Bài toán

61

Nhiệm vụ

1. Trường học tám lớp được xây dựng ở Sheregga. Trước mặt mỗi người là một học sinh lớp bảy thấp hơn. Chứng minh rằng nếu xếp hàng học sinh lớp 7 và lớp 8 theo chiều cao thì mỗi học sinh lớp 8 vẫn cao hơn học sinh lớp 7 đứng trước mặt.

2. Cậu bé bắt được một con cá dưới sông. Anh ta ngay lập tức muốn ít nhất xác định được khối lượng của con cá này. Làm sao anh ta có thể làm được điều này nếu anh ta có một chiếc cần câu dẹt, chắc chắn và trong đồ dùng của mình anh ta tìm thấy một ổ bánh mì nặng 1 kcal?

3. Chứng minh rằng $n^2 + n + 1$ không chia hết cho 1974 với mọi số nguyên $n$.

4. Hành lang dài có hệ thống dây điện. Một người đàn ông từ đầu hành lang đi vào bật đèn lên, đi qua hành lang liền tắt đèn. Sơ đồ nối dây là gì nếu bóng đèn có thể bật và tắt từ các đầu chung của hành lang?

5. Cho một bàn cờ có kích thước $100 \times 100$ ô. Chúng ta gọi hai ô liền kề nếu chúng có một cạnh chung. Các ô của bảng này chứa các số nguyên, các số ở các ô liền kề khác nhau không quá 20. Chứng minh rằng có ba số giống nhau trên bảng.

6. Có một quả cầu nhôm có thể tích $20 \text{ cm}^3$ và khối lượng $18 \text{ g}$. Làm thế nào để xác định nó là chất rắn hay có khoang khí bên trong?

Có cách nào để biết khoang này nằm ở tâm quả bóng hay gần bề mặt của nó không?

Bản vẽ của E. Nazarov