Với một mét trên toàn cầu

26

VỚI METER TRÊN TOÀN CẦU

A. B. Schwartzburg

Chúng ta hãy thử vẽ trên bề mặt địa cầu đường đi của một con tàu đã rời cảng $A$ và phải đến cảng $B$. Con đường này có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau và mỗi cách đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Nếu con tàu đang vội thì điều quan trọng là phải biết con đường ngắn nhất giữa các cảng. Như bạn đã biết, trên mặt phẳng khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là một đường thẳng. Tuy nhiên, trên quả cầu, hình ảnh có điều kiện. Bằng cách kéo dài một sợi chỉ một cách linh hoạt và không thể mở rộng trên một quả địa cầu giữa các điểm $A$ và $B$ (điểm đầu và cuối của đường dẫn), người ta có thể tìm thấy vị trí của sợi chỉ mà tại đó độ dài $AB$ sẽ nhỏ nhất. Tuy nhiên, hướng của sợi chỉ so với lưới kinh tuyến và vĩ tuyến được đánh dấu trên quả địa cầu sẽ khác nhau tại mỗi điểm dọc theo chiều dài $AB$. Điều này có nghĩa là không dễ để xây dựng một con đường như vậy trên biển khơi.

Bạn có thể chọn một phương pháp khác - ví dụ: luôn di chuyển theo một hướng, băng qua tất cả các kinh tuyến ở cùng một góc. Khi đó việc đi lại trên biển sẽ dễ dàng hơn. Tuy nhiên, bằng cách sử dụng cùng một luồng trên quả địa cầu, có thể dễ dàng xác minh rằng đường dẫn như vậy sẽ dài hơn đường dẫn đầu tiên. Để hình dung rõ hơn từng đường dẫn, hãy xem xét một phụ trợ bài toán.

Chuyển động gần cực

Trên bản đồ trường học, các kinh tuyến và vĩ tuyến thường được thể hiện dưới dạng lưới hình chữ nhật. Tuy nhiên, để mô tả các khu vực liền kề với cực, một lưới tọa độ khác được sử dụng, trong đó kinh tuyến được biểu thị bằng các tia phát ra từ cực $O$ và các đường vĩ tuyến được biểu thị bằng các vòng tròn có tâm ở cực. Giả sử rằng các điểm $A$ và $B$ được đánh dấu trên bản đồ như vậy. Hãy thử vẽ quỹ đạo $AB$, không quan tâm đến độ dài của đường đi mà yêu cầu hướng chuyển động phải không đổi. Nói cách khác, cần phải đo một đường cong phẳng đi qua các điểm $A$ và $B$, giao nhau với tất cả các tia phát ra từ cực ở một góc không đổi nào đó $\alpha$ (Hình 1, a).

Tọa độ của điểm $A$ và $B$ được coi là đã biết (nghĩa là khoảng cách của chúng đến cực $\rho_A$ và $\rho_B$ cũng như sự khác biệt về kinh độ của chúng đã được biết). Có thể dễ dàng chỉ ra trường hợp đặc biệt của quỹ đạo tương ứng với $\rho_A = \rho_B$. Đường thẳng vuông góc với mọi tia phát ra từ một điểm là đường tròn. Để tìm quỹ đạo ở một góc tùy ý $\alpha$, hãy xem xét hai tia tạo thành một góc nhỏ $\theta$. Đặt một trong số chúng $OA = \rho_0$ tương ứng với giá trị $\theta = 0$. Đặt $ON = \rho_0 = OA$ sang tia thứ hai (Hình 1, b), chúng ta lưu ý rằng $\rightarrow ANO \approx \frac{\pi}{2}$ (vì góc $\theta$ nhỏ).

27

Để quỹ đạo cắt tia $ON$ tại điểm $K$. Khi đó từ tam giác $ANK$, trong đó $AN = \rho_0 \theta^*$): ta tìm thấy $NK = AN \cdot \text{ctg} \alpha = \rho_0 \theta \text{ctg} \alpha$. Từ đó chúng ta có thể thấy rằng độ dài vectơ bán kính của quỹ đạo $OK$ là

$$\rho_1 = \rho_0 - \rho_0 \theta \text{ctg} \alpha = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha).$$

Trì hoãn góc $\theta$ theo chiều kim đồng hồ từ $ON$ một lần nữa, chúng ta thu được vectơ bán kính

$$\rho_2 = \rho_1 (1 - \theta \text{ctg} \alpha) = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha)^2.$$

Lặp lại các phép tính này $n$ lần, chúng tôi tìm thấy

$$\rho_n = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha)^n.$$

Giả sử vectơ bán kính $\rho_0$ đã quay một góc $\lambda$ lần $n$, sau đó $\theta = \frac{\lambda}{n}$ và

$$\rho_n = \rho_0 \left(1 - \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha\right)^n.$$

Giả sử rằng chúng ta, coi góc $\lambda$ không đổi, tăng số lượng “bước” sao cho độ lớn của một “bước” $\theta = \frac{\lambda}{n}$ giảm. Nếu $n$ tăng vô thời hạn thì điều này sẽ tương ứng với sự chuyển động liên tục của điểm dọc theo quỹ đạo. Chuyển công thức (4) cho khúc dạo đầu ở $n \to \infty$, chúng ta tìm thấy (xem L. G. Limanov “Về số $e$ và $n!$” «Kvant» Số 5, 1972):

$$\rho = \lim_{n \to \infty} \rho_n = \rho_0 e^{-\lambda \text{ctg} \alpha},$$

trong đó $e = 2,73$ là một hằng số được biết đến trong toán học, “số $e$” nổi tiếng, là cơ số của logarit tự nhiên.

Chúng ta đã thu được phương trình của một đường cong cắt tất cả các tia phát ra từ tâm một góc $\alpha$. Giá trị của góc này có thể được tìm thấy bằng cách biết tọa độ của các điểm $A$ và $B$ cũng như sự khác biệt về kinh độ của chúng $\lambda$. Từ (5) ta tìm được

$$\text{ctg} \alpha = -\frac{1}{\lambda} \ln \frac{\rho}{\rho_0}.$$

Vượt qua mỗi kinh tuyến một góc $\alpha$, cá diếc sẽ đi từ cảng $A$ đến cảng $B$.

Từ công thức (6) người ta có thể thấy các tính chất quan trọng khác của đường cong thu được: góc giữa các vectơ bán kính tỉ lệ với logarit của chúng

*) Việc thay thế như vậy tương đương với một đẳng thức gần đúng được thực hiện cho các giá trị nhỏ của góc $x \left(x \ll \frac{\pi}{2}\right)$: $\sin x \approx x$. Đẳng thức này và đẳng thức $\text{ctg} x \approx x$ theo sau nó được sử dụng nhiều lần trong bài viết này.

28

$$\lambda = - \frac{\ln \frac{\rho}{\rho_0}}{\text{ctg} \alpha}.$$

Đường cong (5) có một cái tên đặc biệt là “xoắn ốc logarit”, và nhà toán học Jacob Bernoulli thậm chí còn gọi nó là “spira mirabilis”, trong tiếng Latin có nghĩa là “xoắn ốc tuyệt vời”.

Trong phụ trợ bài toán này, phần bề mặt trái đất nơi xảy ra chuyển động được coi là một mặt phẳng. Chúng ta hãy thử khái quát hóa lời giải (6) thu được cho trường hợp bề mặt hình cầu. Nói cách khác, hãy thử vẽ một đường cong trên quả địa cầu nối các điểm A và B và cắt tất cả các kinh tuyến theo một góc không đổi α. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ cần cùng một số nguyên tố toán học đã được sử dụng trong trợ động từ bài toán.

Đường cong mùi

Chúng ta giả sử rằng ít nhất một trong các điểm A và B không trùng với cực của hình cầu. (Nếu A và B là cực thì mọi kinh tuyến đều là ngoại lệ của đường cong). Chúng ta sẽ mô tả vị trí của từng điểm theo vĩ độ φ, sự vắng mặt của đường xích đạo và kinh độ λ. Cần kiểm tra một đường cong trên mặt cầu bắt đầu từ điểm A có tọa độ φ_A, λ_A và đến điểm B có tọa độ φ_B, λ_B (xem hình 2) sao cho các kinh tuyến cắt nhau một góc α. Trong phần phụ bài toán, chúng tôi đã chỉ ra rằng đường cong phẳng có tính chất này là một đường xoắn ốc logarit.

Hãy xem xét hai điểm gần nhau trên hình cầu (A và N) (Hình 3), hiệu về vĩ độ (cung AO) là Δφ, và hiệu về kinh độ (cung ON) là θ, trong đó θ là một góc nhỏ, (θ << λ). Nếu cả hai điểm đều nằm trên đường cong mà chúng ta quan tâm thì đường cong này tạo thành các góc α bằng nhau với các kinh tuyến đi qua các điểm này. Xét tam giác cong AON, trong đó cung AO trùng với phần kinh tuyến, cung ON trùng với phần của đường tròn vĩ độ φ₁ và ⇄ OAN = α. Ta biểu thị giá trị tọa độ φ tại điểm A bằng φ_A = φ_0. Do đó, φ₁ = φ_0 + Δφ.

Cơm. 2.
Cơm. 3.

29

Có thể chứng minh một cách chặt chẽ rằng các giá trị tọa độ $\varphi_0$ và $\varphi_1$ có liên quan với nhau như sau:

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_1}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha].$$

(Một dẫn xuất chi tiết của đẳng thức này được đưa ra trong Phụ lục I.)

Hơn nữa, chúng ta có thể suy luận theo cách tương tự như đối với phụ trợ lời giải bài toán. Giá trị của hàm $\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)$ tại điểm có tọa độ $\varphi_2$, $2\theta$ sẽ là

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_2}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_1}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha] =$$

$$= \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha]^2.$$

Sau $n$ “bước” chúng tôi nhận được $\varphi_n$

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_n}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) \left[ 1 + \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha \right]^n.$$

Bây giờ chúng ta giả sử rằng chúng ta thông báo số “bước” $n$ đến vô cùng, tiến gần đến điểm $B$. Đồng thời $\varphi_n \rightarrow \varphi_B$. Khi đó giá trị của mỗi bước $\theta = \frac{\lambda}{n}$ tiến tới 0 và số thừa số ở vế phải của (9) tăng lên không giới hạn. Chuyển đến giới hạn tại $n \rightarrow \infty$ trong công thức (9), ta thu được (tương tự với công thức (5)):

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_B}{2} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left\{ \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right) \left[ 1 + \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha \right]^n \right\} =$$

$$= \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right) e^{\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

Đường cong kết quả cắt tất cả các kinh tuyến trên hình cầu ở một góc không đổi $\alpha$. Giá trị của góc này có thể dễ dàng tìm thấy từ (10), biết vĩ độ của mỗi cổng ($\varphi_A$ và $\varphi_B$) và sự khác biệt về kinh độ ($\lambda_B - \lambda_A) = \lambda$ giữa chúng:

$$\text{ctg} \alpha = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_B}{2} \right)}{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right)}.$$

Đường cong biểu diễn bằng công thức (10) có tên đặc biệt là “loxodrome”, có thể dịch từ tiếng Latin là “xiên”. Đường cong này được nghiên cứu vào thế kỷ 18 bởi nhà toán học Snell, người cũng nổi tiếng vì đã hình thành định luật khúc xạ tia sáng tại ranh giới của hai môi trường, được gọi là giáo dục tại nhà.

Loxodrome đi qua “xiên” các kinh tuyến của quả bóng và tiến đến cột, “cuộn” vào nó như một hình xoắn ốc. Không khó để chỉ ra rằng độ phân giải của cực loxodrome gần với đường xoắn ốc logarit mà chúng ta đã thảo luận ở phần phụ bài toán. Thật vậy, gần cực $\varphi = 90^\circ - \delta$, nơi $\delta \ll 90^\circ$. Sau đó

$$\frac{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)}{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right)} \approx \frac{\text{tg} \left( \frac{\delta_0}{2} \right)}{\text{tg} \left( \frac{\delta}{2} \right)} \approx \frac{\delta_0}{2} \frac{\delta}{2}.$$

30

So sánh công thức (10a) và (10), ta thu được

$$\delta = \delta_0 e^{-\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

(106)

Mặt khác, khoảng cách từ cực đến các điểm $A$ và $B$, có vĩ độ là $\delta_A$ và $\delta_B$, bằng với sự tương ứng $\rho_A = R \delta_A$, $\rho_B = R \delta_B$ (R là bán kính của quả địa cầu). (Khi viết các đẳng thức này, ta thay một phần của cung kinh tuyến bằng dây nối hai đầu của cung.) Khi đó từ (106) ta thu được:

$$\rho_B = \rho_A e^{-\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

(10v)

Chúng ta đã thu được đẳng thức này trong phụ trợ bài toán.

Loxodrome (10) mô tả hướng đi của một con tàu trên biển khơi, trong đó hướng chuyển động không đổi nên dễ dàng di chuyển trên đường đi. Tuy nhiên, đường đi dọc theo rhoxodrome, như chúng ta đã nói ở trên, không phải là đường đi ngắn nhất trên mặt cầu giữa hai điểm.

Đường trắc địa

Bây giờ chúng ta hãy thử tìm đường cong ngắn nhất giữa hai điểm trên quả bóng. Đường cong như vậy được gọi là đường trắc địa, nhưng nó không chỉ dành cho người khảo sát. Đường cong này cũng rất quan trọng đối với các thủy thủ, phi công và khách du lịch. Nếu chúng ta đơn giản hóa bài toán và chọn các điểm $A$ và $B$, nằm trên cùng một đường tròn vĩ độ $\varphi$, thì có vẻ như đường đi ngắn nhất giữa các điểm này là một cung của đường tròn vĩ độ. Tuy nhiên, đáp số này không chính xác. Để xác minh điều này, chúng ta hãy so sánh khoảng cách $S_1$ và $S_2$ giữa các điểm $A$ và $B$, được thay đổi dọc theo đường tròn vĩ độ ($S_1$) và dọc theo cung tròn lớn ($S_2$) (Hình 4). Nếu chênh lệch kinh độ của các điểm $A$ và $B$ là $\lambda$, thì

$$S_1 = R \lambda \cos \varphi,$$

$$S_2 = RC,$$

trong đó $C$ là số đo radian của cung $S_2$.

Có thể chứng minh rằng độ lớn của cung $C$ (tính bằng radian) bằng

$$C = \arccos \left[ \cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \right],$$

ở đâu $\varphi' = \frac{\pi}{2} - \varphi$. (Điều này được chứng minh ở Phụ lục II.)

Chứng minh rằng độ dài cung của đường tròn lớn $S_2$ không lớn hơn độ dài cung của đường tròn vĩ độ $S_1$ ($S_2 \leq S_1$), tức là ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:

$$R \arccos \left[ \cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \right] \leq R \lambda \sin \varphi'.$$

(14)

Đẳng thức (14) chỉ trả về cho $\varphi' = 90^\circ$ hoặc $\varphi = 0$, tức là khi đường tròn vĩ độ trùng với đường tròn lớn.

Cả hai vế của bất đẳng thức (14) đều dương. Chúng ta sẽ giả sử rằng sự khác biệt về kinh độ giữa các điểm $A$ và $B$ nằm trong khoảng $0 \leq \lambda \leq \pi$. Với $0 \leq \lambda \leq \pi$ cos $\lambda$ là hàm giảm.

31

Từ bất đẳng thức (14) suy ra bất đẳng thức sau:

$$\cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \geq \cos (\lambda \sin \varphi').$$

Sử dụng đẳng thức $\cos \lambda = 1 - 2 \sin^2 \frac{\lambda}{2}$, chúng ta rút gọn bất đẳng thức (15) về dạng

$$\sin^2 \varphi' \sin^2 \frac{\lambda}{2} \leq \sin^2 \left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right).$$

Nhân và chia bất đẳng thức này với giá trị dương $\left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right)^2$, ta thu được:

$$\left( \frac{\sin \frac{\lambda}{2}}{\frac{\lambda}{2}} \right)^2 \leq \left( \frac{\sin \left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right)}{\frac{\lambda}{2} \sin \varphi'} \right)^2.$$

Nếu bây giờ chúng ta xây dựng đồ thị của hàm $y = \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$ bằng bảng lượng giác, chúng ta sẽ thấy hàm này tăng đơn điệu từ $y = \left( \frac{2}{\pi} \right)^2 < 1$ lên 1 khi $x$ giảm từ $\frac{\pi}{2}$ xuống 0. Vì $\frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \leq \frac{\lambda}{2}$ nên bất đẳng thức (17) luôn được thỏa mãn, nghĩa là bất đẳng thức ban đầu (14) cũng được thỏa mãn. Do đó, cung của đường tròn lớn ngắn hơn các đường tròn vĩ độ khác nối hai điểm giống nhau.

Có thể chứng minh rằng ngay cả với vị trí tùy ý của hai điểm trên một Sharra, khoảng cách ngắn nhất giữa chúng được xác định bởi cung của một đường tròn lớn đi qua các điểm này. Nói cách khác, đường trắc địa trên quả bóng là cung của một đường tròn lớn.

Tuy nhiên, rất khó định hướng khi di chuyển dọc theo một cung tròn lớn - góc $\alpha$ giữa hướng chuyển động và kinh tuyến luôn thay đổi.

Vì vậy, đường rhoxodrome và đường vòng lớn đều có những ưu điểm và nhược điểm. Khi lựa chọn giữa các đường đi này, chúng thường hoạt động giống như khi di chuyển dọc theo một mặt phẳng, khi các chuyển động cùng nhau dọc theo một đường cong mặt phẳng phức tạp phác thảo các đường đi dọc theo một đường đứt đoạn, tất cả các đỉnh của chúng đều nằm trên đường cong mong muốn.

Tương tự, khi di chuyển trên một hình cầu, một số điểm được đánh dấu trên cung tròn lớn nối điểm khởi hành và điểm đến, và từ điểm này sang điểm khác, người ta di chuyển dọc theo các hình thoi.

Phụ lục I

Thật thuận tiện khi mô tả một điểm trên hình cầu không phải theo vĩ độ $\varphi$ mà bằng một góc bổ sung $\varphi'$

$$\varphi' = 90^\circ - \varphi.$$

Sự tiện lợi của mô tả này là do hàm $ctg \left( \frac{90^\circ - \varphi}{2} \right)$ có một thuộc tính quan trọng. Hãy tính, sử dụng công thức tính tiếp tuyến của tổng hai góc, độ tăng của hàm này khi thay đổi $\varphi$:

$$ctg \left( \frac{90^\circ - \varphi}{2} \right) = tg \left( \frac{90^\circ + \varphi}{2} \right) = tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right);$$

32

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) =$$

$$= \frac{tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) + tg \frac{\Delta \varphi}{2}}{1 - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) tg \frac{\Delta \varphi}{2}} - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) =$$

$$= \frac{tg \frac{\Delta \varphi}{2}}{\cos^2 \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)} \cdot (I-3)$$

Sử dụng cùng một đẳng thức $\frac{1}{\cos \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)} = 2 \sin \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) \cos^{-1} \varphi$, ta thu được từ công thức

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{2 tg \frac{\Delta \varphi}{2} tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)}{\left[ 1 - tg \frac{\Delta \varphi}{2} tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) \right] \cos \varphi}.$$

(I-4)

Hãy xem xét trường hợp số gia $\Delta \varphi$ nhỏ, sao cho $|tg \frac{\Delta \varphi}{2}| \cdot |tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)| \ll 1$. Khi đó, giá trị trong công thức (I-4) có thể được coi là xấp xỉ bằng 1 và $tg \frac{\Delta \varphi}{2}$ có ​​thể được thay thế bằng $\frac{\Delta \varphi}{2}$. Khi đó từ (I-3) và (I-4) ta tìm được:

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi} \cdot tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right).$$

(I-5)

Công thức (I-5) cho thấy hàm $tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)$ thực sự có các thuộc tính quan trọng: các gia số nhỏ của hàm này tỷ lệ thuận với giá trị của chính hàm đó.

Hãy tìm hệ số tỷ lệ trong công thức (I-5). Vì bán kính của vòng tròn quay bằng

$$r = R \cos \varphi,$$

thì độ dài cung $ON$ là (xem Hình 3)

$$ON = R \theta \cos \varphi.$$

Ở đây $R$ là bán kính của hình cầu. Tương tự, độ dài cung $OA$ là

$$OA = R \Delta \varphi.$$

Vì góc $\angle AON = \frac{\pi}{2}$ trong một tam giác nên đối với tang của góc $\alpha$ ta có thể viết

$$tg \alpha = \frac{R \theta \cos \varphi}{R \Delta \varphi}.$$

Từ mối quan hệ này, $\frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi}$ được tìm thấy trong công thức (I-5):

$$\frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi} = \theta \text{ ctg } \alpha.$$