Квант
Конкурс имени А. П. Савина

Задачи 21—24

Квант 2024, №2с. 31Тег R90T

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: [email protected]. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

  1. Гонщик Петя тренируется на кольцевой трассе, длина которой – целое число километров. Он едет 1 км, минуту стоит, едет еще 2 км, минуту стоит, едет еще 3 км, минуту стоит и так далее, пока остановка не совпадет с начальной точкой, и тогда заканчивает тренировку. а) Может ли случиться, что Петя не сможет закончить тренировку? б) Вася тренируется по аналогичной схеме на более короткой кольцевой трассе, длина которой – тоже целое число километров. Могло ли случиться, что гонщики ехали с одинаковой скоростью, но у Пети ушло меньше времени на тренировку, чем у Васи? Б.Френкин

  1. Индийский школьник Радж закрасил центральную часть таблицы умножения от 1 u 1 до 19 u 19 так, как показано на рисунке 1, и перемножил числа в закрашенных клетках. Квантик выписал на доску по одному разу числа 1 и 19, по 3 раза – числа 2 и 18, по 5 раз – числа 3 и 17, по 7 раз – числа 4 и 16,…, по 17 раз – числа 9 и 11, а число 10 выписал 19 раз, после чего все числа на доске перемножил и возвел результат в квадрат. У кого получилось большее число – у Раджа или у Квантика? Н.Авилов

  2. Четыре квадрата с площадями a, b, c, d расположены в круге, как показано на рисунке 2. Докажите, что ac bd. Е.Бакаев

  3. Дан 100-угольник, любые две соседние стороны которого перпендикулярны. На какое наименьшее количество прямоугольников его гарантированно можно разрезать? Е.Бакаев

Рис. 1

Рис. 2