Chuyển động tròn

51

Để mô tả chuyển động tròn, cùng với vận tốc tuyến tính, khái niệm vận tốc góc được đưa ra. Nếu một điểm khi di chuyển dọc theo một đường tròn trong thời gian $\Delta t$, mô tả một cung có số đo góc là $\Delta \varphi$, thì vận tốc góc là $\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$.

Vận tốc góc $\omega$ có liên quan đến vận tốc tuyến tính $v$ theo hệ thức $v = \omega r$, trong đó $r$ là bán kính của đường tròn mà điểm di chuyển dọc theo (Hình 1). Khái niệm vận tốc góc đặc biệt thuận tiện cho việc mô tả chuyển động quay của một vật rắn quanh một trục. Mặc dù vận tốc tuyến tính tại các điểm nằm ở những khoảng cách khác nhau so với trục sẽ không giống nhau, nhưng vận tốc góc của chúng sẽ bằng nhau và chúng ta có thể nói về vận tốc góc quay của toàn bộ vật thể.

Vấn đề. Đĩa có bán kính $r$ lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Tốc độ của chuỗi đĩa không đổi và bằng $v_{\pi}$.

Cơm. 1. Hình 2.

Đĩa đang được chữa lành với vận tốc góc bằng bao nhiêu?

Mỗi điểm của đĩa tham gia vào hai chuyển động - chuyển động tịnh tiến với tốc độ $v_{\pi}$ cùng với tâm của đĩa và chuyển động quay quanh tâm với vận tốc góc nhất định $\omega$.

Để tìm $\omega$ chúng ta sử dụng tính chất không trượt, tức là tại mỗi thời điểm tốc độ của điểm của đĩa tiếp xúc với mặt phẳng bằng 0. Điều này có nghĩa là đối với điểm $A$ (Hình 2), tốc độ của chuyển động tịnh tiến $v_{\pi}$ có ​​độ lớn bằng nhau và ngược hướng với tốc độ tuyến tính của chuyển động quay $v_{BP} = \omega r$. Từ đây chúng ta nhận được ngay $\omega = \frac{v_{\pi}}{r}$.

Vấn đề. Tên mẫu $B$, $C$ và $D$ có ​​thể nằm trên cùng một đĩa (Hình 3).

Trước tiên chúng ta hãy xem xét điểm $B$. Tốc độ tuyến tính của chuyển động quay của nó được hướng theo chiều dọc và bằng $v_{BP} = \omega r = \frac{v_{\pi}}{R} r = v_{\pi}$, nghĩa là theo độ lớn của tốc độ chuyển động tịnh tiến, tuy nhiên, tốc độ này được hướng theo chiều ngang. Cộng hai vận tốc này theo vectơ, chúng ta thấy rằng vận tốc thu được $v_B$ có ​​độ lớn bằng $v_{\pi} \sqrt{2}$ và đảo ngược góc $45^\circ$ với đường chân trời. Tại điểm $C$ vận tốc của chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến cùng hướng. Tốc độ thu được $v_C$ bằng $2v_{\pi}$ và được định hướng

53

ô tô hướng vào tâm chỗ rẽ và có gia tốc hướng tâm: $F_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{R}$.
Giá trị tối đa của lực ma sát là $F_{\text{тр} \max} = kN = kmg$, do đó giá trị tối thiểu của bán kính hình tròn mà vẫn có thể chuyển động với tốc độ $v$ được xác định từ phương trình $\frac{mv^2}{R} = kmg$. Do đó $R = \frac{v^2}{kg} \approx 130(m)$.

Phản lực của mặt đường $N$ khi ô tô chuyển động theo đường tròn không đi qua trọng tâm thì tốc độ ô tô càng lớn. Tốc độ của ô tô càng lớn ($F_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{R}$) thì lực ma sát càng lớn. Ở một tốc độ nhất định, mô men của lực ma sát sẽ lớn hơn mô men của phản lực và máy LIB sẽ bị lật.

Nhiệm vụ a. Một ô tô đang chuyển động dọc theo đường tròn bán kính $R = 130m$ có thể bị lật với tốc độ bao nhiêu? Trọng tâm của ô tô ở độ cao $h = 1m$ so với mặt đường, chiều rộng của ô tô bên trái là $l = 1,5m$ (Hình 4).

Tại thời điểm ô tô lăn bánh, tác dụng cả phản lực của mặt đường $N$ và lực ma sát $F_{\text{тр}}$

Cơm. 4.

đến bánh xe “bên ngoài”. Khi một ô tô chuyển động theo vòng tròn với tốc độ $v$, sẽ có một lực ma sát $F_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{R}$ tác dụng lên nó. Lực này tạo ra mô men về trọng tâm của ô tô $M_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{k}h$. Momen phản lực cực đại của mặt đường $N = mg$ so với trọng tâm bằng $mg\frac{l}{2}$ (tại thời điểm lật xe, phản lực truyền qua bánh xe ngoài). Đánh đồng những khoảnh khắc này, chúng ta tìm được phương trình tốc độ tối đa mà máy LIB không bị lật:

$$\frac{mv^2}{R}h = -\frac{mgl}{2},$$

Ở đâu

$$v = \sqrt{\frac{glR}{2h}} \approx 30m/c \approx 110km/u.$$

Để máy LIB chuyển động với tốc độ như vậy cần có hệ số ma sát $k \geq \frac{v^2}{gR}$ (xem bài toán trước).

Tình huống tương tự cũng xảy ra khi rẽ xe máy hoặc xe đạp. Lực ma sát do gia tốc trong không gian tạo ra có mô men tương ứng với trọng tâm, có xu hướng làm lật xe máy. Vì vậy, để bù lại thời điểm này, mômen phản lực của đường tác dụng lên người lái xe mô tô theo hướng rẽ (Hình 5).

Nhiệm vụ a. Momoshikst lái xe dọc theo đường nằm ngang với tốc độ $v = 70km/u$, rẽ có bán kính $R = 100m$. Hỏi nó nghiêng một góc $\alpha$ bao nhiêu so với phương ngang để nó không bị đổ?

Lực ma sát giữa xe mô tô và đường là $F_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{R}$, vì nó truyền gia tốc hướng tâm cho người lái xe mô tô. Lực phản lực của đường $N = mg$. Điều kiện cân bằng mô men của lực ma sát và phản lực đối với trọng tâm cho phương trình:

$$F_{\text{тр}} \cdot l \sin \alpha = Nl \cos \alpha,$$

trong đó $l$ là khoảng cách $OA$ tính từ trọng tâm bên trái của xe máy (xem Hình 5).

57

$v_A = \sqrt{gR}$ phản lực của đường chỉ bằng 0 tại điểm trên cùng của đường vòng. Trên thực tế, tốc độ của ô tô ở các đoạn khác của đường vòng sẽ lớn hơn và như có thể dễ dàng nhận thấy từ lời giải của bài toán trước đó, phản lực của đường cũng sẽ lớn hơn tại điểm $A$. Do đó, nếu ô tô ở điểm trên cùng của vòng lặp có tốc độ $v_A = \sqrt{gR}$ thì nó sẽ không thoát ra khỏi vòng lặp ở bất kỳ đâu.

Bây giờ chúng ta xác định tốc độ mà ô tô phải có ở điểm dưới cùng của vòng lặp $D$ sao cho ở điểm trên cùng của vòng lặp $A$ tốc độ của nó là $v_A = \sqrt{gR}$. Để tìm tốc độ $v_D$, bạn có thể sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, như thể ô tô chỉ chuyển động dưới tác dụng của trọng lực. Thực tế là phản lực của đường tại mỗi thời điểm có hướng vuông góc với chuyển động của ô tô, và do đó công của nó bằng 0 (hãy nhớ rằng công $\Delta A = F \Delta s$ cos $\alpha$, trong đó $\alpha$ là góc giữa lực $F$ và hướng chuyển động $\Delta s$). Có thể bỏ qua lực ma sát giữa các bánh xe và mặt đường khi xe chạy với động cơ tắt. Do đó, tổng thế năng và động năng của ô tô khi lái xe với động cơ tắt không thay đổi.

Chúng ta hãy đánh đồng các giá trị năng lượng của ô tô tại các điểm $A$ và $D$. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ tính độ cao từ điểm $D$, tức là thế năng của ô tô tại thời điểm này sẽ được coi là bằng 0. Sau đó chúng tôi nhận được

$$\frac{mv_D^2}{2} = \frac{mv_A^2}{2} + 2mgR.$$

Thay thế ở đây giá trị $v_A = \sqrt{gR}$ cho tốc độ độc quyền $v_D$, chúng ta thấy:

$$v_D = \sqrt{5gR} \approx 70 \text{ m/c} \approx 260 \text{ km/ч}.$$

Nếu một chiếc ô tô đi vào vòng lặp với tốc độ như vậy, nó sẽ có thể hoàn thành vòng đó khi tắt động cơ.

Bây giờ chúng ta hãy xác định xem carILITY sẽ tác động lên đường với lực bao nhiêu tại điểm $B$. Vận tốc của ô tô tại điểm $B$ một lần nữa có thể dễ dàng tìm được từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{mv_D^2}{2} = \frac{mv_B^2}{2} + mgR(1 + \cos \alpha).$$

Thay giá trị $v_D = \sqrt{5gR}$ vào đây, ta thấy tốc độ là $v_B = \sqrt{gR(3 - 2\cos \alpha)}$.

Sử dụng nghiệm của bài toán trước, lực ép tại điểm $B$ được tìm từ tốc độ đã cho:

$$N_B = \frac{mv_B^2}{R} - mg\cos \alpha = 3mg(1 - \cos \alpha) \approx 2 \cdot 10^3 \text{ N}.$$

Tương tự, bạn có thể tìm thấy lực ép tại bất kỳ điểm nào khác của “vòng chết”.

Bài tập

1. Tìm vận tốc góc của một vệ tinh nhân tạo của Trái đất quay theo quỹ đạo tròn có chu kỳ quay $T = 88 \text{ min}$; Tìm tốc độ chuyển động tuyến tính của vệ tinh này nếu biết quỹ đạo của nó nằm cách bề mặt Trái đất một khoảng $R = 200 \text{ km}$.

2. Một đĩa có bán kính $R$ được đặt giữa hai thanh song song. Các thanh di chuyển với tốc độ $v_1$ và $v_2$. Xác định tốc độ góc quay của đĩa và tốc độ tâm của nó. Không có sự trượt.

3. Đĩa lăn trên mặt phẳng nằm ngang không bị thủng. Chứng minh rằng hai đầu vectơ vận tốc của một điểm có đường kính thẳng đứng cùng nằm trên một đường thẳng.

4. Máy bay chuyển động theo đường tròn với vận tốc nằm ngang không đổi $v = 700 \text{ km/час}$. Xác định bán kính $R$ của vòng tròn này nếu thân máy bay nghiêng một góc $\alpha = 5^\circ$.

5. Một vật nặng có khối lượng $m = 100 \text{ e}$, được treo trên những sợi dây có chiều dài $l = 1 \text{ m}$, quay đều theo một đường tròn trong mặt phẳng nằm ngang. Tìm chu kỳ quay của tải nếu trong quá trình quay, sợi dây bị lệch theo phương thẳng đứng một góc $\alpha = 30^\circ$.

Cũng xác định độ căng của sợi.

6. Một ô tô chuyển động với vận tốc $v = 80 \text{ km/ч}$ dọc theo mặt trong của một hình trụ thẳng đứng bán kính $R = 10 \text{ m}$ dọc theo một đường tròn nằm ngang. Tại mỗi hệ số ma sát nhỏ nhất giữa lốp ô tô và mặt trụ của không khí này?

7. Khối lượng $m$ được treo trên một sợi dây không dãn, lực căng tối đa có thể có là 1,5 mg. Ở góc tối đa nào $\alpha$ sợi chỉ có thể lệch khỏi phương thẳng đứng để sợi chỉ không bị đứt khi tải tiếp tục chuyển động? Lực căng của sợi dây tại thời điểm sợi dây tạo một góc $\alpha/2$ với phương thẳng đứng sẽ bằng bao nhiêu?