Нет ли другого доказательства?

62

Нет ли другого доказательства?
В. К. Смышляев, А. П. Савин

Если просить у человека, давно окончившего среднюю школа, помнить ли он теорему Пифагора, то в подавляющем большинстве служев ответ будет: «А как же! В прямогольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Другие теоремы забываются, а эта нет. Она порождает нас своей красотой и изящством и надолго остается в памяти.

Но вспомнить доказательство этой теоремы может daleko не всякий, а если и вспомнить, то не доказательство из учебника Киселева, принадлежшее Евклиду, а какое-нибудь более изяшное, например, индийское, состоящее из рисунка (рис. 1) и подписи «смотри».

Очень изящно и доказательство, основанное на теореме о секущей и касательной, проведенных к окружности из одной точки (рис. 2). По упомянутой теореме $AB^2 = AC \cdot AD$ или $a^2 = (c + b)(c - b)$, то есть $a^2 + b^2 = c^2$.

Доказательств теоремы Пифагора очень много. Еще в 1876 году в Москве была издана книга Ю. Ф. Виппера «Сорок пять доказательств теоремы Пифагора». Конечно, она уже является библиографическим редкостью, но книгу В. Литцмана «Teорема Пифагора» (М., Физматгиз, 1960) найти еще не слишком трудно. В ней dado довольно полное собрание различных доказательств этой теоремы. И, конечно, мы рекомендуем посмотреть статью В. Н. Березина «Teорема Пифагора», «Квант», 1972, № 3, и однозначную заметку в «Квант» № 7 за 1974 год.

Является ли теорема Пифагора уникальной в смысле обилия ее доказательств? Оказывается, нет. Очень многое фундаментальные теоремы дисказыны десятиками способов.

Чем это вызвано? Почему математики передоказывают уже известные факты? На наш взгляд, можно выделить три основные принципы.

63

Первая — педагогическая. Общно первые доказательства теорем весы грамодики и неуклюжки, но затем, когда стало известно, что данный факт верен, появляются новые, более короткие и изящные доказательства, которые легче усваиваются, более наглідны.

Вторая причина — стремление установить связь данной теоремы с другими известными фактами, определять ее положение в сложном сооружении, именуемом математикой. Примером этому может служить обнаруженная нами связь теоремы о касательной и секущей с теоремой Пифагора.

И третья причина — открытие новых фактов, для которых данная теорема является оченьным следствием.

Один из таких примеров мы разберем в конце статьи. А сейчас разберем несколько доказательств других, уже не столько знаментий теоремы.

Пусть $M$ — точка, лежащая на окружности, описанной вокруг геометрического треугольника $ABC$. Тогда длина набольшего из отрезков $MA, MB, MC$ равна сумме длин остальных двух.

Приведем довольно изящное геометрическое решение. А именно, пусть $MA$ — набольший из указанных отрезков (рис. 3). Отложим от точки $M$ отрезок $MD = MB$. Далее заметим, что угол $AMB$ равен $60^\circ$, как опирающийся на ту же дуг, что и угол $ACB$. Отсюда следует, что треугольник $BMD$ — равносторонний, после чего уже совсем нетрудно установить, что треугольники $ABD$ и $BMC$ равны, и, следовательно, $MA = AD + DM = MC + MB$.

А вот тригонометрическое доказательство. Обозначим длину стороны треугольника $ABC$ через $a$, а угол $BAM$ через $\alpha$. Выразим указыные отрезки через $a$ и $\alpha$ с помощью теоремы синусов:

$$MB = \frac{a \sin \alpha}{\sin 60^\circ}, \quad MC = \frac{a \sin(60^\circ - \alpha)}{\sin 60^\circ},$$

$$MA = \frac{a \sin(60^\circ + \alpha)}{\sin 60^\circ}.$$

Найдем сумму $MB$ и $MC$:

$$MB + MC = \frac{a}{\sin 60^\circ} \times (\sin \alpha + \sin(60^\circ - \alpha)) = \frac{a \cos(30^\circ - \alpha)}{\sin 60^\circ} = \frac{a \sin(\alpha + 60^\circ)}{\sin 60^\circ}.$$

Сравив полученный результат с величины $MA$, получим утверждение теоремы.

Заметим, что тригонометрия является очень сильным аппаратом для решения геометрических задач, причем ее применение переводит задачу из геометрического русла в алгебраическое.

И еще одно замечание. Аппарат тригонометрики основан на ряде геометрических теорем, поэтому неправаомерно доказательство таких теорем применением тригонометрики. Например, «доказательство» теоремы Пифа-

64

гора: $a = c \sin \alpha, b = c \cos \alpha$, откуда $a^2 + b^2 = c^2$ ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = c^2$, не может быть признано доказательством, поскольку тожество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ само доказывает с помощью теоремы Пифагора.

Приведем еще одно доказательство нашей теоремы, основанное на теореме Птолемея: произведение диагоналей вписанного чемурехуольника равно сумме произведения промивоположных сторон эмерычехуольника.

Приименим эту теорему к четырехугольнику $ABMC$. Тогда имеем: $MA \times BC = MB \cdot AC + MC \cdot AB$, и, так как $AB = BC = AC$, то $MA = MB + MC$.

В заключение повторим: доказатель теорему — подумай, нет ли другого доказательства. Такой подход поможет привести в систему Ваши математические знания, причит отыскивать разные подходы к решению задачи, находить среди них наиболее естественные и продуктивные. И, поверьте, Вы испытаете громадное удовлетворение, получив красивое и своевообразное доказательство. Именно здесь математика вплотную соррикается с искусством.

ОТВЕТЫ, УНАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

К задачам «Квант»
для младших школьников»
(см. «Квант», 1974, № 7)

1. Обозначить первые два числа, стоящие в первой строке квадрата, через $a$ и $b$, а первое число во второй строке через $c$ и сумму магнитского квадрата через $s$. После этого можно найти все остальные числа в квадрате и доказать, что $s$ делится на 3.

2. Намагниченная илка может отталкивать от магнита, ненамагниченная всегда пригивается.

3. Оля должна ставить поликки симметрично крестикам Саши, если, конечно, она не может выиграть одним ходом.

4. Свиницовый.

5. Число кусков бумаги имеет вид $1 + 11k - \frac{1}{2} \cdot 7t$ ($k$ — число разрываний бумаги на 12 кусков, $t$ — на 8 кусков). Получить 60 кусков кельзия. Легко указыть наборы $k$ и $t$, при которых получаются числа кусков

от 61 до 67, а далее надо увеличивать $t$. на единицу.

К кроссворду
(см. «Квант», 1974, № 7)

По горизонтали:
2 — 8 медиана; 10—16 теорема; 18—25 критерий; 33—40 детукиция; 43—50 интеграл; 55—58 круг, 77—83 функция.

По вертикали:
1—42 вектор; 19—68 радикал; 29—62 центр; 2—30 метр; 45—73 точка; 47—80 график; 57—75 угол; 8—67 абсцисса; 50—76 линия.

К задачам «Домино—пасьянс»
(см. «Квант», 1974, № 6)

См. рисунок. Указание. В первой задаче есть лишь одно место, где может стоять кость 4:2, аналогичным рассудлением находятся места остальных костей.

Чеховский полигraphический комбинат Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полигraphии и книжной торговли г. Чехов Московской области

Руководщи не возврачаются