Региональный этап L Всероссийской олимпиады школьников по математике

51

ОЛИМ П ИА ДЫ

Региональный этап L Всероссийской олимпиады школьников по математике

Задачи олимпиады

9 класс

1. У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1 u 1, 1 u 2, 1 u 3, …, 1 u 2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из прямоугольников, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1? О.Подлипский

2. На координатной плоскости нарисована парабола $y x^{2}$. Для данного числа k! 0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (т.е. все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что диагонали всех таких трапеций проходят через одну точку. Н.Агаханов

3. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Для игры в настольный теннис навылет всех жителей острова разделили на две команды A и B, причем в A жителей было больше, чем в B. Начали игру два игрока разных команд; после каждой партии проигравший игрок навсегда выходил из игры и его заменял другой (еще не игравший) член его команды. Проиграла команда, все члены которой вышли из игры. После турнира каждого члена команды A спросили: «Правда ли, что в какой-то игре ты проиграл лжецу?», а каждого члена команды B спросили: «Правда ли, что ты выиграл хотя бы у двух рыцарей?». Все ответы оказались утвердительными. Какая команда победила – A или B? М.Дидин

4. В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать не-

сколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500. С.Берлов

5. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB BC). На продолжениях боковых сторон AB и BC за точку B отмечены точки D и E соответственно, а на основании AC отмечена точка F, причем AC DE и ‘ CFE ‘ DEF. Докажите, что ‘ ABC 2 ‘ DFE. А.Кузнецов

6. На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске. И.Богданов

7. На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из нее в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались лицом к лицу, быстрый мгновенно разворачивался, не меняя скорости. На каком расстоянии от отмеченной точки могла произойти их сотая встреча? И.Богданов

8. На стороне BC остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что BP PQ QC. Точки X и Y выбраны соответственно на отрезках AC и AB так, что PX A AC и QY A AB. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC равноудалена от прямых XQ и YP. А.Матвеев

9. См. задачу М2788 «Задачника «Кванта».