Квант
Конкурс имени А. П. Савина

Задачи 9—16

Квант 2023, №11-12с. 40, 51Тег F5UR

КОНК УРС ИМ Е НИ А .П.С АВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: [email protected]. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

  1. В полдень из пункта А в пункт Б выехали велосипедисты Алеша и Вася, а навстречу им из пункта Б в пункт А – велосипедисты Боря и Гриша. Каждый ехал с какой-то постоянной скоростью. Спустя какое-то время все четверо одновременно встретились, после чего Алеша и Гриша поехали в пункт А, Боря – в пункт Б, а Вася – в один из этих пунктов, причем он приехал четвертым (позже всех). Каким по счету приехал Гриша? Т.Казицына, Б.Френкин

  2. На шахматной доске 8 u 8 на клетке c4 стоит фишка. Сколько есть способов поставить на доску 9 не бьющих друг друга ладей? (Ладья бьет клетки в своей строке и в своем столбце, но не бьет через фишку.) П.Кожевников

  3. Перед вами и зрителями выложат несколько монет. Вам по секрету скажут про каждую монету, какая у нее масса, а зрителям откроют лишь, что масса каждой монеты 2 г или 3 г, а вместе их масса N г. Всегда ли вы сможете сделать перед зрителями всего одно взвешивание на чашечных весах без гирь, после которого они тоже поймут про все монеты, какая у какой монеты масса? Ответьте на вопрос задачи: а) для N 77, б) для всех N. А.Грибалко

  4. В ряд написаны 9 единиц. Можно ли между некоторыми из этих единиц поста-

вить три плюса так, чтобы полученное в результате число было полным квадратом? Ответ положителен:

111 11 11 11

144

12212^{2}.

Пусть теперь в строку написаны 2023 единицы. Можно ли между некоторыми из этих единиц поставить k плюсов так, чтобы полученное в результате число было полным квадратом? Решите задачу для: а) k 6; б) k 5. С.Костин

  1. Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось придумать конечную арифметическую прогрессию, у которой первый член, разность и количество членов равны по модулю, а сумма всех членов равна 2023. Не обманывает ли барон? (Конечная арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел a1,a2,3a,…,naa_{1}, a_{2},_{3}^{a},^{…},_{n}^{a}, в которой разность dakak1d^{a} k^{a} k_{1} между соседними числами одинакова для всех k от 2доn;2 до^{n;} она называется разностью прогрессии.) С.Костин

  2. По кругу стоят 7 диванов, на них сидит всего 50 человек, на каждом диване – хотя бы один человек. Каждый сказал: «На следующем по часовой стрелке диване ровно половина людей выше меня ростом, а ровно половина – ниже». Какое наибольшее число людей могло сказать правду? Т.Казицына

40

КВАН T 2023/№111-12

  1. Внутри квадрата со стороной, равной диагонали прямоугольника1^{1} u3u^{3} клеточки, отметили три угла – красный, синий и зеленый, как показано на рисунке 1. Чему Рис. 1 равна их сумма?

Рис. 2

К.Кноп

  1. Квадрат 2023 u 2023 покрашен в красный цвет. Два игрока ходят по очереди. Первый игрок при своем ходе любую фигуру в виде буквы T или в виде буквы Z, если все клетки этой фигуры красные, может перекрасить в желтый цвет. Второй игрок при своем ходе любую фигуру в виде буквы L или в виде буквы P, если все клетки этой фигуры красные, может перекрасить в желтый цвет. Все перечисленные фигуры изображены на рисунке 2 (каждую из них можно произвольно поворачивать и переворачивать). Проигрывает тот из игроков, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? С.Костин

ИТОГИ КОНКУРСА ИМЕНИ А.П.САВИНА 2022/23 УЧЕБНОГО ГОДА

Победители

Лучшие результаты показали Чалык Павел – Балаково Саратовской области, гимназия 2, 11 кл., Часовских Иван – Химки Московской области, школа 14, 9 кл., команда 9А класса Академического лицея (Магнитогорск):

Полуэктов Дмитрий, Фахрутдинов Тимур, Новиков Александр, Викторов Михаил.

Призеры

Также высоких результатов достигли Белов Лев – Москва, школа 1547,81547,^{8} кл., Приходько Тамара – Красноярск, школа 3, 10 кл., Савин Михаил – Протвино Московской области, Лицей, 9 кл.

Поздравляем!

Победителям и призерам высланы дипломы журнала «Квант» и призы от издательства МЦНМО. Помимо этого, призы получили также наиболее активные участники конкурса.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

Квант для младших школьников

Задачи

(см. «Квант» №10)

  1. Решение показано на рисунке 1.

Рис. 1

  1. Пронумеруем монеты по кругу числами от 1 до 8 и сравним пары (1, 5) и (3, 7). 1) Если весы оказались в равновесии, то обе фальшивые монеты либо на весах, либо не участвуют во взвешивании. В любом случае они имеют номера одной четности и не могут быть соседними. 2) В случае неравенства обе монеты на более тяжелой чаше настоящие. Будем считать, что это пара (1, 5). Тогда сравним группы (2, 3, 4) и (6, 7, 8). Если они весят одинаково, то фальшивые монеты оказались на разных чашах и не являются соседними. Если же одна из групп тяжелей, например (2, 3, 4), то обе фальшивые монеты находятся на другой чаше, при этом монета 7 точно фальшивая, поэтому фальшивые монеты лежат рядом. 3. При n 15. Оценка. Коробку можно разделить семью прямыми, для каждой есть два количества конфет с разных сторон от нее. Значит, можно отделить не более 14 различных количеств конфет, поэтому конфет не больше 15.

Рис. 2

Пример показан на рисунке 2. 4. Петя. Заметим, что после каждого хода количество фишек в вершинах либо увеличивается на 1, либо уменьшается на 1, поэтому перед ходом Пети всегда будет нечетное количество свободных вершин. Следовательно, среди блоков пус-

тых вершин будет хотя бы один нечетной длины. Если у Пети есть возможность сходить так, чтобы забрать призовые фишки, то он делает такой ход. Если же такой возможности нет, то Петя ставит фишку в крайнюю вершину нечетного блока, делая его четным (первый ход – в любую вершину). После такого хода Вася тоже не сможет сходить так, чтобы забрать призовые фишки. Таким образом, Вася будет иметь возможность брать призовые фишки только после ходов Пети, когда и тот берет призовые фишки. Это значит, что у Пети их всегда будет не меньше, чем у Васи, поэтому он первым соберет 100 призовых фишек.

Задачи

(см. «Квант» №11-12)

    1. Наибольшее четырехзначное число с различными цифрами начинается с 987. Но тогда последняя цифра должна равняться 1. При этом 9 8 1, 8 7 1, 7 8 – 1, 1 9 – 8. 2. Не может. Каждая фигурка – это прямоугольник или уголок, на рисунке 3 показаны все возможные виды

Рис. 3

их раскрасок. Так как все грани куба одноцветны, то прямоугольники, у которых цвет центральной клетки отличается от цвета двух других клеток, не могут участвовать в оклейке. На оставшихся фигурках суммарно по 15 белых и черных клеток, этого недостаточно для четырех граней. Следовательно, у куба три белых и три черных грани. 3. При 4 мудрецах. Пусть всего мудрецов N и им достались числа от 1 до N. Будем называть мудрецов в соответствии с числами на их лбах. В самом начале у мудреца 1 есть два варианта, какое у него может быть число: 1 или N + 1. Также два варианта есть у мудреца N: 0 или N. Остальные мудрецы сразу понимают, какие числа у них на лбах. При N 4, если первым будет говорить мудрец 1 или 4, то он не сможет назвать свое число. Если жребий выпадет первым говорить мудрецу 2, то после этого мудрец 4 уже не сможет определить свое число. Действительно, даже если ему придется говорить после мудрецов 1 и 3, то он не

51

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

отбрасывания клетки с числом 0 оставшаяся часть прямоугольника режется на доминошки 1 u 2, в каждой из которых сумма нулевая). Остался случай, когда есть четная сторона. Если хотя бы одна из сторон не больше 98, то выбираем прямоугольник так, чтобы он лежал внутри нижних 98 строк. В этом прямоугольнике сумма нулевая (например, потому что он делится на доминошки). Осталось рассмотреть только случаи, когда есть четная сторона и обе стороны не меньше 99. Тем самым, прямоугольник имеет размеры 100 u 100 или 99 u 100. В первом случае выбираем все клетки, во втором случае выбираем все клетки, кроме нижней строки.

Калейдоскоп «Кванта»

Вопросы и задачи

  1. Постройки должны быть адаптированы к местному климату. Так, дома строят группами, чтобы они отбрасывали друг на друга тень. 2. Ветер, попадающий на здание, частично прогоняется через нижний просвет. При этом скорость ветра возрастает, порой достигая напора, сбивающего людей. 3. Таким образом учитывалось изменение длины фермы при нагревании и охлаждении. 4. Чем больше плотность пенопласта, тем больше его теплопроводность. У материала с небольшой плотностью больше пор, занимаемых воздухом, поэтому он обладает меньшей теплопроводностью. 5. Чтобы выходили наружу более горячие газы, образующиеся в процессе приготовления пищи. 6. Тем самым можно избежать потерь энергии за счет конвекции воздуха между стенами. 7. Инфракрасное излучение значительно хуже проходит через стекло, чем видимое. Благодаря этому тепло, излучаемое нагретыми в комнате телами, удерживается в помещении. (Правда, надо учитывать размеры окон современных зданий.) Ультрафиолетовые лучи, увы, не пропускаются обычными стеклами, а они уничтожают бактерии и необходимы для нормального развития организма человека. 8. При одной и той же вместительности хранилища цилиндрической (а тем более шарообразной) формы требуют значительно меньшего расхода материала оболочки, чем кубические. Легко догадаться, когда этот расход будет минимальным. 9. Каждый элемент такой конструкции опирается на смещенные в сторону другие элементы под ним. При этом максимальное давление на пол достигается не в центре, а на окружности, расположенной между центром и периметром структуры.

РЕШЕНИЯ

  1. Давление пропорционально отношению массы пирамиды к площади ее основания. Масса пропорциональна кубу линейных размеров, площадь – квадрату. Значит, отношение давлений равно отношению линейных размеров, в данном случае 140 м: 0,14 м 1000. 11. Масса сплошного кубика будет равна 96 граммам. Пирамидок же может быть три или шесть (рис. 7). В первом случае масса одной

Рис. 7

пирамидки составит 32 грамма, во втором – 16 граммов. 12. Внутри телебашни натянуты тросы, прижимающие кольца, образующие башню, друг к другу и к фундаменту. 13. Отношение масс оригинала и модели равно произведению отношения их плотностей на отношение кубов их линейных размеров. Из чего следует, что масса модели в 3 миллиарда раз меньше массы башни и составляет 2,4 грамма. 14. Исходя из нагрузки, приходящейся на самый низ колонны, где она сжата более всего и испытывает максимальную деформацию. 15. Строение купола помогает снизить давление, поскольку его верхняя часть значительно тоньше, чем нижняя (рис. 8). Кстати, он до сих пор

Рис. 8

является самым крупным в мире неармированным бетонным куполом. 16. У зданий высотой 7–8 этажей собственная (резонансная) частота колебаний совпала с частотой сейсмических волн, тогда как у более низких и более высоких зданий собственные