Hành trình bất thường

22

Vì lý do nào đó mà mọi người đều cho rằng lực hấp dẫn không thể bị suy yếu. Hóa ra điều này rất dễ thực hiện. Hãy tưởng tượng rằng hai quả bóng lớn giống hệt nhau được gắn trên một thanh cứng, nhẹ và dài. Khi các quả bóng được đưa lại gần nhau và ở khoảng cách $R$ tính từ tâm Trái đất, chúng sẽ được gắn vào Trái đất với một lực $F$. Hãy mở rộng các quả bóng, giữ nguyên khoảng cách từ chúng đến tâm Trái đất; bây giờ mỗi quả bóng phải chịu một lực bằng $\frac{F}{2}$ (Hình 1). Nhưng các lực này hướng về tâm Trái đất, tức là hợp với nhau một góc nhất định $\alpha$! Điều này có nghĩa là lực tạo ra là $F_p = F \cos \frac{\alpha}{2}$. Quả tạ uốn cong xuống yếu hơn một điểm vật chất có cùng khối lượng.

Tất nhiên, nó không tạo ra bất kỳ sự suy yếu nào của lực hấp dẫn. Vấn đề là giá trị tương đương của lực hấp dẫn tác dụng lên các hạt cấu tạo nên vật thể không bằng tổng số học của các lực này. Một vật có khối lượng $m$ trong trường hấp dẫn chỉ có thể được coi là một điểm vật chất có cùng khối lượng nếu nó đồng nhất và hình cầu. Khi đó lực tác dụng lên một điểm vật chất đặt ở tâm của quả bóng đó bằng lực tác dụng lên vật. Tuy nhiên, khi nghiên cứu chuyển động của một vật trong trường hấp dẫn, người ta thường xét các lực tác dụng lên một điểm vật chất. Điều này có thể được thực hiện

Cơm. 1.

23

Giả sử rằng khi chuyển động trên quỹ đạo quanh Trái đất, các bộ phận của con tàu giãn nở và dịch chuyển sao cho góc α không đổi (Hình 2).
(Để duy trì một góc α nhất định, cần phải điều khiển cụ thể hướng của con tàu chứ không chỉ sự dịch chuyển và giãn nở của bộ phận nó.) Khi đó lực tác dụng lên quả tạ trong toàn bộ quỹ đạo khác với lực tác dụng lên một điểm vật chất có cùng khối lượng bởi hệ số không đổi $\cos \frac{\alpha}{2}$. Nói cách khác, đối với một quả tạ, lực căng đối với Trái đất không phải là $\gamma \frac{mM}{R^2}$, mà là $\gamma' \frac{mM}{R^2}$, trong đó $\gamma' = \gamma \cos \frac{\alpha}{2}$. Ở đây $\gamma$ là hằng số hấp dẫn, $m$ là khối lượng của quả tạ, $M$ là khối lượng Trái đất, $R$ là khoảng cách đến tâm Trái đất.

Kích thước của tàu còn nhỏ so với khoảng cách $R$ nên góc α khá nhỏ, tức là giá trị $\cos \frac{\alpha}{2}$ gần bằng 1. Tất cả các định luật vật lý có giá trị đối với một điểm vật chất trong trường hấp dẫn của Trái đất cũng có giá trị đối với con tàu của chúng ta; chỉ cần thay hằng số hấp dẫn $\gamma$ bằng $\gamma'$ ở mọi nơi. Như vậy, thế năng của một quả tạ trong trường hấp dẫn của Trái đất sẽ bằng $\gamma' \frac{mM}{R}$.

Trong trường hợp của chúng tôi, tất cả các định luật Kepler cũng được thỏa mãn. Đặc biệt, quỹ đạo của tàu vũ trụ phải là một hình elip, với Trái đất là một trong các tiêu điểm của nó.

Hãy để con tàu của chúng ta di chuyển theo quỹ đạo với những quả bóng ép vào nhau. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhanh chóng mở rộng các quả bóng theo một góc α ở góc độ *)? Hằng số hấp dẫn sẽ thay đổi $\cos \frac{\alpha}{2}$ lần và thế năng của tàu cũng sẽ giảm. Điều này có nghĩa là động năng của nó sẽ tăng lên. Con tàu sẽ được đưa vào một quỹ đạo mới, cũng là hình elip nhưng lớn hơn một chút. Vì $\gamma'$ vẫn khác rất ít so với $\gamma$, nên ở điểm cực đại, nó cũng sẽ di chuyển ra xa Trái đất một chút và ở điểm cận điểm, nó sẽ quay trở lại vị trí cũ.

Để chọn chiến thuật phù hợp khi rời khỏi quỹ đạo, hãy cùng tìm hiểu xem tốc độ thay đổi như thế nào khi di chuyển trên quỹ đạo. Trong nửa đầu của hình elip, từ điểm cận vị đến điểm viễn thị (Hình 3), lực căng hướng một góc tù với tốc độ, do đó tốc độ giảm độ lớn. Từ viễn điểm đến cận điểm, tốc độ luôn tăng vì lực căng hướng một góc nhọn so với tốc độ. Trên một nửa hình elip, lực hấp dẫn làm con tàu chậm lại, mặt khác làm nó tăng tốc và công vào gia tốc và phanh có độ lớn bằng nhau.

*) Perigee là một điểm trên quỹ đạo gần Trái đất. Apogee là điểm xa nhất trên quỹ đạo so với Trái đất.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

25

Từ đây

$$v_0 + V_0 = \frac{2\gamma' M}{v}.$$

Chúng ta hãy biểu thị $2\frac{\gamma' M}{v}$ bằng $w'$, sau đó là $v_0 + V_0 = w'$. (1)

Theo cách hoàn toàn tương tự, khi chuyển từ điểm viễn $A_0$ đến điểm cận điểm $\Pi_1$ ta thu được $V_0 + v_1 = w$, (2)

ở đâu $w = \frac{2\gamma M}{v}$. Từ đẳng thức (1) và (2) suy ra rằng

$$v_1 - v_0 = w - w'.$$

Điều này có nghĩa là trong một vòng quay quanh Trái đất, tốc độ tăng một lượng không đổi $w - w'$.

Bây giờ không khó để xây dựng đồ thị về sự phụ thuộc của vận tốc và khoảng cách tại điểm cận vị và điểm cực đại vào số vòng quay $n$ (Hình 5, a, b).

Sau $n$ vòng quay

$$v = v_0 + n(w - w')$$

$$V = V_0 - n(w - w')$$

$$r = \frac{v}{v_0 + n(w - w')},$$

$$R = \frac{v}{V_0 - n(w - w')}.$$

Từ việc phân tích những sự phụ thuộc này, có thể thấy rõ rằng tại thời điểm tốc độ ở cận điểm vượt quá $w'$, con tàu của chúng ta sẽ không quay trở lại Trái đất nữa.

Tốc độ này là bao nhiêu $v = w'$? Ở cận điểm $w' = 2\gamma' \frac{M}{v}$. Hãy thay thế $v = rv$. Chúng ta nhận được $v = 2\gamma' \frac{M}{rv}$, từ đó $v = \sqrt{\frac{2\gamma' M}{r}}$. Điều này có nghĩa là $v = w'$ là vận tốc thoát thứ hai ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái đất. Bây giờ ý nghĩa của $w$ và $w'$ đã trở nên rõ ràng - đây là vận tốc vũ trụ thứ hai của $y$ và $y'$ tại một xung lượng góc nhất định $L = mv$.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về mức độ thực tế của một con tàu vũ trụ như vậy. Nếu nó có chiều dài $l$ trong quỹ đạo có bán kính $R$ thì $\alpha \approx \frac{l}{R}$.

Sau đó, đối với $\alpha$ cos$\frac{\alpha}{2} \approx 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2$ nhỏ, chúng ta thu được hiệu tương đối của lực hấp dẫn $\frac{\gamma - \gamma'}{\gamma} \approx \frac{l^2}{8R^2}$. Đối với một con tàu dài khoảng 20 m ở quỹ đạo có bán kính khoảng 10.000 km, độ suy yếu tương đối của trọng lực chỉ là $0,5 \cdot 10^{-12}$. Nhưng đối với một con tàu dài khoảng 200 km, hiệu suất đã rất đáng kể - $0,5 \cdot 10^{-4}$. Một con tàu như vậy cần hơn một năm để rời khỏi Trái đất.

Điều thú vị là bán kính quỹ đạo càng nhỏ thì tàu sẽ rời Trái đất càng nhanh. Rốt cuộc, đồng thời nó sẽ có thời gian để thực hiện một số lượng lớn vòng quay và bắt đầu ở tốc độ cao hơn. Lực kéo của tàu càng mạnh thì nó càng trôi đi nhanh hơn. Theo tính toán của V.V. Beletsky, ở khoảng cách hai mươi nghìn km tính từ tâm ngôi sao siêu đặc Sirius B, một con tàu vũ trụ dài 200 km có thể rời đi chỉ trong một tiếng rưỡi.