Viết lại bài toán

53

G. V. Dorofeev

Viết lại bài toán

Một trong những thiếu sót đáng kể trong quá trình ôn luyện toán cho học sinh, điều này thể hiện rất thường xuyên và rõ ràng trong các kỳ thi đầu vào đại học, là tính trực tiếp quá mức trong cách tiếp cận lời giải bài toán. Trong hầu hết các trường hợp, người nộp đơn bị ràng buộc với điều kiện này, với công thức bài toán này, rằng họ không đồng ý xem xét bài toán hơi khác một chút, mặt khác, cố gắng hình thành các điều kiện của nó theo các thuật ngữ khác, tóm lại, để tìm ra một phương pháp lời giải không nằm trên bề mặt.

Trong khi đó, việc phát triển lại bài toán, công thức của nó theo một cách mới thường làm sáng tỏ ý nghĩa thực sự của nó và là con đường trực tiếp đến lời giải. Hơn nữa, khả năng xem xét bài toán của ứng viên từ các góc độ khác nhau, theo các cách hiểu khác nhau, là một trong những dấu hiệu quan trọng nhất cho sự phát triển toán học (và thường là tổng quát) của người nộp đơn và là một trong những điều kiện để anh ta học cao hơn tại một trường đại học. Cần phải nhấn mạnh rằng những gì đã nói không chỉ liên quan đến toán học.

Tất nhiên, học sinh đủ thành thạo các kỹ thuật cơ bản, hay chính xác hơn là tự nhiên nhất để cải cách bài toán, vì những kỹ thuật này là một phần của thực tiễn chung ở trường. Vì vậy, hầu hết những người nộp đơn đều có khả năng giải cái gọi là “kỹ thuật” bài toán, nhưng cơ sở của lời giải là bài toán - một công thức cải cách điển hình: bài toán được đưa ra dưới dạng một tập hợp các điều kiện nhất định được viết bằng ngôn ngữ chung, “hàng ngày” và người giải, theo quy luật, sẽ rút ra một số phương trình, đôi khi là bất đẳng thức, nghĩa là dịch các điều kiện này sang ngôn ngữ toán học, sau đó bài toán có thể được giải bằng các nguyên tắc toán học thuần túy. Hãy nhớ, để so sánh, ở các lớp thấp hơn, những bài toán như vậy được giải trực tiếp, với lý luận khá tinh ranh, nhưng không có bất kỳ quan hệ đại số nào, và lời giải cũng khó nghĩ ra hơn nhiều.

Một ví dụ khác là lời giải hình học bài toán. Nếu bài toán có ​​thể được dịch sang ngôn ngữ của phương trình, nếu sự tương ứng giữa dữ liệu và các phần tử chưa biết của cấu hình hình học có thể dễ dàng viết ra, thì theo quy luật, bài toán có thể được giải mà không gặp khó khăn. Ngược lại, nếu cách tiếp cận bài toán này không thể áp dụng được thì nó có vẻ khó khăn hơn nhiều - bạn cần đưa ra những ý tưởng hình học thuần túy và đây lại là một vấn đề hoàn toàn khác - cùng với kỹ thuật tính toán, bạn cần có trực giác hình học tốt, hiểu biết về hình học và kiến ​​thức hình học tích cực hơn.

Việc định dạng lại bài toán có nghĩa là gì? Rõ ràng là, nói một cách chính xác, không thể đưa ra câu trả lời chính xác đáp số cho câu hỏi này. Nhưng số phận là điều kiện bài toán hình thành

54

được viết bằng ngôn ngữ khác, bằng những thuật ngữ khác, ít nhiều tương tự. Các kỹ thuật cải cách rất đa dạng đến mức gần như không thể liệt kê và mô tả chúng một cách hợp lý mà bạn chỉ có thể nắm vững chúng trong thực tế, giải đủ số lượng ví dụ.

Một trong những nguyên tắc quan trọng nhất của việc xây dựng lại bài toán, mà ứng dụng của nó, nói một cách đại khái, là khía cạnh thực tiễn, ứng dụng của toán học, là “dịch” một tình huống thực tế trong cuộc sống sang ngôn ngữ hình thức, sang ngôn ngữ của các phát biểu toán học chính xác. Trong thực hành toán ở trường, trong luyện thi đầu vào, việc “dịch” từ thành công thức, rút ​​gọn cũng thường xuyên xảy ra.

Vì vậy, để chứng minh phát biểu “hàm số $y = \cos x$ triệt tiêu trong khoảng $0 \leq x \leq \pi$” cần phải phát biểu lại thành “Cho trước: $0 \leq x_1 < x_2 \leq \pi$; chứng minh rằng $\cos x_1 > \cos x_2$”. Và định nghĩa phức tạp về “logarit của một số $N$ cơ số $a$ là một số $\alpha$ sao cho $a^\alpha = N$” được định dạng lại thành “$a^{\log_a N} = N$”, vì vậy chứng minh logarit cơ bản chỉ đơn giản là một ký hiệu hình thức của định nghĩa logarit. Và nếu tất cả những điều này được hiểu rõ, thì những câu hỏi “khó nhằn” như “Tại sao $(\sqrt{a})^2 = a?$”, “Tại sao tội lỗi (arcsin $x$) = $x$?” vân vân.

Mặt khác, “dịch ngược” cũng rất quan trọng - khả năng nhìn thấy trong một số bằng chứng về sự bình đẳng về hình thức biểu hiện phức tạp của nó. Ví dụ: đọc công thức $\sqrt[n]{a^m} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m$ dưới dạng phát biểu “$\left( \sqrt[n]{a} \right)^m$ là nghiệm bậc $n$ của $a^m$”, chúng ta ngay lập tức, bằng cách xác định nghiệm, chứng minh công thức này:

$$\left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = a^m.$$

Các công thức cơ bản của logarit có thể được chứng minh theo cách tương tự. Nói chung, tất cả các loại tính chất của hàm nghịch đảo - căn bậc, logarit, hàm lượng giác nghịch đảo - đều được chứng minh một cách chính xác bằng cách dịch các hàm “trực tiếp” tương ứng sang ngôn ngữ.

Hãy xem xét một vài ví dụ cho thấy tính hiệu quả của việc cải cách - đôi khi có tính định hướng, đôi khi bất ngờ.

Đầu tiên, một số bài toán liên quan đến tam thức bậc hai.

Bài toán 1. Tại điểm a nào thì nghiệm của phương trình $x^2 + ax + a = 0$ lớn hơn 1?

Hầu hết những người đăng ký lời giải điều này bài toán đều tận tâm tìm ra cội nguồn

$$x_1 = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4a}}{2},$$

$$x_2 = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 4a}}{2}$$

và giải hệ bất phương trình - đôi khi là hai ($D \geq 0, x_2 > 1$), nếu họ đồng ý rằng $x_2$ là nghiệm nhỏ hơn và chỉ cần nó lớn hơn 1 là đủ và thường là ba bất phương trình: $D \geq 0, x_1 > 1, x_2 > 1$.

Với sự hiện diện của sự bất bình đẳng về mặt kỹ thuật tốt lời giải, con đường này tất nhiên sẽ dẫn đến mục tiêu. Tuy nhiên, nếu bạn bước sang một bên một chút và áp dụng định lý Vieta, bạn sẽ thấy ngay rằng các giá trị bắt buộc của $a$ không tồn tại: tích $a$ của các nghiệm đó phải lớn hơn 1 và tổng của chúng $(-a)$ khi đó cũng sẽ dương.

Thật thú vị khi lưu ý rằng nếu trong bài toán này, chúng ta hỏi: với nghiệm nào a dương, thì rất nhiều thứ đồng ý áp dụng định lý Vieta - xét cho cùng, đây là ứng dụng tiêu chuẩn của nó!

55

Bài tập 2. Bất đẳng thức $1 < x \leq 2$ ngụ ý gì về bất đẳng thức $x^2 - 2ax + a < 0$?

Điều kiện bài toán rõ ràng có nghĩa là tam thức $f(x) = x^2 - 2ax + a$ âm trên đoạn $1 < x \leq 2$ và điều này tương đương với điều kiện là đoạn $1 < x \leq 2$ nằm giữa các nghiệm của tam thức này (vì hệ số $x^2$ là dương). Nhưng điều kiện cuối cùng tương đương với thực tế là các đầu của đoạn thẳng nằm giữa các nghiệm và cuối cùng, vẫn báo cáo rằng điều kiện này tương đương với hệ bất đẳng thức $f(1) \leq 0, f(2) < 0$, hoặc
$$\begin{cases} 1 - a \leq 0, \\ 4 - 3a < 0, \end{cases}$$
từ đâu $a > 4/3$.

Bài tập 3. Chứng minh rằng phương trình $f(x) = (x - a)(x - b) + (x - a)(x - c) + (x - b) \times (x - c) = 0$ với mọi $a, b$, c đều có nghiệm thực.

Không khó để tưởng tượng rằng “trực tiếp” lời giải của bài toán này - mở ngoặc và chứng minh rằng phân biệt của tam thức bậc hai thu được là dương - gắn liền với những khó khăn tính toán lớn và chúng ta sẽ lợi dụng thực tế là tam thức bậc hai (có hệ số dẫn đầu dương) có nghiệm thực khi và chỉ khi nó nhận giá trị âm hoặc 0 tại ít nhất một điểm. Điều tự nhiên là nhìn vào giá trị của nó tại các điểm $a, b, c$ - khi đó trong ba số hạng chỉ còn lại một số hạng.

chúng tôi có
$$f(c) = (c - a)(c - b);$$
dấu của tích thu được tùy thuộc vào vị trí tương đối của điểm $a, b, c$ trên trục số và tích này âm nếu $c$ nằm giữa $a$ và $b$. Nhưng một trong ba số này nằm giữa hai số còn lại và chúng ta nhận được lời giải: giả sử, để định nghĩa, $a \leq b \leq c$; rồi $f(b) = (b - a)(b - c) \leq 0$, và do đó tam thức nhận giá trị âm hoặc bằng 0 tại điểm $b$, và do đó có nghiệm thực.

Trong ba ví dụ được xem xét, điều kiện bài toán rõ ràng chứa một tam thức bậc hai, và do đó, công thức định dạng lại bài toán không quá xa so với điều kiện của nó. Hãy xem xét một vài ví dụ khác.

Nhiệm vụ 4 (MSU, Khoa Tâm lý học, 1969). Chứng minh rằng $x^2 + 19y^2 + 6z^2 - 8xy - 4xz + 12yz > 0$ nếu $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

Nỗ lực nhóm một cách ngẫu nhiên, không có định nghĩa, khó có thể dẫn đến thành công ở đây, nhưng chỉ cần thấy ở phía bên trái tam thức bình phương đối với $x$ (với “tham số” $y$ và $z$), và phương pháp nhóm trở nên hoàn toàn rõ ràng - cô lập một hình vuông hoàn chỉnh. Nếu chúng ta cũng lưu ý rằng sau phép biến đổi này, “thuật ngữ tự do” sẽ là tam thức bậc hai đối với $y$ (với “tham số” $z$), thì bài toán có thể được coi là đã được giải thực sự.

Vì vậy vế trái của phương trình có thể được viết lại thành
$$x - 4y - 2z)^2 + 3y^2 + 2z^2 - 4yz = (x - 4y - 2z)^2 + 3\left(y - \frac{2}{3}z\right)^2 + \frac{2}{3}z^2,$$
và do đó không âm đối với tất cả các giá trị của $x, y, z$.

Nó có thể bằng không? Điều này rõ ràng sẽ chỉ xảy ra khi cả ba số hạng đều bằng 0, nghĩa là khi các đẳng thức được thỏa mãn đồng thời.
$$x - 4y - 2z = 0, y - \frac{2}{3}z = 0, z = 0.$$

Nhưng từ những đẳng thức này ngay lập tức suy ra $x = y = z = 0$, mâu thuẫn với các điều kiện $x^2 + y^2 + z^2 > 0$. Như vậy, khẳng định đã được chứng minh hoàn toàn.

Nhiệm vụ 5 (MSU, khoa, 1972). Tại giá trị x thực nào
$$t = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{3} - \frac{x}{5}$$
lấy giá trị nhỏ nhất?

Trong những bài toán thuộc loại này, theo quy luật, đầu tiên dễ dàng tìm ra giá trị nhỏ nhất

56

trước tiên hãy xác định giá trị của một biểu thức đã cho, một hàm đã cho và chỉ sau đó là giá trị của đối số mà tại đó nó đạt được. Và đôi khi có thể tìm ra giá trị nhỏ nhất bằng cách giải bài toán tổng quát hơn - tìm toàn bộ phạm vi giá trị của hàm và lấy số nhỏ nhất trong đó.

Giá trị nhỏ nhất của hàm có thể được tìm thấy nếu bài toán được định dạng lại. Việc số $A$ thuộc phạm vi của hàm $y = f(x)$, xét về mặt phương trình cho thấy phương trình $f(x) = A$ có ít nhất một lời giải.

Trong bài toán này, trước hết chúng tôi lưu ý rằng hàm $t = t(x)$, được cho bởi công thức (1), lấy giá trị nhỏ nhất của nó cho cùng giá trị của đối số với hàm $s = 15 t(x)$ và để đơn giản hóa các phép tính, chúng tôi sẽ xem xét chính xác hàm

$$s = 5\sqrt{x^2 + 16} - 3x.$$

phương trình

$$5\sqrt{x^2 + 16} - 3x = A$$

hoặc

$$5\sqrt{x^2 + 16} = 3x + A$$

(2)

sau khi bình phương cả hai phần, nó trở thành phương trình

$$16x^2 - 6Ax + 400 - A^2 = 0.$$

Phương trình (2) có lời giải khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm $x$ thỏa mãn điều kiện $3x + A \geq 0$. Nhưng điều này tương đương với phân biệt của phương trình (3) không âm và nghiệm lớn hơn của phương trình (3) lớn hơn hoặc bằng $-A/3$. Vì vậy chúng ta đi đến một hệ thống có ít tên nhất

$$\begin{cases} 25A^2 - 6400 \geq 0 \\ 3A + \sqrt{25A^2 - 6400} \geq -\frac{A}{3}. \end{cases}$$

Hệ này có thể giải theo cách thông thường, cho kết quả $A \geq 16$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $A$ là 16 và giá trị của phương trình (3) có một nghiệm duy nhất $x = 3$, là nghiệm của phương trình (2). Do đó, giá trị nhỏ nhất của $y$ là $-4$ và đạt được

57

tại $x^2 - 7x = -8$, tức là tại hai điểm:

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}; \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}.$$

Bài toán 7 (MSU, Khoa Kinh tế, 1973).

Đồ thị của hàm số $y = \frac{2+x}{x}$ cắt nhau tại hai điểm có đường thẳng tạo thành một góc $\alpha$ với trục x. Tên hình học giữa độ dài các đoạn nối gốc tọa độ với hình chiếu các giao điểm trên trục Ox.

Trong bài toán này, điều quan trọng nhất là khái niệm chính xác về tình trạng của nó và diễn đạt nó bằng ngôn ngữ công thức.

Đồ thị của hàm $y = 1 + 2/x$ là một hyperbol (đồ thị!). Do đó, đường thẳng được đề cập trong điều kiện bài toán nghiêng (tức là $\alpha \neq \pi/2, \alpha \neq 0$) và hyperbol này không thể giao nhau với đường thẳng đứng hoặc nằm ngang tại hai điểm. Nói cách khác, phương trình đường thẳng có dạng

$$y = x \mathrm{tg} \alpha + b,$$

$\mathrm{tg} \alpha \neq 0$. Việc một hyperbol và một đường thẳng cắt nhau tại hai điểm có nghĩa là phương trình

$$\frac{2+x}{x} = x \mathrm{tg} \alpha + b,$$

hoặc, giống nhau, phương trình $x^2 + x (b - 1) \mathrm{tg} \alpha - 2 \mathrm{tg} \alpha = 0$ (4) có hai nghiệm thực khác nhau (vì $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình (4)). Trong điều kiện bài toán người ta cho rằng thực tế này xảy ra.

Nếu các nghiệm của phương trình (4) được ký hiệu là $x_1$ và $x_2$ thì độ dài của các đoạn nối gốc tọa độ với hình chiếu giao điểm của đường thẳng và hyperbol trên trục Ox sẽ bằng $|x_1|$ và $|x_2|$ tương ứng. Vì vậy ta cần tính các đại lượng

$$\sqrt{|x_1| \cdot |x_2|} = \sqrt{|x_1 x_2|},$$

trong đó $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình (4). Và điều này rất dễ thực hiện bằng cách sử dụng định lý Vieta:

$$\sqrt{|x_1 x_2|} = \sqrt{2 |\mathrm{ctg} \alpha|}.$$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ không liên quan đến tam thức bậc hai.

Trong một số ví dụ liên quan đến mô hình số thực và số phức, việc giải thích hình học của mô hình mang lại sự hỗ trợ đáng kể: $|x - y|$ là khoảng cách giữa các điểm tạo thành số phức và đặc biệt là các số thực $x$ và $y$.

Bài toán 8. Giải phương trình $|x + 2| + |x - 3| = 5$ ($x - \text{дейстимелевое число}$).

Trong ngôn ngữ hình học, một bài toán cho trước có thể được hình thành như sau: tìm tất cả các điểm trên trục số có tổng khoảng cách đến các điểm $-2$ và $3$ bằng 5. Cách dịch này ngay lập tức giải được bài toán: trên thực tế, bất kỳ điểm nào trên đoạn $-2 \leq x \leq 3$ đều có thuộc tính này và đối với bất kỳ điểm nào bên ngoài đoạn đó, tổng khoảng cách đều lớn hơn 5.

Do đó, các nghiệm của phương trình này đều là $x$ từ đoạn $-2 \leq x \leq 3$.

Bài toán 9. Giải bất đẳng thức $\left| \frac{2x - 3}{2x + 5} \right| > 1$.

Sử dụng thuộc tính của mô hình $\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}$, chúng ta viết lại các bất đẳng thức này dưới dạng $|2x - 3| > |2x + 5|$, $2x + 5 \neq 0$ và xây dựng công thức bài toán như sau: tìm các điểm $x$ mà $2x$ gần với $-5$ hơn $k = 3$ và $x \neq -2, 5$. Điều kiện này bằng với thực tế là $2x < -1$, $x \neq -2, 5$, tức là $x < -2, 5$; $-2, 5 < x < 0, 5$. Đây là lời giải của bất đẳng thức này.

Bài toán 10. Nơi trên mặt phẳng phức có các điểm $M$ mà tổng bình phương khoảng cách

58

đến số điểm đã cho $A = (1, 0)$ và $B = (0, 1)$ bằng 2? Sau khi hoàn thành tam giác $AMB$ thành hình bình hành $AMBN$, chúng ta áp dụng mối quan hệ nổi tiếng nối độ dài của cạnh và các đường chéo của hình bình hành:
$$AB^2 + MN^2 = 2AM^2 + 2MB^2 = 4.$$
Do đó, $MN^2 = 4 - AB^2$, và vì trong trường hợp của chúng ta là $AB^2 = 2$, thì $MN = \sqrt{2}$, và do đó các điểm $M$ nằm trên một đường tròn bán kính $\frac{1}{2}MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ với tâm ở giữa đoạn $AB$.

Cuối cùng, hãy xem một vài ví dụ: lời giải trong đó việc cải cách đóng vai trò quan trọng.

Bài toán 11 (MSU, Khoa Tâm lý học, 1971). Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho
$$\min \{2x - x^2, x - 1\} > -\frac{1}{2}.$$
Việc sử dụng bài toán trong công thức biểu thức $A = \min \{2x - x^2, x - 1\}$, như đã biết, được hiểu theo nghĩa sau: với mọi cố định $x = x_0$ A có nghĩa là số nhỏ hơn trong hai số $2x_0 - x_0^2$ và $x_0 - 1$.

“Trực tiếp” lời giải của bài toán này yêu cầu xem xét hai sự hợp nhất: $2x - x^2 \leq x - 1$ và $x - 1 < 2x - x^2$. Tại mỗi lần hợp nhất này, sẽ cần phải giải bất đẳng thức bậc hai và ánh xạ nó tới lời giải thỏa mãn $2x - x^2 > -1/2$ và $x - 1 > -1/2$ tương ứng.

Trong khi đó, không khó để nói rằng giá trị nhỏ nhất của hai biểu thức lớn hơn $-1/2$ trong trường hợp các biểu thức này lớn hơn $-1/2$, và do đó, điều kiện bài toán tương đương với hệ bất đẳng thức
$$\begin{cases} 2x - x^2 > -\frac{1}{2}, \\ x - 1 > -\frac{1}{2}, \end{cases}$$
lời giải điều này có vẻ không khó. Kết quả là đáp số: $\frac{1}{2} < x < \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$.

Bài toán 12 (MSU, Khoa Tâm lý học, 1972). Tìm tất cả các bất đẳng thức số nguyên lời giải
$$x - 1 < \log_6 (x + 3).$$
Bất đẳng thức ODZ chỉ bao gồm $x > -3$ và có thể dễ dàng xác minh vô thời hạn rằng các số $-2, -1, 0$ và 1 là nghiệm của nó. Thay thế các giá trị nguyên sau $x$, chúng ta thấy rằng chúng không phải là nghiệm và dễ dàng nhận thấy rằng “càng xa, càng tệ” - khi $x$ tăng, chênh lệch giữa vế trái và vế phải của phương trình là bằng nhau. Vì vậy, tất cả những gì còn lại là chứng minh tuyên bố này một cách chặt chẽ.

Nói cách khác, chúng ta có bài toán sau: chứng minh rằng hàm số
$$f(x) = x - \log_6 (x + 3)$$ - quay trở lại. Bài toán Tuy nhiên, điều này khá khó khăn mà chúng ta chỉ quan tâm đến các giá trị nguyên của đối số nên chúng ta chỉ cần đảm bảo rằng hàm này trả về khi tăng lên 1. Chúng ta có
$$f(x + 1) - f(x) = (x + 1) - \log_6 (x + 4) - x + \log_6 (x + 3) = \log_6 \frac{x + 3}{x + 4} + 1,$$
do đó, bất đẳng thức $f(x + 1) - f(x) > 0$ tương đương với bất đẳng thức $\frac{x + 3}{x + 4} > \frac{1}{6}$, mà, như dễ thấy, rõ ràng được thỏa mãn với dương $x$.

Do đó, bất đẳng thức của chúng ta không đúng với bất kỳ số nguyên $x$ nào lớn hơn 1 và các giá trị thu được ở trên là nghiệm của bài toán.

Bài toán 13. Tìm tổng các hệ số của đa thức
$$(x^3 + 2x - 8)^{73} (x^2 - 4x + 3)^{37},$$
thu được sau khi mở dấu ngoặc đơn.

Ở đây hoàn toàn rõ ràng rằng việc tính tổng các hệ số “trong bất kỳ” là một vấn đề vô vọng, và khả năng duy nhất là báo cáo rằng tổng các hệ số của một đa thức có thể đạt được nếu

59

thay thế 1 vào đa thức với nhau $x$.
Và điều này có thể được thực hiện mà không cần mở dấu ngoặc đơn trong đa thức này: tại $x = 1$ chúng ta nhận được 0, do đó tổng các hệ số của đa thức này bằng 0.

Bài toán 14. Chứng minh đẳng thức
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{199} - \frac{1}{200} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200}.$$
Không khó để nhận ra rằng con số 200 không “nổi bật” đến mức chỉ có thể tìm thấy một đẳng thức tao nhã như vậy trong tên gọi của nó, và do đó người ta có thể nghi ngờ rằng đẳng thức này có tính chất phổ quát hơn. Vì vậy, chúng ta có thể đưa ra giả thuyết rằng với bốn REM $n = 2k$ bất kỳ thì đẳng thức là đúng
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \dots + \frac{1}{2k}.$$
Thật vậy, đẳng thức này đúng và không khó chứng minh bằng quy nạp.

Có một người phụ nữ

1. Với những giá trị nào của $a$ thì một trong các nghiệm của phương trình $x^2 - 2ax - a = 0$ lớn hơn 1 và giá trị còn lại nhỏ hơn 1?

2. Chứng minh rằng nếu đúng một trong các số $c$, $d$ nằm giữa các số $a$, $b$ thì phương trình $(x-a)(x-b) + \alpha(x-c)(x-d) = 0$ với mọi $\alpha$ đều có nghiệm thực.

3. Giả sử phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ không có nghiệm thực và $a+b+c < 0$. Tìm dấu của số $c$.

4. Đường thẳng $y = 2$ có cắt đồ thị của hàm $y = \frac{x+1}{x^2-2x+3}$ không?

5. Tìm phạm vi giá trị của hàm $y = \frac{2x-3}{x^2+2x+2}$.

6. Chứng minh rằng nếu biểu thức $\frac{4}{x^2+ax-3a+1}$ không bằng -2 với mọi giá trị của $x$ thì $a > -13$ ($x, a$ là số thực).

7. Vì sao $a$ mà các parabol $y = x^2 + ax - a$ và $y = 2x^2 - x + a$ không có điểm chung?

8. (MSU, Khoa Tâm lý học, 1969). Chứng minh rằng $2x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 6xy - 2xz + 5yz > 0$ nếu $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

9. (UDN, 1973). Tìm tất cả các giá trị thực của $x, y, z$ thỏa mãn phương trình $2x^2 + y^2 + 2z^2 - 2xy + 2xz - 2xz + 1 = 0$.

10. (MSU, Khoa Kinh tế, 1969). Tại giá trị thực nào $x$ thì biểu thức $\frac{2x-1}{2x-x^2-4}$ có giá trị nhỏ nhất?

11. (MSU, ngữ văn. khoa, 1972). Tại điểm dương $x$ thì biểu thức $2x + \frac{3}{8} + \frac{1}{x+1}$ có giá trị nhỏ nhất?

12. (MSU, Khoa Kinh tế, 1973). Đồ thị của hàm số $y = 2x^2 - x$ cắt nhau tại hai điểm có đường nghiêng đi qua điểm trục $y$ với tọa độ $b$. Tìm giá trị trung bình hình học giữa độ dài của các đoạn nối gốc tọa độ với hình chiếu của các điểm giao nhau trên trục hoành.

13. (MSU, Khoa Kinh tế, 1973). Đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{1-x}$ cắt nhau tại hai điểm có đường nghiêng đi qua điểm trục $x$ với hoành độ $a$. Tính hoành độ của trung điểm đoạn nối hình chiếu của các giao điểm trên trục $x$.

14. (MSU, cơ chế, 1963). Giải phương trình $|x^2 - 4| + |x^2 - 9| = 5$.

15. (MSU, Khoa Toán tính toán và Điều khiển học, 1970). Giải phương trình $|4 + \log_{1/7}x| = 2 + |2 + \log_{1/7}x|$.

16. (MSU, Khoa Tâm lý học, 1971). Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà $\min \left\{1 - x^2, \frac{1-x}{2}\right\} > \frac{1}{2}$.

17. (MSU, Khoa Tâm lý học, 1972). Tìm tất cả các bất đẳng thức số nguyên lời giải
    $$2x + 1 < 2\log_2(x + 3).$$

18. Chứng minh bất đẳng thức
    $$1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 1973 < 987^{1973}.$$

19. Theo đồ thị cứng nhắc của hàm $y = \log_2 x$ quả bóng lăn. Nó sẽ nán lại giữa trục tọa độ cứng và đồ thị đã cho hay nó sẽ rơi vào vô cùng? Câu hỏi tương tự cho hàm $y = \log_2 (x - 0,01)$ và $y = \log_2 (x + 0,01)$.