Năng lượng từ trường của mạch mang dòng điện

27

Dễ hiểu rằng từ trường của dòng điện có năng lượng lớn nhất bằng cách phân tích cảm ứng điện từ. Chúng ta hãy nhẩm thực hiện thí nghiệm với sơ đồ trong hình. Nếu bạn di chuyển thanh trượt điện trở để điện trở của điện trở giảm thì dòng điện trong mạch sẽ tăng. Giá trị dòng điện càng lớn thì giá trị cảm ứng từ trường do dòng điện này tạo ra càng lớn. Khi từ trường tăng thì dòng của vectơ cảm ứng từ qua mặt phẳng giới hạn bởi mạch mang dòng điện tăng. Nhưng theo định luật Faraday, khi dòng cảm ứng từ thay đổi trong mạch thì xuất hiện một suất điện động tự cảm ứng bằng

$$E_{is} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t},$$

trong đó $\Delta \Phi$ là sự thay đổi của từ thông cảm ứng từ theo thời gian $\Delta t$. Dòng điện cảm ứng gây ra bởi $3. d. c.$ này tạo ra một từ trường, chiều cảm ứng của nó ngược với chiều cảm ứng của từ trường của dòng điện chính. Như vậy, từ thông của từ trường tạo ra có xu hướng bù đắp cho sự thay đổi từ thông của từ trường chính, tức là thực tế nó có xu hướng giữ cho dòng điện chính không đổi. Để chống lại hiệu ứng này, một số công phải được thực hiện để chống lại lực điện động tự cảm. Hãy tính công việc này.

Nếu dòng điện trong thời gian $\Delta t$ tăng từ giá trị $I$ lên giá trị $I + \Delta I$ và đồng thời $\mathcal{E}_{is}$ xuất hiện, thì công của nguồn hiện tại so với giá trị này $3. d. c.$ bằng

$$\Delta A = -\mathcal{E}_{is}I\Delta t.$$

Thay thế biểu thức (1) ở đây cho sự tự cảm ứng $3. d. c.$ này, chúng ta thu được

$$\Delta A = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}I\Delta t = I\Delta \Phi.$$

28

Bây giờ hãy nhớ rằng mỗi mạch có thể được đặc trưng bởi một giá trị nhất định $L$, được gọi là hệ số tự cảm hoặc độ tự cảm. Giá trị của $L$ thường được định nghĩa là hệ số tỷ lệ trong công thức liên hệ từ thông $\Phi$ với độ lớn của lực của mã thông báo $I$ gây ra mã thông báo này, tức là.

$$\Phi = LI.$$

Do đó, nếu dòng điện thay đổi theo giá trị $\Delta I$ thì từ thông của cảm ứng từ thay đổi theo giá trị

$$\Delta \Phi = L \Delta I.$$

Vì vậy, chúng ta có thể viết biểu thức (2) cho công như sau:

$$\Delta A = LI \Delta I = \Phi \Delta I.$$

Hình 1 thể hiện sự phụ thuộc của từ thông $\Phi$ vào lực mã thông báo $I$. Công $\Delta A$ về mặt số học bằng diện tích hình thang $ABCD$.

Nếu dòng điện trong mạch thay đổi từ giá trị $I = 0$ thành một giá trị nhất định $I_0$, thì công của nguồn mã thông báo so với e. d.s. khả năng tự cảm ứng có thể đạt được bằng cách tính tổng tất cả các công việc cơ bản $\Delta A$. Tổng công này về mặt số học bằng diện tích tam giác vuông $OEF$ trong Hình 1:

$$A = \frac{LI_0^2}{2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy đảm bảo rằng không có sự tỏa nhiệt bổ sung nào trong mạch liên quan đến sự xuất hiện của e. d.s. tự cảm ứng.

Hãy tưởng tượng rằng trước khi bắt đầu thí nghiệm, chúng ta đã biến dạng đường viền sao cho diện tích bị giới hạn bởi nó trở nên bằng 0 (Hình 2). Trong trường hợp này, khi mã thông báo trong chuỗi tăng từ 0 lên $I_0$ e. d.s. tự cảm ứng không trở lại. Điện trở của dây dẫn mà mạch được tạo ra không thay đổi. Do đó, trong một mạch bị biến dạng, khi mã thông báo tăng từ 0 lên $I_0$, cùng một lượng nhiệt được giải phóng như trong mạch không bị biến dạng. (Tất nhiên, với điều kiện là trong cả hai trường hợp, tốc độ tăng mã thông báo đến giá trị $I_0$ là như nhau. Hãy nhớ lại rằng trong thử nghiệm đầu tiên, chúng ta phải tăng mã thông báo, tức là giảm điện trở, khá chậm, sao cho tại mỗi giá trị $R_t$ một dòng điện $I_t = \frac{E}{R_t}$ được thiết lập trong mạch (nếu điện trở trong của nguồn yêu cầu nhỏ).)

Vì vậy, nhiệt lượng tỏa ra trong mạch không phụ thuộc vào việc nguồn có thực hiện thêm công (6) hay không.

Vì chúng ta biết rằng năng lượng không biến mất và không phát sinh trở lại mà chỉ chuyển từ dạng này sang dạng khác, và công số thực hiện bằng độ biến thiên năng lượng của hệ, nên chúng ta có quyền đặt câu hỏi: nguồn hoàn hảo của công bổ sung (6) đã biến thành gì? Lý do mà công việc này phải được thực hiện là khả năng của vòng dây trong việc “chống lại” các nỗ lực tăng từ thông qua khu vực được bao quanh bởi vòng dây. Vì vậy, người ta gọi năng lượng trong đó công hoàn hảo được truyền là năng lượng của từ trường của mạch có dòng điện. Thực tế là từ trường của mạch có dòng điện có năng lượng xác định có thể được xác minh nếu một thí nghiệm được thực hiện cho thấy năng lượng này có thể được chuyển đổi thành một số loại năng lượng khác (ví dụ, nhiệt). Một trải nghiệm như vậy có thể bao gồm những điều sau đây. trước-

29

Chúng ta hãy tưởng tượng rằng một đoạn ngắn mạch xảy ra ngay lập tức giữa các điểm $A$ và $B$ trong mạch của chúng ta. Hiệu điện thế giữa các điểm $A$ và $B$, được tạo ra bởi một nguồn dòng điện bên ngoài, trở nên bằng 0. Dòng điện trong mạch biến dạng sẽ dừng ngay lập tức. Trong trường hợp mạch không biến dạng, việc giảm dòng điện về 0 không thể xảy ra ngay lập tức, vì theo định luật cảm ứng điện từ, khi dòng điện giảm sẽ xảy ra hiện tượng phát xạ. d.s. tự kích thích, tìm cách giữ dòng điện ở mức tương tự. Kết quả là dòng điện sẽ giảm từ giá trị $I_0$ xuống 0 sau một thời gian. Trong thời gian này, một lượng nhiệt nhất định sẽ được giải phóng trong mạch điện. Năng lượng do nhiệt sẽ được giải phóng được lấy từ năng lượng từ trường “được lưu trữ” trong mạch. Hãy thử chứng minh rằng khi xảy ra đoản mạch giữa các điểm $A$ và $B$ thì một lượng nhiệt tỏa ra trong mạch bằng năng lượng của từ trường của mạch dòng điện ở trên, tức là $L I_0^2/2$.

Vì vậy, chúng ta đi đến kết luận rằng mạch đặc trưng cho độ tự cảm $L$, khi dòng điện $I$ chạy qua nó sẽ tạo ra một từ trường xung quanh nó, năng lượng của nó bằng

$$W_M = \frac{L I^2}{2}.$$

Ví dụ được xem xét về cách điện là trường hợp năng lượng của từ trường của dòng điện được tạo ra bởi một nguồn dòng điện bên ngoài. Rõ ràng là năng lượng từ trường của dòng điện không phụ thuộc vào phương pháp thu được dòng điện, cũng như $\frac{mv^2}{2}$ - động năng của chuyển động của cơ thể - không phụ thuộc vào cách truyền tốc độ của cơ thể. Để xác minh điều này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác sẽ sử dụng khả năng chuyển đổi trực tiếp động năng của chuyển động của vật thể thành năng lượng của từ trường. Ví dụ này cũng sẽ giúp chúng ta hiểu cơ chế xuất hiện của từ trường có dòng điện ở cấp độ được gọi là “vi mô”. Bằng những từ ở cấp độ “microsopper”, chúng tôi muốn nói rằng sự xuất hiện của dòng điện sẽ được theo dõi bằng cách phân tích phương trình chuyển động của electron và ion.

Chúng ta hãy xem xét một vòng kim loại có chiều dài $l$, quay đều quanh một trục đi qua tâm vòng vuông góc với mặt phẳng của nó (Hình 3). Chúng ta sẽ giả sử rằng koludo đủ mỏng để vận tốc tuyến tính của tất cả các phần của nó không đổi và bằng $v_0$. Giả sử rằng tại thời điểm $t = 0$ một lực phanh không đổi $F$, hướng tiếp tuyến với đường tròn, bắt đầu tác dụng lên bánh xe. Kết quả của quá trình phanh là quá trình phun dừng lại. Tuy nhiên, điều này không làm cạn kiệt vai trò của lực $F$.

30

Dễ dàng nhận thấy rằng sẽ xuất hiện một dòng điện trong vòng dây. Để thấy điều này, chúng ta hãy nhớ lại một cách khái quát cấu tạo của kim loại rắn. Các nguyên tử của chất kim loại nằm ở đáy mạng tinh thể và chỉ thực hiện những dao động nhỏ xung quanh trạng thái cân bằng. Chúng ta có thể coi mạng tinh thể tạo thành một khung vững chắc của thân kim loại. Ngược lại với onon, các chất điện dẫn trong kim loại có thể trộn lẫn khá tự do trong các khoảng trống giữa các vị trí mạng, tạo thành một loại khí điện.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại với vòng kim loại của chúng ta. Chúng ta có thể tưởng tượng nó như một tập hợp gồm hai vòng lồng vào nhau, tương tự như những gì được thể hiện trong Hình 4. Màu xanh lam ở đây ám chỉ mạng tinh thể, màu đỏ tượng trưng cho khí electron. Lúc đầu, khi chiếc nhẫn quay với tốc độ không đổi, cả mạng tinh thể và khí điện đều tham gia vào chuyển động này như nhau. Có thể nói, khi lớp được giảm tốc, $F$ được áp dụng cho khung rắn của vòng, tức là vào mạng tinh thể. Khí electron sẽ bắt đầu giảm tốc chỉ do sự tương tác trực tiếp của electron với mạng. Sự tương tác này xác định điện trở của kim loại. Do đó, để đơn giản, chúng ta có thể bỏ qua chúng hoàn toàn, chẳng hạn, xem xét rằng vòng của chúng ta đã được làm mát trước khi hãm đến nhiệt độ thấp đến mức kim loại chuyển sang trạng thái siêu dẫn, tức là điện trở của nó bằng 0.

Do đó, khi vòng quay chậm lại, các chất điện dẫn trong kim loại bắt đầu chuyển động xung quanh mạng tinh thể. Sự khác biệt về tốc độ chuyển động của các hạt điện và các hạt điện dẫn đến sự xuất hiện của dòng điện. Hãy tính các giá trị hiện tại.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $v_i$ tốc độ của các electron trong mạng tinh thể và bằng $v_e$ tốc độ chuyển động có hướng của các electron dẫn. Khi đó tổng điện tích chạy qua tiết diện $s$ của vòng trong thời gian $\Delta t$ bao gồm điện tích của mạng tinh thể chứa trong một cung có chiều dài $v_i \Delta t$ và điện tích của khí điện chứa trong một cung có chiều dài $v_e \Delta t$ (xem Hình 4). Nếu chúng ta biểu thị tổng điện tích của tất cả các electron trong mạng tinh thể bằng $Q$, thì tổng điện tích của các electron dẫn trong vòng sẽ bằng - $Q$ (vì toàn bộ vòng kim loại đều mang điện). Do đó, các điện tích tuân theo hướng của chúng, $Q \frac{v_i \Delta t}{l}$ và $-Q \frac{v_e \Delta t}{l}$, trong đó $l$ là chiều dài của vòng. Bây giờ chúng ta có thể tìm tổng năng lượng của vòng kim loại trong một đơn vị thời gian, tức là tính dòng điện trong vòng:

$$I = \frac{1}{\Delta t} \left[ Q \frac{v_i \Delta t}{l} - Q \frac{v_e \Delta t}{l} \right] = \frac{Q}{l} \left(v_i - v_e\right).$$

31

Chúng tôi đồng ý bỏ qua sự tương tác trực tiếp của các electron dẫn với các đơn vị của mạng tinh thể. Tuy nhiên, trong quá trình phanh, các lực xuất hiện vẫn sẽ làm các electron chậm lại. Đây là lực của điện trường xoáy.

Khi có dòng điện xuất hiện trong vòng sẽ tạo ra một từ trường. Vì dòng điện thay đổi nên trường này không cố định. Do đó, nó tạo ra một điện trường xoáy trong kim loại của vòng. Các lực tác dụng lên các điện tích từ trường xoáy ngăn cản sự thay đổi dòng điện trong vòng, tức là chúng có xu hướng làm giảm tốc độ tương đối của electron và ion (xem (8)). Do đó, các lực này làm chậm các electron và tăng tốc các ion của mạng tinh thể. Công của các lực này làm di chuyển một điện tích dương dọc theo vòng được biểu thị bằng e. d.s. cảm ứng (nhớ lại rằng công của trường xoáy trên một đường dẫn kín không bằng không).

Để hình dung rõ ràng hơn động lực chuyển động của mạng tinh thể và các electron dẫn (khí điện tử), nên tách chúng ra và xem xét chúng một cách riêng biệt. Hình 5, a thể hiện riêng biệt tất cả các chuyển động của mạng tinh thể liên quan đến đường đôi (vòng màu xanh) và trong Hình 5, b - tất cả các chuyển động của khí electron liên quan đến đường đôi (vòng màu đỏ). Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng viết ra định luật Newton khi áp dụng cho mạng tinh thể và electron. Đặt khối lượng của các vòng xanh và đỏ bằng $M$ và $m$ tương ứng, và gia tốc của chúng $a_i$ và $a_e$. Sau đó

$$Ma_i = QE - F, \quad (9)$$

$$ma_e = -QE,$$

trong đó $E$ là điện trường xoáy cực mạnh. Hãy tính giá trị của lực căng này.

Vì công do trường xoáy thực hiện làm dịch chuyển một điện tích dọc theo vòng bằng e. d.s. tự cảm ứng, tức là $El = \mathcal{E}_{is}$, thì

$$E = \frac{\mathcal{E}_{is}}{l} = -\frac{1}{l} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{L}{l} \frac{\Delta I}{\Delta t} = -\frac{QL}{l^2} \left( \frac{\Delta v_i}{\Delta t} - \frac{\Delta v_e}{\Delta t} \right) = -\frac{QL}{l^2} \left( a_i - a_e \right).$$

Do đó, phương trình (9) của chuyển động của mạng tinh thể và khí electron sẽ có dạng sau:

$$Ma_i = -\mu \left( a_i - a_e \right) - F, \quad (10)$$

để cho ngắn gọn, chúng tôi giới thiệu ký hiệu $\mu = \frac{Q^2 L}{l^2}$. Giải hệ (10) đối với $a_i$ và $a_e$, ta tìm được gia tốc phanh của các vòng:

$$a_i = -\frac{F}{M + \frac{m\mu}{m + \mu}}; \quad a_e = \frac{\mu}{m + \mu} a_i. \quad (11)$$

32

Dấu trừ cho biết trong quá trình hãm, cả mạng tinh thể và khí electron sẽ bị thay thế.

Biết gia tốc, chúng ta có thể tìm được thời gian trôi qua kể từ khi bắt đầu phanh cho đến thời điểm mạng tinh thể kolyz dừng lại:

$$t = -\frac{v_0}{a_i} = \frac{v_0}{F} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Bây giờ thật dễ dàng tìm được tốc độ $v_e = v$ mà các electron sẽ có khi kết thúc quá trình phanh:

$$v = v_0 + a_e t = \frac{m}{m+\mu} v_0.$$

Do đó, giá trị cuối cùng của dòng điện trong bánh xe (tại $v_e = v$, $v_i = 0$) bằng

$$I = -\frac{Q}{l} v = -\frac{Q}{l} \frac{m}{m+\mu} v_0.$$

Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang lời giải đặt ở đầu bài toán: xác định năng lượng từ trường của dòng điện phát sinh trong bánh xe do bánh xe bị hãm. Để làm được điều này, thật thuận tiện khi sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Tại thời điểm ban đầu ($t = 0$), toàn bộ năng lượng của kolys bao gồm động năng của các electron và mạng tinh thể, tức là.

$$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{Mv_0^2}{2}.$$

Trong quá trình phanh, một phần năng lượng đã tác dụng chống lại lực $F$. Sự “tổn thất” năng lượng này rõ ràng bằng $\Delta E = A = FS$, trong đó $S$ là đường đi của bất kỳ điểm nào trên vòng (mạng tinh thể) trong quá trình phanh:

$$S = v_0 t + \frac{a_i t^2}{2} = \frac{v_0^2}{2F} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Vì thế

$$A = \frac{v_0^2}{2} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Dòng điện sinh ra trong quá trình phanh ở bánh xe đã tạo ra một từ trường. Do đó, khi kết thúc quá trình phanh, khi vận tốc của mạng tinh thể bằng 0 thì năng lượng của bánh xe bao gồm động năng của các electron.

$$K_e = \frac{mv^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} \left( \frac{m}{m+\mu} \right)^2$$

và năng lượng từ trường $W_M$. Theo định luật bảo toàn năng lượng

$$E_0 = K_e + W_M + A,$$

Ở đâu

$$W_M = E_0 - A - K_e = \frac{Mv_0^2}{2} + \frac{mv_0^2}{2} - \frac{v_0^2}{2} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right) - \frac{mv_0^2}{2} \left( \frac{m}{m+\mu} \right)^2 = \frac{mv_0^2}{2} \frac{m\mu}{(m+\mu)^2}.$$

Thay thế giá trị $\mu$ vào biểu thức này và tính đến $\frac{mv_0}{m+\mu} = -I \frac{l}{Q}$ (xem (14)), chúng ta thu được

$$W_M = I^2 \frac{l^2}{Q^2} \frac{Q^2 L}{2l^2} = \frac{LI^2}{2}.$$

Vì vậy, chúng ta lại đi đến biểu thức thu được trước đó về năng lượng từ của mạch có dòng điện $I$.

Chúng ta hãy lưu ý trong phần kết luận một tình huống thú vị. Như đã biết, trung bình số học của hai số dương không thể nhỏ hơn trung bình hình học của những số này, tức là $m + \mu \geq 2\sqrt{m\mu}$, và do đó $\frac{m\mu}{(m+\mu)^2} \leq \frac{1}{4}$. Do đó, từ biểu thức (15) chúng ta có thể kết luận rằng

$$W_M \leq \frac{1}{4} \frac{mv_0^2}{2}.$$

Vì vậy, chúng tôi đi đến kết luận: khi phanh vết thương đầu tiên, mạch không bị xoắn, không quá 25% động năng ban đầu của chuyển động có hướng của các electron dẫn có thể chuyển thành năng lượng của từ trường của dòng điện. Giới hạn này không phụ thuộc vào giá trị độ tự cảm của mạch.