Задачи М2770—М2777; Ф2777—Ф2784
Задачи по математике и физике
ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2770 – М2772 предлагалась на XLV Турнире городов, задача М2774 предлагалась на Южно-российской математической олимпиаде «Ассара», а задачи М2776 и М2777 предлагались на июньских учебно-тренировочных сборах кандидатов в команду на Международную математическую олимпиаду. Задачи Ф2777–Ф2784 предлагались участникам отборочных туров олимпиады «Физтех- 2024». Автор этих задач – В.Плис.
Задачи М2770–М2777, Ф2777–Ф2784
M2770. В квадратном листе бумаги площади 1 проделали дыру в форме треугольника (вершины дыры не выходят на границу листа). Докажите, что из оставшейся бумаги можно вырезать треугольник площади 6. А.Юран
M2771. Для какого наибольшего N существует N-значное число со следующим свойством: в его десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз? А.Глебов
M2772. В белых клетках шахматной стоят 100 слонов, среди которых есть белые и черные. Они могут делать ходы в любом порядке и бить слонов противоположного цвета. Какого наименьшего числа ходов заведомо достаточно, чтобы на доске остался один слон? А.Грибалко
Рис. 1
M2773. Окружность Z лежит внутри окружности: и касается ее внутренним образом в точке T (рис. 1). Пусть XY –
переменная хорда окружности:, касающаяся Z. Обозначим X c и Y c середины дуг TY и TX, не содержащих точек X и Y соответственно. Докажите, что всевозможные прямые X c Y c проходят через фиксированную точку. Ф.Петров
M2774. В клетчатом квадрате 50 u 50 каждая клетка покрашена в один из 100 данных цветов так, что все цвета присутствуют и из квадрата нельзя вырезать одноцветную доминошку (т.е. прямоугольник 1 u 2 ). Галия хочет перекрасить все клетки одного из цветов в другой цвет (из данных 100 цветов) так, чтобы по-прежнему нельзя было вырезать одноцветную доминошку. Верно ли, что Галия наверняка сможет это сделать? Г.Шарафетдинова
M2775. Существует ли бесконечная периодическая последовательность цифр, для которой выполнено условие: для любого натурального n из этой последовательности цифр можно вырезать (как подслово) натуральное число, делящееся ? П.Кожевников
M2776*. В стране ходят n валют, пронумерованных от 1 до n; в каждой валюте возможны лишь целые неотрицательные