20-я Международная естественно-научная олимпиада юниоров

51

ОЛИМПИАДЫ

увеличил все числа на доске на 1. Каких чисел на доске оказалось больше: положительных или отрицательных? А.Глебов

2 (5). См. задачу M2771 «Задачника «Кванта». 3. Квадрат разбили на несколько прямоугольников так, что центры прямоугольников образуют выпуклый многоугольник. а) (3) Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата? б) (6) Может ли количество прямоугольников равняться 23? А.Шаповалов

на одной окружности. Докажите, что точки A, P, Q, C лежат на одной окружности. А.Марданов

6 (12). Таблица 2 u 2024 заполнена целыми числами, причем в первой строке стоят числа из набора ^ 1,…, 2023 `. Оказалось, что какие бы два столбца мы ни выбрали, разность их чисел из первой строки делится на разность их чисел из второй строки. Известно, что все числа во второй строке попарно различны. Обязательно ли тогда все числа в первой строке равны между собой? И.Кухарчук

4 (9). Дан выпуклый четырехугольник ABCD площади S. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что ABCD разбивается на меньший четырехугольник и 4 треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит S 8. М.Малкин

7 (14). На столе лежат 2n неразличимых на вид монет. Известно, что n из них имеют массу по 9 г, а остальные n – по 10 г. Требуется разбить их на n пар так, чтобы общая масса каждой пары равнялась 19 г. Докажите, что это можно сделать менее чем за n взвешиваний на чашечных весах без гирь (показывающих, равны ли чаши, а если нет, то какая тяжелее). А.Грибалко

5 (10). Хорда DE описанной около треугольника ABC окружности пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно, точка P лежит между D и Q. В треугольниках ADP и QEC провели биссектрисы DF и EG. Оказалось, что точки D, F, G, E лежат

Материал подготовили Е.Веретенников, А.Глебов, А.Грибалко, С.Дориченко, А.Заславский, П.Кожевников, М.Малкин, Л.Медников, А.Тертерян, А.Толпыго, Б.Френкин, А.Шаповалов, А.Юран

20-я Международная естественнонаучная олимпиада юниоров

В этой олимпиаде принимают участие школьники, чей возраст не превышает 15 лет. Отбор кандидатов в команду России производится из числа участников региональных этапов Всероссийской олимпиады школьников по физике или и химии, набравших более 30% баллов от максимума.В июне 30–35 наиболее успешных школьников приглашаются на сборы в МФТИ, где проводится подготовка по программе олимпиады, формируются экспериментальные навыки. Затем в августе ребята участвуют в естественно-научной смене в образовательном центре «Сириус», а в конце сентября–начале октября проходят очередные сборы в МФТИ – по окончании которых

Во время тура

54

КВАНТ 2024/№2

Рис. 6

тью в тени. Считайте, что показатель преломления воды равен 1,33. A) 15:00; B) 15:30; C) 16:00; $D) 16:30.^{8.}$ Теплоизолированный сосуд содержит 200 г твердого термопластика, к которому подводится тепло со скорость 400 Дж с в течение 180 с. Зависимость температуры термопластика от времени представлена на рисунке 7. Рассмотрите следующие утверждения.

той x 0,0 см от времени t. Волна распространяется в направлении +x со скоростью 5,0 см с. Определите длину волны. A) 2,0 см; B) 5,0 см; C) 8,0 см; $D) 10,0 см.^{10.}$ Смартфон используют в качестве акустического секундомера так, что он измеряет интервал времени между двумя последовательными звуковыми сигналами, зафиксированными его микрофоном. Отсчет времени начинается, когда первый звуковой импульс регистрируется микрофоном, и прекращается, когда регистрируется второй звуковой сигнал. В эксперименте, целью которого является измерение скорости звука в воздухе (v = 340 м с), два смартфона в режиме акустического секундомера помещают так, что они находятся на расстоянии l 5,00 м друг от друга (рис. 9). Во время

Рис. 9

Рис. 7

I. Удельная теплоемкость термопластика равна 2,00 кДж к㠘 К. II. Температура плавления термопластика $160 \infty^{C}$. III. Через 120 с в сосуде останется только термопластик в жидком состоянии. IV. Удельная теплота плавления термопластика 12,0 кДж $кг.^{Какие}$ из этих утверждений верные? A) Только I и II; B) только II и III; C) только I, II и IV; D) только I, II и $III.^{9.}$ На графике (рис. 8) представлена зависимость высоты волны D в точке с координа-

Рис. 8

измерения один студент хлопает в ладоши рядом с микрофоном A, а несколько секунд спустя другой студент хлопает в ладоши рядом с микрофоном $B.^{Каждый}$ хлопок приводит в действие оба телефона, но в разные моменты времени из-за конечной скорости распространения звука. Среди вариантов, представленных ниже, выберите тот вариант, который могли показать смартфоны А и В. A) Смартфон А: 0,0147 с; смартфон В: 0,0147 с. B) Смартфон А: 2,0147 с; смартфон В: 2,0000 с. C) Смартфон А: 3,1000 с; смартфон В: 3,1294 с. D) Смартфон А: 2,1294 с; смартфон В: 2,1000 с. Публикацию подготовил В.Слободянин

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» №1)

1. 9. Если мальчиков в кружке хотя бы 10, то найдется мальчик, который послал не меньше 10 открыток (так как любые два мальчика послали разное число открыток и каждый – хотя бы одну). Значит, девочек в кружке не меньше 10. Тем самым, всего в кружке не меньше 20 школьников. Получили противоречие. Следовательно, мальчиков не больше 9. В кружке может быть ровно 9 мальчиков и 10 девочек. Мальчики могут послать 1,2, 3 …, 9 открыток. 2. 14. Суммарно в первой и второй коробках либо 5 конфет (если у конфеты А из первой коробки 4 соседних), либо 9 конфет (если у этой конфеты 8 соседних). Второе невозможно, так как тогда у конфеты В из второй коробки больше 8 соседних: все 7 соседних для А (без В), сама конфета А и еще хотя бы одна конфета из третьей коробки. Тогда у конфеты В будет 4 соседних конфеты из первой и второй коробок, а значит, 4 конфеты из третьей коробки. Аналогично первому рассуждению, суммарно в четвертой и пятой коробках – 5 конфет. Общее число конфет равно 5 4 5 14. 3. 5. Докажем, что все 6 произведений не могут быть целыми. Заметим, что произведение всех 18 чисел равно 1. Поэтому, если все 6 произведений будут целыми, то каждое из них равно 1. Рассмотрим тройку чисел, содержащих число 1 7. Чтобы их произведение было целым, необходимо, чтобы в эту тройку входило число 7. А чтобы это произведение равнялось 1, оставшееся число должно равняться 1. Аналогично, в тройку с числом 1 5 войдут числа 5 и 1. Осталось заметить, что теперь для числа 1 9 невозможно подобрать два числа из оставшихся, чтобы их произведение равнялось 1. Поэтому целых произведений не больше 5. Пять целых произведений может получиться, например, при таком разбиении на тройки: 1 7;7;1, 1 5;5;1, 2;4;1 8, 1 2;1 4;8, 1 9;9;3, 1 3;6;1 6. Целыми будут 5 произведений в первых 5 тройках. 4. 300. Заметим, что «да» ответили рыцари, стоящие между людьми разного типа, и лжецы, стоящие между людьми одинакового типа, а остальные ответили «нет». Поэтому если оба соседа любого жителя сменят тип, то его ответ останется прежним. Также если житель сменит тип вместе с одним своим соседом, то и он не поменяет свой ответ.

Пронумеруем всех стоящих в круге следующим образом: 1, 2, 3, 1, 2, 3, … Если все жители с номерами 1 и 2 сменят свой тип, то из сказанного выше следует, что никто не поменяет свой ответ. Поскольку путешественник смог определить, сколько в круге рыцарей, то такое изменение типов не меняет их количество, значит, среди жителей с номерами 1 и 2 по 200 рыцарей и лжецов. Аналогично, по 200 рыцарей среди жителей с номерами 2 и 3, а также среди жителей с номерами 3 и 1. Просуммировав эти количества, получим 600 рыцарей, при этом каждого жителя мы посчитаем дважды, поэтому всего в круге 300 рыцарей.

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №11-12 за 2023 г.)

9. Первым. Скорости Гриши и Бори одинаковы (ведь они одновременно выехали и одновременно доехали до места встречи); скорости Алеши и Васи тоже одинаковы. Если бы Вася поехал после встречи обратно в А вместе с Алешей, они бы вернулись одновременно, но Вася приехал позже всех. Значит, Вася после встречи поехал в Б, и проехать ему пришлось большее расстояние, чем Алеше. Тогда место встречи ближе к А, чем к Б. Алеша и Боря вернутся в А и Б одновременно, ведь после встречи оба они проедут то же расстояние, что и до встречи, с той же скоростью. Гриша же сначала проедет то же расстояние, что и Боря, а потом проедет меньшее расстояние, чем Боря, – от места встречи до А. Значит, Гриша приедет быстрее Алеши и Васи. 10. 14400. В строке 4 стоит не больше двух ладей, а в остальных строках – не больше одной, итого можно поставить не больше 9 не бьющих друг друга ладей. Раз всего ладей 9, то в строке 4 должно стоять ровно две ладьи, а в остальных строках – ровно по одной. Аналогично со столбцами. Выберем сначала, куда поставить такие четыре ладьи: 1) в строку 4 левее фишки, 2) в строку 4 правее фишки, 3) в столбец c ниже фишки, 4) в столбец c выше фишки. Посчитав количества клеток в соответствующих областях (они показаны синим цветом на рисунке 1), получим, что это можно сделать 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 4 5! способами. Осталось 5 свободных строк и 5 свободных столбцов, куда нужно поставить 5 оставшихся ладей. Это делается 5! способами: сначала выбираем,

58

КВАНТ 2024/№2

равны по 45q. Значит, сумма отмеченных углов равна 90 q 45 q 45 q 180 q. 16. Выигрышная стратегия есть у второго игрока. Пусть при своем первом ходе второй игрок красит в желтый цвет букву L, расположенную вблизи одного из углов квадрата так, как показано на рисунке 4. Он сможет это сделать, так как первым ходом его противник смог «испортить» не больше чем один из четырех углов квадрата. Клетки, выделенные на рисунке зеле- Рис. 4 ным цветом, назовем их заповедником, недоступны для первого игрока. Далее второй игрок ходит так, чтобы при своих ходах не затрагивать заповедник. И только в случае, когда никаких других ходов не остается, он перекрашивает в желтый цвет клетки заповедника (это можно сделать, поскольку клетки заповедника образуют букву L) и выигрывает. Объясним, почему второй игрок выигрывает. Если после хода второго игрока в заповедник у первого игрока остается возможность сделать ответный ход, то это означает, что какая-то фигура в виде буквы T или в виде буквы Z до сих пор имеет красный цвет. Но внутри каждой из этих фигур помещается фигура L. Следовательно, у второго игрока была возможность не ходить в заповедник. Это противоречит правилу для второго игрока, которое мы сформулировали.

молинейно, и поэтому их пути должны пересечься в месте расположения неподвижного футболиста. Именно в этом месте они и могут встретиться, причем – одновременно. 6. Такой же – это следует из принципа относительности Эйнштейна. 7. В системе отсчета бегуна, как и в любой другой инерциальной системе, свет обладает одной и той же скоростью. Свое изображение бегун увидит точно таким же, как и при любой другой постоянной скорости бега. 8. В системе отсчета «Звездолет» расстояние от Земли до Сириуса только два световых года. 9. Нет – это эффект релятивистского сокращения длины. 10. Поперечные размеры бруска остаются неизменными, длина же сокращается, допустим, в k раз. Поэтому объем уменьшится в k раз. Поскольку при этом масса бруска увеличивается в k раз, то его плотность возрастет в $k^{2}$ раз. 11. Невозможно, так как в этом случае у частицы нет ни импульса, ни кинетической энергии. 12. Закон, связывающий массу тела с его энергией: $E 0 mc^{2}. 13.$ Когда скорости электрона и позитрона равны по модулю и противоположно направлены. 14. «Красное смещение» объясняется удалением галактики от Земли.

Калейдоскоп «Кванта»

XLV Турнир городов

1. В системе отсчета «снаряд». 2. Скорость истечения воды одинакова, если измеряется в системе отсчета, связанной с вагоном. Иначе можно было бы обнаружить факт равномерного движения поезда, не выглядывая в окно, что противоречит принципу относительности. 3. Каждая точка катящегося колеса участвует в двух движениях: вращательном и поступательном. В верхней части колеса скорости этих движений складываются, в нижней – вычитаются так, что соприкасающаяся с дорогой точка неподвижна. Из автобуса же наблюдается лишь «чистое» вращение колеса. 4. В направлении движения легкового автомобиля со скоростью, равной по модулю половине скорости автобуса. 5. В системе отсчета, связанной с любым из футболистов (в которой он неподвижен), все спортсмены будут двигаться равномерно и пря-

Базовый вариант 8–9 классы

Вопросы и задачи

Микроопыт

Скорость спортсмена относительно дорожки равна и противоположна скорости дорожки относительно земли.

Задачи осеннего тура

1. Не обязательно. Пример см. на рисунке 5: проход Ани указан над полосой, а проход Вари – под полосой.

Рис. 5

2. Не обязательно. Пусть A, D, C, B – последовательные вершины правильного шестиугольника. Тогда ABCD (рис. 6) – равнобедренная трапеция (полови-

Рис. 6