Có bằng chứng nào khác không?

62

Có bằng chứng nào khác không?
V. K. Smyshlyaev, A. P. Savin

Nếu bạn hỏi một người đã tốt nghiệp trung học đã lâu liệu anh ta có nhớ định lý Pythagore hay không, thì phần lớn câu trả lời đáp số sẽ là: “Nhưng tất nhiên! Trong một tam giác vuông, tổng bình phương của hai chân bằng bình phương cạnh huyền.” Các định lý khác bị lãng quên, nhưng định lý này thì không. Cô ấy sinh ra chúng ta với vẻ đẹp và sự duyên dáng của mình và lưu lại trong ký ức của chúng ta rất lâu.

Nhưng không phải ai cũng có thể nhớ cách chứng minh định lý này, và nếu có, thì đó sẽ không phải là chứng minh từ sách giáo khoa của Kiselev, thuộc về Euclid, mà là một chứng minh nào đó thanh lịch hơn, chẳng hạn như của Ấn Độ, bao gồm một hình vẽ (Hình 1) và chữ ký “cái nhìn”.

Chứng minh cũng rất hay, dựa trên định lý về cát tuyến và tiếp tuyến vẽ đường tròn từ một điểm (Hình 2). Theo định lý đã đề cập, $AB^2 = AC \cdot AD$ hoặc $a^2 = (c + b)(c - b)$, tức là $a^2 + b^2 = c^2$.

Có rất nhiều cách chứng minh định lý Pythagore. Trở lại năm 1876, Yu. Cuốn sách “Bốn mươi lăm cách chứng minh định lý Pythagore” của F. Vipper được xuất bản ở Moscow. Tất nhiên, nó đã là một tài liệu hiếm có về mặt thư mục, nhưng cuốn sách “Định lý Pythagore” của W. Litzman (Moscow, Fizmatgiz, 1960) vẫn không quá khó tìm. Nó chứa một bộ sưu tập khá đầy đủ các cách chứng minh khác nhau của định lý này. Và tất nhiên, chúng tôi khuyên bạn nên xem bài viết của V.N. Berezin “Định lý Pythagore”, «Kvant», 1972, Số 3, và một ghi chú rõ ràng trong «Kvant» Số 7 cho năm 1974.

Định lý Pythagore có phải là duy nhất xét về số lượng chứng minh phong phú của nó không? Hóa ra là không. Rất nhiều định lý cơ bản được khám phá theo hàng chục cách.

Điều gì gây ra điều này? Tại sao các nhà toán học lại bác bỏ những sự thật đã được biết đến? Theo chúng tôi, có thể phân biệt ba nguyên tắc chính.

63

Đầu tiên là sư phạm. Nói chung, những cách chứng minh đầu tiên của các định lý đều mang tính ngữ pháp và vụng về, nhưng sau đó, khi người ta biết rằng thực tế này là đúng, những chứng minh mới, ngắn hơn và tao nhã hơn, dễ hiểu hơn và trực quan hơn lại xuất hiện.

Lý do thứ hai là mong muốn thiết lập mối liên hệ giữa định lý này với các sự kiện đã biết khác, xác định vị trí của nó trong cấu trúc phức tạp gọi là toán học. Một ví dụ về điều này là mối liên hệ mà chúng tôi đã phát hiện ra giữa định lý tiếp tuyến và cát tuyến với định lý Pythagore.

Và lý do thứ ba là việc phát hiện ra những sự thật mới, mà định lý này là một hệ quả rất quan trọng.

Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ như vậy ở cuối bài viết. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số cách chứng minh khác, không có quá nhiều dấu hiệu của định lý.

Giả sử $M$ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác hình học $ABC$. Khi đó độ dài của đoạn lớn nhất $MA, MB, MC$ bằng tổng độ dài của hai đoạn còn lại.

Hãy để chúng tôi trình bày một hình học khá thanh lịch lời giải. Cụ thể, đặt $MA$ là đoạn lớn nhất trong số các đoạn được chỉ định (Hình 3). Chúng ta hãy vẽ đoạn $MD = MB$ từ điểm $M$. Tiếp theo, chúng ta lưu ý rằng góc $AMB$ bằng $60^\circ$, dựa trên cùng một cung với góc $ACB$. Theo đó, tam giác $BMD$ là đều, sau đó không khó để chứng minh rằng các tam giác $ABD$ và $BMC$ bằng nhau, và do đó $MA = AD + DM = MC + MB$.

Đây là bằng chứng lượng giác. Chúng ta hãy biểu thị độ dài cạnh $ABC$ của tam giác bằng $a$ và góc $BAM$ bằng $\alpha$. Chúng ta hãy biểu thị các phân đoạn được chỉ định theo $a$ và $\alpha$ bằng cách sử dụng định lý sin:

$$MB = \frac{a \sin \alpha}{\sin 60^\circ}, \quad MC = \frac{a \sin(60^\circ - \alpha)}{\sin 60^\circ},$$

$$MA = \frac{a \sin(60^\circ + \alpha)}{\sin 60^\circ}.$$

Hãy tìm tổng của $MB$ và $MC$:

$$MB + MC = \frac{a}{\sin 60^\circ} \times (\sin \alpha + \sin(60^\circ - \alpha)) = \frac{a \cos(30^\circ - \alpha)}{\sin 60^\circ} = \frac{a \sin(\alpha + 60^\circ)}{\sin 60^\circ}.$$

So sánh kết quả thu được với giá trị $MA$, ta thu được phát biểu của định lý.

Lưu ý rằng lượng giác là một công cụ rất mạnh cho lời giải hình học bài toán và công dụng của nó là chuyển bài toán từ hình học sang đại số.

Và một lưu ý nữa. Bộ máy lượng giác dựa trên một số định lý hình học, do đó việc chứng minh các định lý đó bằng phép đo lượng giác là bất hợp pháp. Ví dụ, “chứng minh” của định lý Pythian

64

núi: $a = c \sin \alpha, b = c \cos \alpha$, từ đó $a^2 + b^2 = c^2$ ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = c^2$, không thể được công nhận là bằng chứng, vì bản thân danh tính $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ đã chứng minh bằng cách sử dụng định lý Pythagore.

Chúng ta hãy đưa ra một bằng chứng nữa cho định lý của mình, dựa trên định lý Ptolemy: tích các đường chéo của một đệm yên nội tiếp bằng tổng tích các cạnh đối diện của đệm yên nội tiếp.

Chúng ta hãy áp dụng định lý này cho tứ giác $ABMC$. Khi đó chúng ta có: $MA \times BC = MB \cdot AC + MC \cdot AB$, và, vì $AB = BC = AC$, nên $MA = MB + MC$.

Để kết luận, chúng tôi nhắc lại: để chứng minh một định lý, hãy nghĩ xem liệu có bằng chứng nào khác hay không. Cách tiếp cận này sẽ giúp hệ thống hóa kiến ​​thức toán học của bạn, giúp bạn tìm kiếm các cách tiếp cận khác nhau cho lời giải bài toán và tìm ra cách tự nhiên và hiệu quả nhất trong số đó. Và, tin tôi đi, bạn sẽ cảm thấy vô cùng hài lòng khi nhận được một bằng chứng đẹp và nguyên bản. Đây là nơi toán học tiếp xúc chặt chẽ với nghệ thuật.

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

Đến nhiệm vụ «Kvant»
dành cho học sinh nhỏ tuổi"
(xem «Kvant», 1974, số 7)

1. Biểu thị hai số đầu tiên ở hàng đầu tiên của hình vuông bằng $a$ và $b$, số đầu tiên ở hàng thứ hai bằng $c$ và tổng của bình phương từ tính bằng $s$. Sau đó, bạn có thể tìm tất cả các số khác trong hình vuông và chứng minh rằng $s$ chia hết cho 3.

2. Đất sét nhiễm từ có thể đẩy nam châm, nhưng đất sét không nhiễm từ luôn uốn cong.

3. Olya nên đặt polykki đối xứng với cây thánh giá của Sasha, tất nhiên trừ khi cô ấy có thể thắng trong một nước đi.

4. Chỉ huy.

5. Số mảnh giấy có dạng $1 + 11k - \frac{1}{2} \cdot 7t$ ($k$ là số tờ giấy xé thành 12 mảnh, $t$ — thành 8 mảnh). Nhận 60 miếng Kelzium. Thật dễ dàng để chỉ định các bộ $k$ và $t$ mang lại số lượng mảnh

từ 61 lên 67, sau đó bạn cần tăng $t$. mỗi đơn vị.

Đến ô chữ
(xem «Kvant», 1974, số 7)

Nằm ngang:
2 - 8 trung vị; định lý 10-16; tiêu chí 18-25; phát hiện 33-40; Tích phân 43—50; Vòng tròn 55-58, hàm 77-83.

Thẳng đứng:
vectơ 1—42; cấp tiến 19-68; 29—62 trung tâm; 2—30 mét; 45—73 điểm; lịch trình 47-80; góc 57-75; 8-67 cơ hoành; Đường 50-76.

Đối với các vấn đề về Domino Solitaire
(xem «Kvant», 1974, số 6)

Xem hình ảnh. Gợi ý. Trong bài toán đầu tiên chỉ có một nơi mà xúc xắc 4:2 có thể đứng được; lý luận tương tự được sử dụng để xác định vị trí của viên xúc xắc còn lại.

Nhà máy in Chekhov Soyuzpoligrafproma trực thuộc Ủy ban Nhà nước của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách, Chekhov, Khu vực Moscow

Người quản lý không trở lại