"Chìa khóa" của lời giải là các hình tam giác đồng dạng

57

Đối với chúng tôi, bất kỳ bài toán nào (không chỉ về mặt toán học!) dường như ít nhiều khó khăn hơn cho đến khi chúng tôi tìm được “chìa khóa” cho lời giải. Với lời giải hình học bài toán “chìa khóa” như vậy thường là các hình tam giác giống nhau. Trong một bài toán các hình tam giác tương tự được chỉ định trong các điều kiện, ở những hình khác, chúng được “ngụy trang” và do đó không được chú ý ngay lập tức; Ngoài ra còn có bài toán trong đó không có hình tam giác nào giống nhau; để có được chúng, bạn cần phải thực hiện một số công trình bổ sung.

“Bắt đầu “nhìn thấy” những hình tam giác như vậy là rất hữu ích - chúng thường giúp lời giải bài toán dễ dàng hơn.

Trước khi đọc lời giải được thảo luận bên dưới bài toán, hãy cố gắng tự mình giải quyết từng vấn đề.

Bài 1. Trong tam giác ABC, lấy một điểm O tùy ý và kẻ ba đường thẳng song song với các cạnh của tam giác qua đó. Những đường thẳng này chia tam giác ABC thành sáu phần, tạo thành tam giác A’B’C'.

Bán kính của các đường tròn nội tiếp các tam giác này bằng $r_1, r_2, r_3$; Bán kính hình tròn nội tiếp tam giác ABC bằng r. Chứng minh rằng $r = r_1 + r_2 + r_3$.

Rõ ràng là các tam giác được dựng đồng dạng với tam giác ABC (xem Hình 1), do đó

$$\frac{r_1}{r} = \frac{FO}{AC}; \quad \frac{r_2}{r} = \frac{ED}{AC}; \quad \frac{r_3}{r} = \frac{OH}{AC}.$$

Cộng các đẳng thức này theo từng số hạng, ta được

$$\frac{r_1 + r_2 + r_3}{r} = \frac{FO + ED + OH}{AC} = \frac{AE + ED + DC}{AC} = 1,$$

từ đâu $r_1 + r_2 + r_3 = r$.

Bài toán 2. Chứng minh rằng các đường cao của một tam giác nhọn là các đường phân giác của tam giác tạo bởi các đoạn nối các đáy của các đường cao.

Từ sự giống nhau của các tam giác $AB'B$ và $AC'C$ (xem Hình 2), suy ra rằng $\frac{AC'}{AB'} = \frac{AC}{AB}$, do đó các tam giác $AC'B'$ và $ABC$ giống nhau vì chúng có một góc chung A và các cạnh bao quanh góc này tỷ lệ thuận với nhau. Tương tự, ta có thể chứng minh các tam giác $CA'B'$ và $ABC$, $BA'C'$ và $ABC$ là đồng dạng. Do đó, $\triangle AB'C' = \triangle CB'A' = \triangle ABC$, do đó $\triangle C'B'B' = \triangle A'B'B'$. Tương tự, người ta chứng minh $A'A$ và $C'C$ là các phân giác của tam giác $A'B'C'$.

60

Cơm. 8.

Bài toán 8 (MIPT, 1970). Cho ABCD (AB và CD là các đáy) AB = a, CD = b (a < b). Đường tròn đi qua các đỉnh A, B, C tiếp xúc với cạnh AD. Tìm đường chéo AC.

Lưu ý rằng $\Rightarrow ACD = \Rightarrow BAC$ (khi nằm ngang), $\Rightarrow ABC = \Rightarrow CAD$ (cả hai đều thay đổi cung dương AEC, xem Hình 8). Do đó, tam giác ABC và CAD đồng dạng. Do đó $\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{DC}$, do đó $AC = \sqrt{ab}$.

Bài toán 9 (MAI, 1972). Cho ABCD vẽ các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm F. Từ đỉnh C kẻ đường thẳng CK song song với cạnh AD và cắt BD tại điểm L sao cho DF = BL. Tìm tỉ số AB:CD.

Chúng ta hãy biểu thị mối quan hệ được yêu cầu bằng $x$. Sau đó, từ sự đồng dạng của các tam giác AFB và CFD (xem Hình 9), chúng ta thu được $\frac{AB}{CD} = \frac{AF}{CF} = \frac{FB}{DF} = \frac{FL + LB}{DF} = \frac{FL + DF}{DF}$, từ đó $\frac{FL}{DF} = x - 1$. Mặt khác, từ sự đồng dạng của các tam giác ADF và CLF

$$\frac{FL}{DF} = \frac{FC}{AF} = \frac{1}{x}.$$

Do đó, để xác định $x$ chúng ta thu được phương trình bậc hai $x^2 - x - 1 = 0$, từ đó $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (vì $x > 0$).

Bài toán 10 (MIPT, 1973). Trong tam giác ABC, qua đáy D có chiều cao BD kẻ một đường thẳng song song với cạnh AB cho đến khi cắt cạnh BC tại điểm K. Tìm tỉ số BK:KC nếu diện tích tam giác BDK bằng $\frac{3}{16}$ diện tích tam giác ABC.

Chúng ta hãy biểu thị mối quan hệ được yêu cầu bằng $x$. Hãy làm DL || BC (xem Hình 10) và lưu ý rằng $x = \frac{BK}{KC} = \frac{AD}{DC}$. Tiếp theo, chúng ta giải bài toán, sử dụng các tam giác ABC, ALD và DKC tương tự: một mặt, $S_{\triangle ALD} + S_{\triangle DKC} = S_{\triangle ABC} - 2S_{\triangle BDK} = \frac{5}{8} S_{\triangle ABC}$, và mặt khác $S_{\triangle ALD} + S_{\triangle DKC} = S_{\triangle ABC} \cdot \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2}$, từ đây chúng ta thu được phương trình $\frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} = \frac{5}{8}$, hoặc $3x^2 - 10x + 3 = 0$, $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{1}{3}$.