Các biến lu mờ

22

V. A. Bronshten

Khi nghiên cứu vũ trụ, thiên văn học
các bà mẹ đã phải bị thuyết phục hơn một lần
đó là phân tích chính xác là
Hiện tượng quan sát được hầu như luôn luôn
cho phép bạn thu được nhiều dữ liệu về thiên thể hoặc nhóm thiên thể đang được nghiên cứu. Một ví dụ điển hình về điều này là cái gọi là các sao biến quang che khuất.

Năm 1669, nhà toán học và thiên văn học người Ý G. Montanari phát hiện ra rằng ngôi sao Algol (β Perseus) thay đổi độ sáng theo chu kỳ. (Có thể người Ả Rập cổ đại đã biết đến sự thay đổi độ sáng của ngôi sao này nên họ gọi nó là posetomu Ras Al-Ghul - “người đứng đầu của quỷ”. Tên tiếng Ả Rập này sau này đổi thành Algol.) Chúng ta biết rất ít về các tác phẩm của Montanari, vì nhiều tác phẩm của ông vẫn chưa đến được với chúng ta. Người ta chỉ biết rằng ông đã phát hiện ra sự biến đổi độ sáng không chỉ của Algol mà còn của những vật chất xung quanh ngôi sao này. Nhưng chúng tôi không biết chính xác đó là cuốn nào: danh mục của Montanari đã bị thất lạc.

Hơn một trăm năm sau, chàng trai trẻ câm điếc mười tám tuổi John Goodrike đã bắt đầu quan sát Algol trong giới thiên văn nghiệp dư người Anh. Từ những quan sát của ông trong năm 1782-1783. ông phát hiện ra rằng Algol, thường tỏa sáng như một ngôi sao cấp 2, suy yếu xuống cấp 3-4 khoảng ba ngày một lần.

Trong thiên văn học, người ta thường biểu thị độ sáng của các ngôi sao theo cường độ sao - đơn vị tỷ lệ với logarit của độ sáng do ngôi sao tạo ra trên mặt phẳng vuông góc với các tia của nó. Độ sáng của một ngôi sao chỉ phụ thuộc vào cường độ sáng và khoảng cách của nó với Trái đất, chứ không phụ thuộc vào việc chúng ta quan sát ngôi sao đó bằng mắt thường hay qua kính thiên văn, vì độ chiếu sáng của mắt và thấu kính viễn vọng bởi ánh sáng của ngôi sao là như nhau. Trong thiên văn học, độ sáng thường được biểu thị bằng chữ L (độ sáng) và độ lớn bằng chữ m.

Chênh lệch 1 độ lớn tương ứng với tỷ lệ độ sáng là 2,512 lần *). Sự khác biệt giữa hai cường độ sao m₁ và m₂ bằng

$$m_2 - m_1 = 2.5 \log \frac{L_1}{L_2},$$

trong đó L₁ và L₂ là độ sáng của các ngôi sao.

Quan sát Algol, Goodrike nhận thấy rằng độ sáng của nó giảm xuống mức tối thiểu và tăng trở lại giá trị “bình thường” kéo dài trong 4,5 giờ, sau đó ngôi sao duy trì độ sáng không đổi trong 2 ngày 12 giờ, sau đó Libra lặp lại chu kỳ. Thang đo của Goodrike xác định chính xác khoảng thời gian thay đổi độ sáng của ngôi sao - 2 ngày 20 giờ 49 phút, chỉ khác 3 phút so với giá trị hiện đại. Nhưng điều kiện quan trọng nhất là Goodreik quan sát chính xác hiện tượng mà ông quan sát được: ông cho rằng ở đây có sự nhật thực của một ngôi sao (sáng) với một ngôi sao khác (tối), quay quanh ngôi sao đầu tiên. Các sao loại Algol được gọi là các biến che khuất.

Giả thuyết của Goodreik đã được xác nhận một trăm năm sau.

*) Xem bài viết của L. D. Marlensky “Khả năng của kính thiên văn quang học” («Kvant» Số 8, 1972).

24

Cơm. 2.

= 1,27) Algol trải qua mức tối thiểu thứ cấp thông qua Polarioda, khi độ sáng của nó chỉ giảm $\Delta m_2 = 0,06$ độ lớn (Hình 2, a). Điều này có nghĩa là vệ tinh trong hệ Algol không tối hoàn toàn mà phát ra một ít ánh sáng và khi bị ngôi sao chính che khuất một phần, độ sáng của hệ sẽ yếu đi phần nào. Do mô hình hình học của bieclipses hoàn toàn đối xứng so với tâm của ngôi sao chính, bất kể góc nghiêng của quỹ đạo so với đường ngắm, nên rõ ràng là vùng bị che khuất của đĩa vệ tinh hoàn toàn bằng diện tích của đĩa của ngôi sao chính bị che khuất ở mức tối thiểu chính (xem Hình 2, b). Nhưng sau đó, từ sự tương ứng giữa biên độ mất độ sáng ở cực tiểu chính và cực tiểu phụ ($\Delta m_1$ và $\Delta m_2$) và các giá trị độ sáng tương ứng ($l_1$ và $l_2$), người ta có thể tìm thấy mối liên hệ giữa bề mặt độ sáng của cả hai ngôi sao ($B_1$, $B_2$). Để đơn giản, chúng ta hãy lấy độ sáng của hệ thống bên ngoài nhật thực là sự thống nhất ($L_0=1$); thì từ (1) ta sẽ có:
$$\Delta m_1 = -2,5 \log l_1; \Delta m_2 = -2,5 \log l_2; \log l_1 = -0,4 \Delta m_1; \log l_2 = -0,4 \Delta m_2;$$
$$l_1 = 10^{-0,4 \Delta m_1}; l_2 = 10^{-0,4 \Delta m_2}.$$
Mức giảm độ sáng ở cực tiểu chính và cực tiểu phụ sẽ lần lượt bằng $(1-l_2)$ và $(1-l_2)$ (chúng tôi đặt $L_0=1$). Nhưng vì diện tích của các đĩa của cả hai ngôi sao bị che khuất trong các lần nhật thực là bằng nhau, nên độ sáng bề mặt của các ngôi sao bị che khuất có liên quan đến sự mất đi độ sáng ở cực tiểu tương ứng:
$$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1-l_1}{1-l_2} = \frac{1-10^{-0,4 \Delta m_1}}{1-10^{-0,4 \Delta m_2}}.$$

6

Thay thế $\Delta m_1 = 1,27$ và $\Delta m_2 = 0,06$, chúng ta tìm thấy đối với Algol $B_1/B_2 = 12,7$, tức là bề mặt của ngôi sao chính sáng hơn gần 13 lần so với bề mặt của vệ tinh.

Biết tỷ lệ độ sáng của ngôi sao chính và sao vệ tinh, bạn có thể tìm ra tỷ lệ nhiệt độ của cả hai ngôi sao. Bằng thực nghiệm, người ta đã chứng minh rằng bức xạ trên một đơn vị diện tích bề mặt của các vật thể phát sáng tỷ lệ thuận với lũy thừa thứ tư của nhiệt độ của chúng *). Trong trường hợp của chúng ta, bức xạ có bề mặt đơn vị là bề mặt sáng của các ngôi sao. Vì vậy chúng ta có thể viết:
$$B_1 = \sigma T_1^4, \quad B_2 = \sigma T_2^4,$$
(5)

trong đó $B_1$, $B_2$ và $T_1$, $T_2$ là bề mặt thịnh nộ và nhiệt độ tuyệt đối của sao chính và sao đồng hành, $\sigma$ là một hằng số. Từ thư từ (5) suy ra rằng
$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt[4]{\frac{B_1}{B_2}}.$$

Đối với thí nghiệm Algol
$$T_1: T_2 = \sqrt[4]{12,7} \approx 1,89.$$
Nhiệt độ của ngôi sao chính có thể được xác định bằng cách nghiên cứu quang phổ của nó, hay chính xác hơn là sự phân bố cơn thịnh nộ dọc theo quang phổ. Người ta thấy rằng vị trí của năng lượng bức xạ cực đại tương ứng với bước sóng $\lambda_{\max}$ thay đổi khi nhiệt độ của vật phát sáng thay đổi. Tại

*) Nói đúng ra, sự tương ứng giữa năng lượng bức xạ và nhiệt độ này đúng đối với vật đen tuyệt đối. Tuy nhiên, không có nhiều sai sót, nó cũng có thể được sử dụng cho bức xạ của các kim loại đóng gói, Mặt trời và các ngôi sao.

25

Khi nhiệt độ cơ thể tăng lên, cực đại bức xạ sẽ dịch chuyển ngày càng xa hơn vào vùng bước sóng ngắn. Như vậy,

$$\lambda_{\max} \cdot T = b,$$

trong đó $T$ là nhiệt độ tuyệt đối của cơ thể, $b$ là giá trị không đổi. Sau khi xác định từ quang phổ quan sát được của ngôi sao $\lambda_{\max}$ và giá trị $b$, chúng ta có thể tìm được nhiệt độ tuyệt đối của vật thể phát sáng $T$. Dành cho ngôi sao chính của hệ thống Algol $T \approx 12\ 800^\circ$; Biết được giá trị này, người ta có thể tìm ra nhiệt độ tuyệt đối của ngôi sao đồng hành. Nó bằng $6800^\circ$. (Phổ phát xạ của ngôi sao đồng hành rất yếu và hơn nữa, chồng lên phổ phát xạ của ngôi sao chính.)

Chúng ta đã nói rằng trong quang phổ của Algol, người ta đã phát hiện ra sự dịch chuyển tuyến tính, sang đầu tím hoặc đầu đỏ của quang phổ với chu kỳ $T$ bằng với chu kỳ $P$ của sự thay đổi độ sáng của ngôi sao. Điều này có nghĩa là ngôi sao đang đến gần chúng ta hoặc đang di chuyển ra xa chúng ta, hình thành trên một quỹ đạo xung quanh khối tâm của hệ với chu kỳ $T = P$.

Theo nguyên lý Doppler, tốc độ đến gần hoặc rút lui gần nhất của ngôi sao chính $\Delta v$, bước sóng của các vạch quang phổ $\lambda$ và độ dịch chuyển của nó $\Delta \lambda$ có ​​liên quan với nhau bởi mối quan hệ

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta v}{c},$$

trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng. Sau khi xác định từ quang phổ quan sát được của ngôi sao sự thay đổi bước sóng khi thước bị dịch chuyển, chúng ta có thể tìm thấy bằng công thức (7) tốc độ chuyển động của ngôi sao chính trong quỹ đạo của nó. Đối với Algol, người ta thấy rằng $\Delta v \approx 46\ \text{km/c}$. Giá trị này bằng tốc độ quỹ đạo $v$.

Bây giờ, khi biết khoảng thời gian $T = P \approx 68\ u$ 52 phút, chúng ta có thể xác định bán kính của ngôi sao:

$$R_1 = \frac{T \cdot v}{2\pi} \approx 1,86\ (\text{мин. }\ \text{км}).$$

Bán kính quỹ đạo của Algol lớn hơn gần 5 lần bán kính quỹ đạo của Mặt trăng.

Nếu trong quang phổ của một ngôi sao có thể nhìn thấy các vạch quang phổ không chỉ sáng mà còn có thể nhìn thấy thành phần mờ (sao vệ tinh), thì bán kính quỹ đạo của vệ tinh $R_2$ có thể được tìm thấy theo cách chính xác tương tự. $R_2 = 8,54\ \text{мин. }\ \text{км}$ đã được tìm thấy cho vệ tinh của Algol (Algol B). Do đó, bán kính của quỹ đạo tương đối, tức là quỹ đạo của vệ tinh của ngôi sao chính tương đối, là $R = R_1 + R_2 = 10,4\ \text{мин. }\ \text{км}$.

Biết bán kính quỹ đạo tương đối và chu kỳ quay, chúng ta có thể sử dụng định luật thứ ba của Kepler để xác định tổng khối lượng của cả hai ngôi sao. Ở dạng tổng quát (bắt nguồn từ Newton), định luật thứ ba của Kepler trông như thế này:

$$\frac{T_1^2 (M_1 + M_2)}{T_2^2 (M_3 + M_4)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}.$$

Ở đây $T_1$, $T_2$ là các chu kỳ quay quanh các khối lượng trong hệ vật thể thứ nhất và thứ hai, $a_1$, $a_2$ là các bán trục lớn của quỹ đạo, $M_1, M_2$ là khối lượng của các vật thể thuộc hệ thứ nhất, $M_3$, $M_4$ là khối lượng của các vật thể thuộc hệ thứ hai. Lấy hệ thứ nhất là hệ Algol, hệ thứ hai là hệ Mặt trời-Trái đất, làm đơn vị khối lượng, như trong vật lý của các ngôi sao, chúng ta sẽ lấy khối lượng của Mặt trời (tức là đặt $M_3=1$), và bỏ qua khối lượng của Trái đất ($M_4=0$); Chúng ta thay thế các trục bán lớn bằng bán kính của các quỹ đạo tròn. Sau đó chúng tôi nhận được:

$$M_1 + M_2 = \left(\frac{R}{R'}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2.$$

Thay $T_1=2,87$ ngày, $T_2=365,24$ ngày, $R'=149,6\ \text{мин. }\ \text{км}$ và giá trị $R = 10,4\ \text{мин. }\ \text{км}$ tìm thấy ở trên, chúng ta thu được $M_1 + M_2 = 5,4$, tức là tổng khối lượng của cả hai ngôi sao của hệ Algol gấp 5,4 lần khối lượng Mặt trời.

Để xác định khối lượng của từng ngôi sao một cách riêng biệt, hãy nhớ rằng khoảng cách của hai vật thể đến tâm khối lượng của chúng tỷ lệ nghịch với khối lượng của chúng. Có nghĩa,

$$\frac{M_1}{M_2} = \frac{R_2}{R_1}.$$

26

Trong trường hợp hệ thống Algor $M_1/M_2 = 8,54 : 1,86 = 4,6$. Sử dụng tổng và khối lượng tương đối, chúng ta tìm thấy $M_1=4,55, M_2=0,95$. Vì vậy, ngôi sao vệ tinh có khối lượng gần bằng Mặt trời và ngôi sao chính có khối lượng gấp khoảng 4,5 lần Mặt trời.

Phân tích đường cong ánh sáng không chỉ cho phép tìm ra bán kính quỹ đạo của các ngôi sao mà còn xác định các yếu tố của quỹ đạo: độ nghiêng của nó so với đường ngắm, độ lệch tâm, vị trí của mặt phẳng quỹ đạo trong không gian. Một phương pháp xác định các thành phần quỹ đạo của một ngôi sao biến quang che khuất từ ​​đường cong ánh sáng của nó được phát triển vào năm 1912 bởi nhà thiên văn học người Mỹ G. ResSELOM *). Dưới đây là những điều cơ bản của phương pháp dí dỏm quy mô này.

Giả sử rằng chúng ta đang quan sát nhật thực của một ngôi sao (Hình 3, b). Chỉ cần ngôi sao chính bị che phủ hoàn toàn, độ sáng của hệ thống sẽ không thay đổi. Trong trường hợp này, mức tối thiểu chính trong đường cong ánh sáng (Hình 3a) sẽ bằng phẳng. Ở mức tối thiểu thứ cấp, nhật thực hình vòng sẽ xảy ra (Hình 3, b; ngôi sao nhỏ ở phía trước) và nó cũng sẽ phẳng. Chúng ta hãy biểu thị độ sáng của ngôi sao tại bất kỳ thời điểm nào của nhật thực, trong khi nó không phải là toàn phần (hoặc không có hình vòng), bằng $l$, độ sáng ở mức tối thiểu chính là $l'$, độ sáng ở mức tối thiểu phụ là $l''$. Chúng ta coi độ sáng của một ngôi sao bên ngoài nhật thực là sự thống nhất. Khi đó độ sáng mất đi sẽ tương ứng với $1-l, 1-l'$ và $1-l''$.

Vị trí của vệ tinh trên quỹ đạo so với hướng tới Trái đất tại mỗi thời điểm $t$ được xác định bởi góc pha $\theta$ (xem Hình 4), bằng với

$$\theta = \frac{360^\circ}{P} (t - t_0),$$

trong đó $t_0$ là thời điểm tương ứng với điểm giữa của cực tiểu chính trên đường cong ánh sáng (Hình 3, a), $P$ là chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh, bằng với chu kỳ thay đổi độ sáng. Tại thời điểm $t=t_0$ góc pha là $\theta=0$. Để đơn giản hóa việc tính toán, chúng ta sẽ đặt $t_0=0$, tức là chúng ta sẽ bắt đầu thời gian từ giữa mức tối thiểu chính. Đặt bán kính của quỹ đạo tương đối là thống nhất ($R=1$) và biểu thị tỷ lệ bán kính của ngôi sao nhỏ hơn với bán kính của ngôi sao lớn hơn bằng $k (k=r_2:r_1)$. Hãy để quỹ đạo của vệ tinh bị nghiêng

*) Lý thuyết tổng quát đầu tiên về các ngôi sao che khuất và phương pháp tính toán quỹ đạo được S. N. Blazhko mô tả vào năm 1911 tại Moscow trong luận án tiến sĩ của ông.

27

với hình ảnh của mặt phẳng *) ở một góc $i$ (rõ ràng là gần với $90^\circ$, nếu không chúng ta đã không nhìn thấy nhật thực). Chúng ta cần xác định ba ẩn số: $r_1, r_2, i$.

Từ đường cong ánh sáng, chúng ta có thể xác định pha hình học của nhật thực tại từng thời điểm, bằng tỷ lệ giữa độ sáng bị mất tại một thời điểm nhất định và độ sáng bị mất ở mức tối thiểu chính:

$$\alpha = \frac{1 - l}{1 - l'}.$$

TỪ định nghĩa của $\alpha$, rõ ràng $\alpha$ là hàm của góc pha $\theta$. Chính từ những gì đã biết từ sự phụ thuộc quan sát được $\alpha(\theta)$ mà chúng ta sẽ xác định được các giá trị $r_1, r_2, i$.

Dễ dàng nhận thấy rằng pha hình học $\alpha$ phụ thuộc duy nhất vào ba đại lượng: vào khoảng cách $d$ giữa tâm của các đĩa của các ngôi sao có chu vi ($AB$ trong Hình 5) và vào bán kính của chúng $r_1, r_2$ (hoặc trên một trong số chúng, $r_1$ và tỷ lệ của chúng $k$). Về mặt số học, nó bằng tỷ lệ giữa các mặt phẳng của đoạn kép $CDEF$ với diện tích đĩa của ngôi sao nhỏ hơn, tức là với diện tích của hình tròn có tâm ở $A$ (Hình 5). Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa các trung tâm $d$?

Nếu mặt phẳng quỹ đạo đi qua đường ngắm ($i=90^\circ$), thì nó sẽ là $d = a \cdot \sin \theta$. Nhưng vì quỹ đạo có độ nghiêng $i \neq 90^\circ$ nên độ lớn $d$ sẽ là hàm của hai góc:

*) Mặt phẳng ảnh là mặt phẳng vuông góc với tia nhìn.

Cơm. 5.

$i$ và $\theta$, trong đó chúng ta chỉ biết phần thứ hai ($\theta$). Mặc dù công thức biểu thị mối liên hệ của $d$ với $i$ và $\theta$ rất đơn giản nhưng chúng tôi sẽ không rút ra nó ở đây để tránh tính toán rườm rà mà sẽ viết nó ở dạng đơn giản:

$$d = f_1(i, \theta).$$

Hơn nữa, theo quy định trên,

$$d = f_2(\alpha, k, r_1).$$

Vì vậy, dường như chúng ta chỉ có hai phương trình với bốn ẩn số $d, i, k, r_1$. Loại bỏ $d$, chúng ta thu được một phương trình với ẩn số thứ ba $i, k, r_1$.

Nhưng chúng ta có sẵn không chỉ một điểm trên đường cong ánh sáng mà còn rất nhiều điểm. Bằng cách chọn ba điểm, chúng ta thu được hệ ba phương trình với ẩn thứ ba, có thể giải và thu được các giá trị $i, r_1, k$ (và do đó $r_2 = kr_1$).

Trong phương pháp Russell, hai điểm được chọn là cố định (chúng tương ứng với $\alpha=0,6$ và $\alpha=0,9$), và điểm thứ ba là “trượt”, tức là nhiều điểm trên đường cong ánh sáng lần lượt được chọn làm điểm thứ ba. Từ kết quả 10-20 lời giải cho ẩn số, các giá trị trung bình được lấy. Do đó, toàn bộ đường cong ánh sáng có liên quan đến lời giải.

Biết bán kính của các ngôi sao có chu vi theo phân số của bán kính quỹ đạo $R$ (chúng tôi giả sử $R=1$), chúng ta có thể tìm thấy bán kính abscyltic và từ chúng thể tích. Bằng cách chia khối lượng của các ngôi sao cho thể tích của chúng, chúng ta tìm được mật độ trung bình của các ngôi sao.

Nếu nhật thực không toàn phần mà một phần thì lời giải sẽ khó khăn hơn, nhưng phương pháp của Russell cũng có thể thành công trong trường hợp này.

Đối với ví dụ chúng tôi đã chọn - hệ thống Algol - $r_1=2,0$ ml. $km, r_2=2,0$ml. $km$. Biết được kích thước và khối lượng, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra mật độ trung bình của các ngôi sao có chu vi $\rho_1=0,1 \ e/cm^3, \rho_2=0,06 \ e/cm^3$.

Vì vậy, từ việc phân tích đường cong ánh sáng của ngôi sao biến quang Algol