Как начертить n-мерный куб?

22

Отрезок, квадрат, куб…

Какая разница между отрезком, квадратом и кубом? Отрезок — часть прямой линии, квадрат — часть плоскости, а куб — часть пространства. А что между ними общего, кроме слова чась в их определении? Оказывается, существует глубокая аналогия в процессе их построения. В самом деле, процесс построения квадрата при заданном отрезке можно, например, описать так:

из концов данного отрезка восставляемем перpendикуляры к нему так, чтобы эти перpendикуляры лежали в одной плоскости; на каждом перpendикуляре по одному сторону от данного отрезка откладываем отрезки псевдины и затем соединием концы получившихся отрезков.

Запишем теперь процесс построения куба при заданном квадрате:

из каждой вершины данного квадрата восставляемем перpendикуляры к плоскости квадрата (мо есть к двум сходящимся в этой вершине сторонам квадрата) так, чтобы эти перpendикуляры находились в одном пространстве; на перpendикулярах по одному сторону от квадрата откладываем отрезки, равные по длине ребра квадрата; через концы этих отрезков проводим прямы, параллельные ребра квадрата (то есть сторим квадрат, параллельный данному).

В этой записи бросается в глаза искусственно и неужность оборота «чимбы эти перpendикуляры находились в одном пространстве»: ведь

наше пространство вообше одно! Но давайте побантируем и опишем процесс еще одного построения:

из каждой вершины данного куба восставляемем перpendикуляры ко всем темем сходящимся в ней ребра (?!) так, чтобы эти перpendикуляры находились в одном пространстве; на этих перpendикулярах по одному сторону от куба (?!) откладываем отрезки, равные по длине ребра куба; через концы этих отрезков проводим прямы, параллельные ребра куба и равные им по длине (мо есть сторим куб, параллельный данному (?!)).

Геометрические такое «построение», конечно, невозможно — хотя бы потому, что в нашем пространстве нельзя проводить более трех попарно перpendикуляры линей. Но логически это рассужждение в полне строюное и приводит к понятию «чемырехмерно» куба (то есть куба, в каждой вершине которого сходятся 4 попарно перpendикулярных ребра). Более того, продолжая описание построения «по индукции», мы приедем к понятию «пятимерного», «шестимерного» и в общем случае — «n-мерного» куба. Согласно этому рассужению, обикновенный куб — «трехмерный», квадрат — «двумерный», а отрезок — «одномерный» куб (рис. 1, 2, 3).

Спрашивается, а существует ли реальные объекты, соответствующие по своим свойствам n-мерному кубу (n=1, 2,…)? Оказывается, существуют; один из таких объектов будет рассмотрен в следующей главе.

23

Таблица вершин n-мерного куба
Отрезок (одномерный куб) имеет два конца (две вершины). Обозначим один из концов цифров 0, а другой — цифрой 1. Получим табл и у вершин отрезка:
0
1

Множество вершин квадрата (двумерного куба) распадается на два подмножества вершин параллельных друг другу сторон. Обозначим соответствующие вершины сторон одинаковыми цифрами (0 или 1); чтобы их отличать друг от друга, добавим слева к обозначенным вершин одной стороны цифру 0, а другой — 1. Таблица вершин квадрата прибретает следующий вид:
00 10
01 11

Аналогично из таблицы вершин квадрата строится табл и у куба:
000 010 100 110
001 011 101 111

Далее — табл и у вершин «четырехмерного» куба:
0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110
0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111

Процесс построения таких таблиц можно продолжать неограниченно. Эти таблицы и представляют собой алгебраические образы n-мерных кубов; при этом вершине n-мерного куба соответствует некоторый упорядоченный набор из n нулей и единиц, называемых координатами вершины.

Опишем теперь основные свойства вершин и ребер n-мерного куба.

1. На каждом ребре n-мерного куба лежитровно две его вершины; все соответствующие координаты этих вершин одинаковы, за исключением одной: у одного конца ребра она равна 0, а другого — 1. Именно эта координата и характеризует направление ребра.

2. Все ребра одного направления параллельны между собой и перпендикулярны к ребрам любого другого направления.

3. Число различных направлений равно n. Все они описываются базисными ребрами, соединяющими вершину 00… 0 с вершинами

00 . . . 01
00 . . . 10
.

.

01 . . . 00
10 . . . 00

4. Из любой вершины n-мерного куба выходитровно n ребер. Все они попарно перпендикулярны между собой.

Для n=1, 2, 3 указаны свойства проверяются непосредственно (проверьте!). Для n>3 описанные свойства вершин и ребер куба мы будем построировать (убедиться в их внутренней непротиворечности предоставляем вам самим).

24

Паралельное проектирование

Наряду с реализным чисто алгебраическим образом — таблицей вершин — $n$-мерному кубу можно поставить в соответствии и реализный чисто геометрический образ — чертеж.

На рисунке 1 изображен чертеж куба. Отметим следующие его свойства:

1. Паралельные ребра куба остаются паралельными и на чертеже.
2. Перпендикулярные ребра куба на чертеже не паралельны.
3. Разные вершины куба на чертеже не слияют в одну.

Иными словами, чертеж куба представляется собой как тыльь, падающий на горизонтальной площадку от освещения проводной модели куба космии паралельными лучами света, не лежащими в плоскости ни одной из границ.

Оказывается, если подобное паралельное проектирование применить к кубу любой размерности $n$, то получится плоский чертеж $n$-мерного куба, обладающий третья указанным выше свойствами. Но прежде чем доказыть это, посчитаем

Сколько же вершин $n$-мерного куба?

Пусть $A$ — произвольная вершина куба с координатами $a_n, a_{n-1}, \dots, a_2, a_1$. Так как $a_i$ равно либоную, либо единце, то мы можем координаты этой вершины рассматривать как двойное представление некоторого числа $\varepsilon$:

$$\varepsilon = a_n \cdot 2^{n-1} + a_{n-1} \cdot 2^{n-2} + \dots + a_2 \cdot 2 + a_1$$

(тогда двойная запись $\varepsilon$ имеет вид:

$$\hat{\varepsilon}_2 = a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1).$$

Вершинам $n$-мерного куба соответствует всевозможные наборы нуля и единиц ($a_n, a_{n-1}, \dots, a_2, a_1$); каждому же takому набору соответствует полне определенное число $\varepsilon$; число $\varepsilon + 1$ получается из числа $\varepsilon$ по следующему правилу: все правые разряды $a_1, a_2, \dots, a_j$, подряд являющиеся единичными, заменяются на нулы, перный справа нульевой (или отсутствующий) разряд $a_{j+1}$ — на единицу, а остальные (если они есть) остаются без изменения. Представим, например, в двойной системе числа 0, 1, 2,…, 15:

$$\hat{0}_2 = 0, \quad \hat{4}_2 = 100, \quad \hat{8}_2 = 1000,$$

$$\hat{1}_2 = 1, \quad \hat{5}_2 = 101, \quad \hat{9}_2 = 1001,$$

$$\hat{2}_2 = 10, \quad \hat{6}_2 = 110, \quad \hat{10}_2 = 1010,$$

$$\hat{3}_2 = 11, \quad \hat{7}_2 = 111, \quad \hat{11}_2 = 1011,$$

$$\hat{12}_2 = 1100,$$

$$\hat{13}_2 = 1101,$$

$$\hat{14}_2 = 1110,$$

$$\hat{15}_2 = 1111.$$

Легко видеть, что число $2^n$ в двойной системе числения представляется в виде единиц с $n$ нулями, а число $2^{n-1}$ — набором из $n$ единиц. Значит, существует $2^n$ различных двойных чисел (от нуля до $2^n - 1$) разрядности не выше $n$; следовательно, число вершин $n$-мерного куба также равно $2^n$.

Попробуем теперь построить

Чертеж $n$-мерного куба

Проведем на плоскости две прямые линей под углом друг к другу — насовет их основь ми. Отложим на одной из них (назовем ее первой) по одну сторону от точки пересечения $2^n - 1$ раз масштаб $a$, а в второй — $n$ раз масштаб $b$ (рис. 4, $a$). Понумеруем концы масштабных отрезков на первой линей числа

$$1, 2,..., 2^n - 1,$$

а на второй — числа

$$1, 2,..., n.$$

Через конец каждой масштабного отрезка проведем прямую линей, паралельную другой основной линей. Получим координату сетку. Каждому узлу этой сетки поставим в соответствие пару целых чисел $(X, Y)$ — координаты узла вдоль первой и второго направления (точка пересечения ос-

25

Рис. 4: $a$ — куб четырехмерный; $\delta$ — куб пятимерный

новых линей имеет координаты $(0,0)$). Вершину куба с координатами $(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1)$ помещим в узел образованшейся сетки с косоугольными координатами

$$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot 2^{i-1}, \quad \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^*.$$

Таким образом, первая косоугольная координата узла, которую

$$*) \text{Знак } \Sigma \text{ (сигма)} \text{ — это знак суммирования, } \sum_{i=1}^{n} b_i = b_1 + \ldots + b_n.$$

мы изобраем вершину куба, равна номеру этой вершины, а вторая — ее вес $a_1 + \ldots + a_n$ (то есть суммарному количество единиц координат вершины).

Если две вершины $n$-мерного куба отличаются лишь одной координатой, то соответствующие им изобрания вершин на косоугольной координатной сетке соединим отрезком прямой — этот отрезок будет служить изобранием ребра нашего куба.

На этом построение чертежа $n$-мерного куба заканчивается (на рисун-

26

ке 4, а изображен чертеж четырехмерного куба, а на рисунке 4, б—пятимерного куба). Чтобы убедиться в том, что и в общем (n-мерном) случае чертеж n-мерного куба представляется собой результат параллельного проектирования куба на плоскость, проверим

При свойства чертежа

Свойство 3), очевидно, выполняется: разным вершинам соответствуют разные номера, а потому их изображения имеют разные первыые координаты, и, следовательно, не совпадают.

Проверим теперь свойство 1) — сохранение параллельности ребер. Возьмем любые два параллельные ребра куба. Обозначим координаты вершин первого ребра через $\tilde{a}^1$ и $\tilde{a}^2$:

$$\tilde{a}^1 = (a_n^1, a_{n-1}^1, \dots, a_i^1, a_1^1),$$
$$\tilde{a}^2 = (a_n^2, a_{n-1}^2, \dots, a_i^2, a_1^2);$$

а координаты вершин второго ребра — через $\tilde{b}^1$ и $\tilde{b}^2$:

$$\tilde{b}^1 = (b_n^1, b_{n-1}^1, \dots, b_i^1, b_1^1),$$
$$\tilde{b}^2 = (b_n^2, b_{n-1}^2, \dots, b_i^2, b_1^2).$$

Направление ребра здесь характеризуется $i$-й координатой.

Имеем:

$$a_j^1 = a_j^2, \quad j \neq i.$$

Не нарушая общности, можно считать, что

$$a_i^1 = b_i^1 = 0,$$
$$a_i^2 = b_i^2 = 1.$$

Рассмотрим теперь изображения $\tilde{a}^1, \tilde{a}^2, \tilde{b}^1, \tilde{b}^2$ этих четырехмерных на коорудальной координатной сетке. Проведем через образы вершин $\tilde{a}^1$ и $\tilde{b}^1$ прямы, параллельные первому коорудному направлению, а через образы вершин $\tilde{a}^2$ и $\tilde{b}^2$ — прямы, параллельные второму направлению (рис. 5). Точки пересечения этих прямых обозначаем через $\tilde{a}$ и $\tilde{b}$ соответственно. Получаем два треугольника: $\tilde{a}^1 \tilde{a}^2$ и $\tilde{b}^1 \tilde{b}^2$. Вычисляем длину сторон $\tilde{a}^1 \tilde{a}^2$ — по построению она равна modulo разности первых коорудных координат вершин $\tilde{a}^1$ и $\tilde{a}^2$:

$$\left| \sum_{j=1}^{n} a_j^1 \cdot 2^{j-1} - \sum_{j=1}^{n} a_j^2 \cdot 2^{j-1} \right| =$$
$$= \left| \sum_{j=1}^{n} \left( a_j^1 - a_j^2 \right) \cdot 2^{j-1} \right| =$$
$$= \left( a_i^2 - a_i^1 \right) \cdot 2^{i-1} = 2^{i-1}.$$

Длина сторон $\tilde{b}^1 \tilde{b}^2$ также равна $2^{i-1}$. Длина второй стороны треугольника