О силах инерции

28

Слушай в автобусе
Начнем с обыденного происшествия. Автобус резко затормозил у свето-фора, пассажиров потянуло вперед. Кто-то наступил вперед стоящему на ногу и, конечно, извилился. С точки зрения правил поведения все в порядке. Но физик конец истории должен показаться неогничным. Пассажир, конечно, не виноват: винovat, наверно, зазававшийся водитель — он-то и должен увлекаться наукой о поведении, а только спросим себя, чем, собственно говоря, винovat водитель? Каким образом водитель смог толкнуть пассажиров? Ведь он сидит далеко и не может до них даже дотянуть. Можно сказать, что сила (конечно, не от водителя, а от motor или, быть может, от тормозов) передалась через пол. Такой ответ также нельзя признать удовлетворительным: ведьhora остаются стоять на месте — пассажиру каждется, что его потянули, скорее, за голову…

Если специально не пытается запутать дело, то объясняется все очень просто. Шофер затормозил автобус; ноги пассажиров (из-за большого трения покоя подошв о пол) тоже затормозились, а тульвище вместе с головой продолжало двигаться с прежней скоростью, повинуясь первому закону. Ныютона — закону инерции. Если бы трения не было, например, все пассажеры стояли на идеальных роликах (чего не сделаешь ради научки!), то никакого толка они сразу не почувствовали, а один за другим ударились бы во внесапно остановившуюся перед ним стенку кабины водителя.

Такое описание приведет всякий разумный наблюдается, который находится в инерциальной системе координат, например, наблюдается эту сцену, стоя на тротуаре.

Но может служиться, что ту же историю захотет проанализировать другой наблюдается, скажем, шофер автовуса, который плотно сидел в своей кресте. Он, конечно, знал, что автовус затормозил, то есть столдяться сускорением относительно земли, и поэтому его система отчета перестала бы инерциальной. Шофер так и объяснит происшествие. А что скажет

29

пассажир, который не знал о факте торможения, но неволно ощутел его? Таким образом, мы подошли к основному вопросу — как описываются механические движения в неинерциальных системах отчета?

Известно, что основные законы движения — законы Ньютона — справедливы только в инерциальных системах отчета. Поэтому естественно ожидать, что при переходе к неинерциальным системам уравнения движения должны измениться. Однако, если ограничиться только классической механикой, то есть не рассматривать движения со скоростями, сравнимыми со скоростью света, то оказывается, что основное уравнение движения можно записать точно в таком же виде, как второй закон Ньютона, если ввести новое понятие — понятие сил инерции.

Когда шофер тормозит автобус, он видит, что пассажир на роликах (то есть в отсутствие сил tremия) получает относительно автобусаускорение, направленное в ту сторону, в котором движался автобус до торможения. Или, что то же самое,ускорение пассажира противоположно по направлениюускорению, которое получает автобус.

Этоускорение не связано непосредственно с действием какого-то тела на пассажира, но наблюдается вускоренной системе координат, пытаясь описать движение с точки зрения обычных законов механики, должен будет сказать: если естьускорение, то его надо приписать действию какой-то силы. Такие силы, вводимые в неинерциальных системах отчета для того, чтобы описатьускоренное движение свободных тел, называют силами инерции.

Силы инерции отличаются от обычных сил, например, от электрических или gravитационных сил, прежде всего тем, что они вызваны не взаимодействием тел, аускоренным движением самой системы отчета. Силы инерции исчезают при переходе в инерциальную систему отчета (наблюдать на тротуаре), тогда как силы обичные не изменяются при переходе в любую другую систему отчета. Обичные силы, как говорят, инвариантны относительно перехода в другой системе координат, если только скорость новой системы отчета относительно исходной остаточной многоменшей скорости света*). Отмечая такоеfundamentalное свойство обичных сил, иногда силы инерции называют псевдосилами («как бы» силами) или фиктивными силами.

Еще одно важное отличие сил инерции состоит в том, что с точки зрения неинерциального наблюдается эти силы действуют во всех точках системы, где бы ни находилось исследуемое тело, причем в непосредственной близости от тела невозможно указыть источник этих сил. Если бы один пассажир, стоя на роликах, только другого, то они отъехали бы друг от друга в разные стороны, психуясь третьему закон Ньютона.

Второзащит же автобус все пассажиры подались вперед, и никто не поехал назад. В этом смысле действие сил инерции напоминает действие электрических или магнитных сил, которые передаются через электримагнитное поле и для которых тоже не так просто понять, что такое противодействие. Поэтому и в задаче о силах инерции можно вести аналогичное понятие — поле сил инерции.

Поле и силы

Известно, что взаимодействие электрических зарядов и токов осуществляется электримагнитным полем, силы всемирного тяготения передаются gravитационным полем, силы взаимодействия.

*) Если система отчета движения с скоростью, сравнимой со скоростью света, то, как показывает в теории относительнойности, и обичные силы не остаются инвариантными. Поэтому мы ограничиваем себя классическими нерелятивистскими системами отчета.

30

модействия между нуклонами — полем ядерных сил.

Во всех этих случаях взаимодействие тел проискодит без непредставленного контакта. Понятие физического поля сил и было введено для описания такого сорта взаимодействий. Это понятие прочно вошло в физику и в XX века совершенно вытестило понятие контактийных сил. Лишь на малых расстояниях иногда практические удобнее говорить о соприкосовении тел, о толчке или ударе.

Для того чтобы сохранить третий закон Ньютона, говорят об обратном воздействии тела на поле. Таким образом, например, свойят взаимодействие двух удаленных друг от друга электрических зарядов к взаимодействию заряда и поля в месте нахождения заряда.

Проискствие в автобусе тоже можно описать, используя понятие поля сил. В тормозящем автобусе, с точки зрения водителя, возникает поле сил инерции, которое действует на пассажиров. Но следует подчеркнуть, что это поле возникло из-за того, что система отчета движения сускорением, и оно может быть «уничтожено» переходом в инерциальную систему координат.

Таким образом, вускоренное движущемся автобусе (мы дальше будем говорить — в системе координат) возникает поле сил инерции, замечательное, прежде всего, тем, что оно создает всем телам в системе, независимо от их массы, одинаковыеускорения. Этиускорения равны по абсолотной величиныускорению системы координат и направлены в противоположную сторону.

Только одна сила в природа — сила тяготения — обладает таким же свойствам. Например, в поле тяжестей Земли все тела свободно падают с одним и тем жеускорением относительно инерциальной системы отчета. Эта аналогия на самом деле имеет глубокий смысл — она отражает линей приципп эkvивалентности *), фундаментальный смысл которого раскрывается в теории относительнойности.

А пока мы можем формулировать важный вывод: подобно силам тяготения, силы инерции пропорциональны массе тела. Это есть следствие равенстваускорения всех свободных тел в неперциальной системе координат.

Какие бывают силы инерции?

Приципп относительно Галилея утверждает, что в любой движущейся инерциальной системе отчета действуют те же законы механики, что и в покоящейся системе**). Иначе говорят, что никакими опытами внутри системы наблюдается не может узнать, движется он равномерно и прямолинейно или поконтся. В частности, матриальная точка, на которой в такой системе не действуют никакие тела, будет либо поконтся, либо движется безускорения. К этому мы должны добавить, что точка не должна находиться ни в электрическом, ни в магнитном полях и на нее не должна действовать извне никакое массивное тело. Разумно применять приципп относительно Галилея, так сказаны, в обратную сторону для установления того, является ли система отчета инерциальной или нет. Мерой этого, оченьindo, должна служить степень точности выполнения законов Ньютона в этой системе.

*) См., например, статью Д. Бородина «Гравитационная масса», «Квант», 1973, № 2.

Заметим, кстати, что полезен Земли тоже можно «уничтожить», перейдя в другую систему координат, например, в космический корабль. Явление неевосмотности (когда сила тяготения «уравновешивается» силой инерции) отражает текную гравитационные силы с силами инерции.

**) Приципп относительно Эйштейна идет еще дальше, утверждая, что все законы физики (а не только механические) остаются таким же. В этой статье мы будем говорить только о классических механических явлениях.

31

Рис. 1.

Если же мы рассматрием движение тела в неинерциальных системах отчета, то нельзя забивать, что кроме обычных сил взаимодействия на тела действуют еще силы инерции. Чтобы записать уравнение движения тела, надо уметь определять все силы. Объчные силы зависит от взаимного расположения тела и от их относительных скоростей. Силы инерции, вызванные ускорением движения системы отчета, очевидно, должны зависеть и от характера движения самой системы отчета.

Рассмотрим два случая:

1. система отчета относительно неподвижной инерциальной системы движения поступательно с некоторым постоянным ускорением;
2. система отчета врашается во кругл неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.

В первом случае возникет только одна сила, которое так и называют силой инерции. Во втором случае надо говорить о двух силах. Первая зависят только от координат, то есть от расстояний до оси врашения; эти силы называют центровкой силой инерции. Вторая зависят от скорости движения тела относительно врашющейся системы отчета, но не зависят от координат; ее называют корниссовой силой в части французского механика Корполиса (1792—1843). О корниссовой силе в этой статье мы говорить не будем.

Для того чтобы получить конкретные выражения для силей инерции при поступательном движении и для центровкой силей инерции, достаточно сопоставить движения тела в инерциальной и неинерциальной системе отчета.

Поступательное движение системы отчета

Пусть система отчета $K'$ движется равноускоренно с ускорением $a_0$ относительно инерциальной системы $K$. Рассмотрим некоторое тело, на которое со стороны другого тела действует сила $F$, сообщая ему ускорение $a$ относительно системы $K$. Ускорение этого тела в системе $K'$ обозначаем $a'$. Опишем движения выбранного тела с точки зрения двух наблюдателей: один связан с системе $K'$ (будем назвать его подвижным наблюдателем), другой находится в системе $K$ ( его будем назвать неподвижным).

Для неподвижного наблюдателя (в инерциальной системе отчета) тело участует в двух движениях (рис. 1): с ускорением $a'$ относительно системы $K'$ и с ускорением $a_0$ относительно системы $K$, поэтому его полное ускорение

$$a = a' + a_0.$$

Запишем уравнение движения тела:

$$m a = F,$$

или

$$m (a' + a_0) = F.$$

Посленее равенство можно переписать по-другому:

$$m a' = F - m a_0.$$ (1)

32

В частином случае, когда $F = 0$, в системе $K$ ускорения нет, то есть $a = 0$, поэтому

$$a' = -a_0.$$

Таким образом, подвижный наблюдаемый обнаружит, что все свободные тела в его системе имеют ускорение, равное по абсолотной величины ускорению самой системы отчета, но направленное в противоположную сторону. Можно сказать, что в этой системе есть поле сил, которое действует на тела с силами $F_n$, называемых силами инерции.

Итак, с точки зрения подвижного наблюдаемого уравнения движения тела в общем случае надо записать так (рис. 2):

$$m a' = F + F_n.$$ (2)

Сравнивая (1) и (2), нетрудно заметить, что

$$F_n = -m a_0.$$

To есть в случае поступательного движения неперцательной системы отчета сила инерции зависит от ускорения этой системы, которое легко изменить на опыте. Заметим также еще раз, что сила инерции (подобно силе тяжесте) пропорциональная массе тела.

Потенциальной энергии тела в этом поле. Можно это сделать и для поля сил инерции, воспользоваться аналогий с полем тяжесте Земли. Сходство этих полей состоит, прежде всего, в том, что все свободные тела в ускоренной системе отчета движутся с одинаковыми ускорениями, не зависитми от их масс.

Известно, что в близи поверхности Земли (где ускорение свободного давления постоянно) тела массой $m$ обладает потенциальной энергией

$$\Pi = mgx,$$

где $x$ — высота тела над поверхностью Земли (рис. 3). Заметим, кстати, что величину $\varphi = gx$ называют потенциальом поля тяжесте. При перемещении тела с высоты $x_1$ на высоту $x_2 < x_1$ поле совершает работу

$$A = mg (x_1 - x_2) = -(\Pi_2 - \Pi_1),$$

то есть работу, равную убили потенциальной энергии тела. Эта работа идет на увеличение кинетической энергии тела: на сколько уменьшилась потенциальная энергия, настолько же увеличилась кинетическая энергия, так что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. Поэтому полная энергия

$$E = \frac{mv^2}{2} + mgx$$

остается неизменной, сохраняется во время движения.

Если система отчета $K'$ ускоряется в направлении оси $x'$ (рис. 4) и

33

Все свободные тела «падают» сускорением $a_0$, равнымускорению движения самой системы, то по аналогии выражение для потенциальной энергии тела массой $m$ в поле сил инерции можно записать так:

$$\Pi' = ma_0x'$$

где $x'$ — координата тела в системе $K'$. Величину $\varphi' = a_0x'$ разумно называть потенциальом поля сил инерции.

Тогда полная энергия тела вускоренной системе отчета равна

$$E' = \frac{mv'^2}{2} + ma_0x'$$

где $v'$ — скорость тела. Причем, величина полной энергии все время остается постоянной.

Центровежная сила инерции

Рассмотрим теперь систему отчета, котораявращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной оси. Такой системой может быть, например,вращающийся диск. Мы уже говорили о том, что в случае выращения системы отчета надо горорить о двух сил инерции — центровежной и корнилисьой. Ограничимся рассмотрением только центровежной силы инерции. Эта сила зависит от координаты тела и не зависит от того, поконтся оно или движется относительно выращенной системы отчета, поэтому для простоты рассужdenый будем считать, что тело неподвижно.

Пусть на главком врашающемся диске лежит тело, которое с помощью пружины удерживается на диске на расстоянии $r$ от оси врашения. Опшем его поведение с точки зрения неподвижного и подвижного наблюдаемой.

Неподвижный наблюдаемый (связанный с инерциальной системе отчета) скажет, что поскольку тела движется по окружности, то оно имеетускорение, называемое центростремильным и равное по величины

$$a_\mu = \omega^2 r.$$

Этоускорение тела сообщает сила упругости растянутой пружины $F_y$, поскольку никакие другие тела в горизонтальной плоскости на тело не действуют (рис. 5). Согласно второму закону Ньютона

$$m a_\mu = F_y.$$

С точки зрения подвижного наблюдаемой (связанного с врашающемся инерциальной системе отчета) тело поконтся, следовательно, сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Поэтому этот наблюдаемый должен сказать, что есть сила, уравновешивающая силу упругости (рис. 6). Это — центровежная сила инерции $F_{и.ц}$, равная

$$F_{и.ц} = -F_y = -m a_\mu.$$

Знак «минус» говорит о том, что эта сила направлена противоположно центростремильномуускорению, то есть по радиусу от оси врашения, и равна по величины $F_{и.ц} = m\omega^2 r$.

34

Здесь уместно заметить, что существует досадная двусмысленность в сложившейся терминологии. Дело в том, что в неподвижной системе отсчета слиу, с которой движущаяся по окружности материальная точка действует (по третьему закону Ньютона) на тело, удерживающее ее на окружности (на пружину в нашем примере), называют также центровежной слиой. С этой слиой никака не надо путать центровежную слиу инерции (это последнее, самое главное слово часто опускают), которая действует на любое тело во врашащейся (неинерциальной) системе отсчета. Эти две слиы проявляются в разных системах отсчета и приложены к разным телам (рис. 7).

Потенциаль поля центровежных слий инерции

Подсчитаем работу, которое совершает поле центровежных слий инерции по перемещению материальной точки массой $m$. Пусть начальная координата точки (расстояние от оси врашения) равна $r_1$, а конечная — $r_2$. Центровежная слия инерции равна $m\omega^2 r$ и направлена от оси врашения.

Если $r_2 - r_1$ мало, то можно записать

$$A = F_{и.ц} \Delta r = m\omega^2 \frac{r_1 + r_2}{2} \Delta r,$$

заменив среднюю слиу $F_{и.ц}$ слиой в средней точке. Подставив вместо $\Delta r$ значение $r_2 - r_1$, получим

$$A = \frac{m\omega^2 r_2^2}{2} - \frac{m\omega^2 r_1^2}{2}.$$

С другой стороны, работа всегда равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком, то есть

$$A = -(\Pi'_2 - \Pi'_1).$$

Сравнивая два выражения для работы, заметим, что величины

$$\Pi' = -\frac{m\omega^2 r^2}{2}$$

можно назвать потенциальной энергий материальной точки в поле центровежных слий инерции, а величины

$$\varphi' = -\frac{\omega^2 r^2}{2}$$

соответственно потенциальом этого поля.

Тогда для врашащейся системы отсчета полная энергия точки при движении равна

$$E' = \frac{mv'^2}{2} - \frac{m\omega^2 r^2}{2}$$

и величины ее остаются постоянной.

Напомним, однако, что во врашащейся системе отсчета действует еще одна слия инерции (сила Корюлиса), зависит от скорости материальной точки. Поэтому, для того чтобы запись уравнение второго за-