Задачи М2786—М2789; Ф2793—Ф2796

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2786–М2788а, М2789 предлагались на региональном этапе L Всероссийской олимпиады школьников по математике. Автор задач Ф2793–Ф2796 – С.Варламов.

Задачи М2786–М2789, Ф2793–Ф2796

M2786. По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря – чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори? П.Кожевников

M2787. На отрезке XY как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка Z на этом отрезке (рис. 1). Девять лучей из точки Z делят разверну-

Рис. 1

тый угол XZY на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках $A_{1}, A_{2}$, … $, A_{9}$ соответственно (в порядке обхода от X к Y). Докажите, что сумма площадей треугольников $A_{2} ZA_{3}$ и $A_{7} ZA_{8}$ равна площади $четырехугольника_{2}^{A} A_{3}^{A} 7_{8}^{A}$. М.Евдокимов

M2788. а) Правильный треугольник T со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назовем множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне T. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? б) Тот же вопрос, если дополнительно требуется, чтобы каждое линейное множество представляло из себя отрезок отмеченных точек (т.е. если две различные отмеченные точки входят в одно линейное множество, то и все отмеченные точки на отрезке между ними – тоже). И.Богданов

M2789*. Дано натуральное число n! 100. Изначально на доске написано число 1. Каждую минуту Петя представляет число, записанное на доске, в виде суммы двух неравных положительных несократимых дробей, а Вася оставляет на доске только одну из этих двух дробей. Докажите, что Петя может добиться того, чтобы знаменатель оставшейся дроби через n минут не превышал $2^{n} 50$ вне зависимости от действий Васи. М.Дидин

29

ЗАДАЧНИК

Ф2793. В игрушечном луке (рис. 2) энергия накапливается не в изогнутых плечах лука, а в растягивающейся тетиве. Расстояние между концами легкой тетивы, закрепленными на луке, равно L. Жесткость тетивы k. Юный Робин Гуд при стрельбе так натягивает тетиву, что сила натяжения тетивы увеличивается в два раза, а ее концы и место посередине тетивы, которого касается конец стрелы с оперением, находятся Рис. 2 в углах равностороннего треугольника со сторонами L. При запуске стрелы вертикально вверх она взлетает на высоту h 20L. Какова масса стрелы m? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Ф2794. Тонкостенная труба заполнена однородной невязкой и несжимаемой жидкостью, которая в прямом участке трубы далеко от изогнутого участка течет с одинаковой в любом месте поперечного сечения трубы скоростью v. Поперечное сечение трубы в любом месте представляет собой прямоугольник со сторонами A и a, причем $A_{?} a$. Прямой участок трубы переходит в изогнутый участок, и на нем труба имеет вид спирали с шагом a. Внутренний радиус спиральной трубы равен A, а ее внешний радиус равен 2A. Все стенки трубы, имеющие размер a, вертикальны, а на прямом участке трубы широкие стенки трубы горизонтальны. На спиральном участке трубы широкие стенки трубы составляют с горизонтом малый угол M величиной порядка $a 2 S A_{=} 1$. Течение жидкости установившееся во времени и ламинарное. На рисунке 3 показано, как выглядят сечение трубы, прямой и спиральный участки трубы сбоку, а также вид снизу. Как зависит скорость течения жидкости в изогнутом участке трубы (вдали от прямого участка) от расстояния x между точкой, в

«КВАНТА»

Рис. 3

которой измеряется скорость, и осью спирали? Силой тяжести можно пренебречь.

Ф2795. Кольцо имеет радиус R, толщина кольца мала в сравнении с его радиусом, масса кольца m равномерно распределена по его периметру. Кольцо раскрутили вокруг его оси симметрии, положили на шероховатую, коэффициент трения равен P, наклонную поверхность с углом наклона D к горизонту и толкнули его вверх. Ось симметрии кольца перпендикулярна наклонной поверхности. Кольцо всеми точками его периметра прижимается к поверхности. В какой-то момент центр кольца имел нулевую (по отношению к поверхности) скорость и кольцо вращалось с угловой скоростью Z. С каким ускорением движется центр кольца в указанный момент времени? С какой скоростью в этот момент уменьшается угловая скорость вращения кольца?

Ф2796. Очень длинный тонкостенный закрепленный короб сделан из непроводящего ток материала. Поперечное сечение короба – это квадрат со стороной a. На оси симметрии короба находится очень длинный тонкий стержень с равномерно распределенным по его длине электрическим зарядом. Линейная плотность заряда V. К ребру короба прикреплен один конец тонкой непроводящей невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на короб, образуя N одинаковых витков. Плоскости витков перпендикулярны оси симметрии короба. На другом конце нити прикреплен точечный предмет (шарик) с массой m и электрическим зарядом q. В начальный момент этот предмет находится рядом с местом закрепления конца нити на