. 2.2) Если ответ «нет», то загадана $цифра^{4} или^{5}$ и нам еще не врали. Аналогично случаю 1.1, определим загаданную цифру за два вопроса. Теперь перейдем к решению исходной задачи. Спросим: «Это $1, 2,^{3} или^{4?»}$ Если ответ «нет», то загадана одна из пяти $цифр^{5,} 6,^{7,} 8, 9$ и нужно угадать ее за четыре вопроса, а это мы уже умеем. Если же ответ «да», то спросим: «Это 2, 3, 4 или 5?» 1) Если ответ «нет», то спросим: «Это 1?» Если нам ответят «да», то загадана действительно цифра 1, а если «нет», то на первый вопрос нам соврали и загадана одна из $цифр^{6,} 7,^{8,} 9.$ За два вопроса, на которые нам ответят правдиво, мы отгадаем эту цифру. 2) Если ответ «да», то спросим: «Это $2 или^{3?»}$ 2.1) Если ответ «нет», то возможны следующие варианты: либо загадана цифра $1 или^{5}$ и нам уже соврали, либо загадана $цифра^{4}$ и нам еще не врали. Сначала спросим: «Это 1?», потом: $«Это^{5?»}$ Если на один из вопросов нам ответят «да», то соответствующая цифра и загадана, а если оба ответа будут «нет», то загадана $цифра^{4.}$ 2.2) Если ответ «да», то возможны следующие варианты: либо загадана цифра $2 или^{3}$ и нам еще не врали, либо загадана $цифра^{4}$ и на последний вопрос нам соврали. Спросим: «Это 2?»