Математики, которые играли в математику

23

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

число более высокого ранга всегда больше (например, число 5 третьего ранга больше, чем миллион первого ранга, но меньше, чем число 6 третьего ранга). Такое множество уже относится к ординалу Z ˜ Z, или $Z^{2}$. Такой же тип имеет множество «слов» из двух «букв» из бесконечного алфавита, и такой же тип имеет множество зажигательных чисел на отрезке > 0; 3 2 или > 1; 3 2. В [1] доказано, что множество всех зажигательных чисел вполне упорядоченное

$Z^{N}$ и его порядковый тип – ординал $H_{0} Z Z$. Иными словами, с точки зрения ординалов, зажигательных чисел довольно много, куда «больше», чем, скажем, натуральных.

Подробнее об ординалах можно прочитать, например, в книге [2]. Обобщение результатов работы [1] на случай функции $x_{1}^{…} x_{n} 1 n$ вместо x y 1 2 рассмотрено в статье [3]; именно ее авторы предложили русскоязычный термин «зажигательные числа».

Литература

1. J.Erickson, G.Nivasch, J.Xu. Fusible numbers and Peano arithmetic. – Logical Methods in Computer Science, vol. 18, 2022, issue 3, p. 1–26. 2. Н.К.Верещагин и А.Шень. Начала теории множеств. – М.: МЦНМО, 2017. 3. A.I.Bufetov, G.Nivasch, F.Pakhomov. Generalized fusible numbers and their ordinals. – Annals of Pure and Applied Logic, vol. 175, 2023, issue 1, part A.

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

Математики, которые играли в математику

Книга, о которой пойдет речь, представляет собой сборник $статей.^{1}$ В первой части собраны статьи о Джоне Хортоне Конвее, а в остальные части входят статьи его самого, сгруппированные по темам:

x Вокруг арифметики x Универсальные квадратичные формы x На плоскости и в пространстве x Квантовая механика и свобода воли x Игры Конвея

Читатели журнала «Квант» уже знакомы с играми Конвея по статье В. Клепцына, опубликованной в «Кванте» №5 за 2020 год, она так и называется «Игры Джона Конвея». И если вы пока еще не играли, то немедленно поиграйте. А книга расскажет подробнее и о жизни Конвея, и о его математике. Вы узнаете о становлении ученого, попробуете на вкус математические изюминки, окунетесь в философские размышления о свободе воли, просто поиграете в математику. И конечно, ближе познакомитесь с Конвеем.

который играл в математику Сборник статей под редакцией А.В.Устинова. — М.: МЦНМО, 2023.

1 Человек,

Больше других своих результатов Конвей выделял два: теорему о свободе воли и построение сюрреальных чисел. Об этих числах есть прекрасная книга Дональда Кнута. А вот

25

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

Дональд Кнут многим известен как автор многотомника «Искусство программирования» и создатель системы ТЕХ для верстки математических текстов. Полвека назад за обедом Конвей рассказал Кнуту о сюрреальных числах. В это множество входят не только привычные нам действительные числа, но и много других, которые условно можно назвать «бесконечностями». Для них определены операции сложения, умножения, извлечения корня (как бы вы определили корень бесконечной степени из бесконечности?)… У Кнута была только идея, которую Конвей набросал на салфетке. Кнут захотел самостоятельно ее развить и написать книгу об этом — книгу, которая открывала бы кухню математического $творчества.^{2}$ По сюжету юноша и девушка на необитаемом острове нашли скрижаль с аксиомами: «Вначале земля была пуста и безвидна, и Дж.Х.Конвей начал творить числа. Конвей сказал: “Да будут два правила, которые рождают все числа, большие и маленькие. Да будет первое правило: Каждому числу соответствуют два множества ранее сотворенных чисел, так что в левом множестве нет ни одного элемента, больше или равного какому-нибудь элементу в правом множестве. Да будет второе правило: Одно число меньше или равно другому, если и только если в левом множестве первого числа нет ни одного элемента, больше или равного второму числу, и в правом множестве второго числа нет ни одного элемента, меньше или равного первому числу”. И Конвей испытал эти два правила, которые он придумал, и они были хороши». Герои книги уясняют аксиомы, пытаются выводить из них следствия, совершают ошибки, обдумывают их и делают выводы, строят гипотезы и изучают их… — идет живой процесс математического исследования. Кнут снял в гостинице номер на неделю и начал работу. Каждый день он по кирпичикам строил свою математику, наблюдал за

2 Д.Кнут. Сюрреальные числа — М.: БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2014.

процессом, отмечал вопросы, сомнения и ошибки, которые возникали по дороге, записывал, как он с ними справлялся. И каждый вечер на этом материале писал книгу. Кнут планировал написать ее за 7 дней, но справился за 6, увидел, что получилось хорошо, и на седьмой день отдыхал. С карандашом и бумагой каждый читатель может, работая вместе с героями Кнута, открыть эти сюрреальные числа для себя самостоятельно. Книга подойдет увлеченным старшеклассникам, которым математика интересна сама по себе, а не только как инструмент для решения задач из других областей. Вряд ли ее можно одолеть за неделю, но это прекрасный вариант, например, летнего чтения — понемногу каждый день. Материала книги хватит на полгода или даже год занятий в математическом кружке не олимпиадного, а исследовательского направления. Н.Шихова