Энергия магнитного поля контура с током

27

К пониманию того, что магнитное поле электрического тока обладает энергнейшей, легко прийти, анализируя является электромагнитной индукции. Будем мысленно проводить опыт со схемой, изображенной на рисунке. Если перемешать движок резистата так, чтобы сопротивление резистата уменьшалось, то должен возрасть электрический ток в цепи. Чем больше значение тока, тем больше значение индукции магнитного поля, создаемого этим током. С увеличением магнитного поля растет поток вектора магнитной индукции через плоскку, ограниченную контуром с током. Но согласно закону Фарадея при изменении потока магнитной индукции в контуре возникает электродвижущая сила самонидуции, равная

$$E_{is} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t},$$

где $\Delta \Phi$ — изменение потока магнитной индукции за время $\Delta t$. Вызываемыйемый этой этоя $3. d. c.$ индукционный ток создает магнитное поле, направление индукции которого противоложно направлено индукции магнитного поля основного тока. Таким образом, магнитный поток создаемого поля стремится компенсировать изменение магнитного потока основного поля, т. е. фактически стремится удержать постоянной величины основного тока. Чтобы противодействовать этому эффекту, необходимо совершать некоторую работу против электродвижущей силы самонидуции. Подсчитаем эту работу.

Если ток за время $\Delta t$ увеличился от значения $I$ до значения $I + \Delta I$ и при этом возникла $\mathcal{E}_{is}$, то работа источника тока против этой этоя $3. d. c.$ равна

$$\Delta A = -\mathcal{E}_{is}I\Delta t.$$

Подставив сюда выражение (1) для этоя $3. d. c.$ самонидуции, получим

$$\Delta A = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}I\Delta t = I\Delta \Phi.$$

28

Теперь вспомним, что каждый контур может быть охарактеризован некоторой величины $L$, называемой коэффициентом саминдукции или индуктивностью. Значение $L$ обычно определяют как коэффициент пропорциональности в формуле, связывающей магнитный поток $\Phi$ с величиной силы того token $I$, который вызывает этот token, т. е.

$$\Phi = LI.$$

Позтому, если ток изменяется на величины $\Delta I$, то поток магнитной индуктивности изменяется на величины

$$\Delta \Phi = L \Delta I.$$

Таким образом, выражение (2) для работы мы можем записать так:

$$\Delta A = LI \Delta I = \Phi \Delta I.$$

На рисунке 1 изображена зависимость магнитного потока $\Phi$ от силы token $I$. Работа $\Delta A$ численно равна площади трапеции $ABCD$.

Если ток в цепи изменяется от значения $I = 0$ до некоторого значения $I_0$, то работу источника token против э. д. с. саминдукции можно получить, суммируя все элементарные работы $\Delta A$. Эта полная работа численного равна площади прямоугольного треугольника $OEF$ на рисунке 1:

$$A = \frac{LI_0^2}{2}.$$

Убедимся теперь в том, что в контуре не проискдало дополнительного выделения тепла, связанного с возникновением э. д. с. саминдукции.

Представим себе, что перед началом опыта мы деформировали контур так, что ограниченная им площадь стала равной нулю (рис. 2). В этом случае при увеличении token в цепи от нуля до $I_0$ э. д. с. саминдукции не возвращает. Сопротивление проводки, из которой изготовлен контур, не изменилось. Поэтому в деформированном контуре при увеличении token от нуля до $I_0$ выделяется такое же количество тепла, как и в недеформированном. (Конечно, при условии, что в обонх случаях скорости увеличения token до значения $I_0$ одинаковы. Напомним, что в первом эксперименте мы должны увеличивать token, т. е. уменьшать сопротивление, доставочно медленно, для того чтобы при каждом значении $R_t$ в цепи установилась ток $I_t = \frac{E}{R_t}$ (если внутреннее сопротивление источника претензioso мало).)

Итак, выделение тепла в контуре не зависит от того, совершает источник дополнительную работу (6) или нет.

Поскольку мы знаем, что энергия не исчезает и не возникает вновь, а лишь переходит из одного вида в другой, а совершаемая работа численного равна изменению энергии системы, мы впраve поставить вопрос: во что перешла совершенная источник дополнительная работа (6)? Причиной того, что необходимо было совершить эту работу, является способность контура «сопротивляться» попыткам увеличить магнитный поток через площадь, ограниченной контуром. Поэтому естественно назвать энергию, в которой перешла совершенная работа, энергий магнитного поля контура с током. В том, что именно магнитное поле контура с током обладает указанной энергией, можно убедиться, если проведены опыт, который показал бы, что эта энергия может быть переведена в какие-либо другие виды энергии (например, в тепловую). Такой опит мог бы состоять в следующем. Пред-

29

иставим себе, что между точками $A$ и $B$ наших контуров мгновенно произшло короткое замыкание. Разность потенциаль между точками $A$ и $B$, создаваемая внешним источником тока, стала равной нулю. В деформационном контуре ток немедленно прекратиется. В случае недеформационного контура уменьшение тока до нуля не может произойти мгновенно, так как согласно закону электромагнитной индукции при уменьшении тока возникнет э. д. с. самонидукции, которая стремиется подержать ток на прежнем уровне. В результате уменьшение тока от значения $I_0$ до нуля будет происходить в течение некоторого времени. За это время в контуре выделится неокторое количество теплла. Энергия, за счет которой будет происходить выделение теплла, черпается из энергии магнитного поля, «запасенной» контуром. Попробуйте самостоятельно показать, что при коротком замыкании между точками $A$ и $B$ в цепи выделяется количество теплла, равное найdenной выше энергии магнитного поля контура с током, т. е. $L I_0^2/2$.

Итак, мы приходим к выводу, что контур, характеризующий индуктивность $L$, при протекании по нему тока $I$ создает вокруг себя магнитное поле, энергия которого равна

$$W_M = \frac{L I^2}{2}.$$

Рассмотренный пример инлострирования случай, когда энергия магнитного поля тока создается внешним источником тока. Очевидно, что энергия магнитного поля тока не должна зависеть от способа получения тока, подобно тому как $\frac{mv^2}{2}$ — книетическая энергия движения тела — не зависит от того, каким путем тела была сообщена скорость. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим еще один пример, который будет использовать возможность непосредственного перехода кинетической энергии движения тела в энергию магнитного поля. Этот пример поможет нам также понять механизм возникновения магнитного поля тока на так скаазать, «микросопперсом» уровне. Под словами на «микросопперсом» уровне мы понимаем то, что возникновение электрического тока будет прослежено путем анализа уравнения движения электронов ионов.

Рассмотрим металлическое колюдо длинны $l$, равномерно врашающей вокруг оси, проходящей через центр колюца перепendlukулярно его плоскости (рис. 3). Будем считать, что колюдо достаточно тонкое, так что линейная скорость всех его участков постоянна и равна $v_0$. Предположим, что в момент времени $t = 0$ на колюдо начинает действовать постоянная тормозящая сила $F$, направленная по касательной к окружности. В результате процесса торможения колюто останавливается. Однако этим не исчерпывается роль силы $F$.

30

Нетрудно видеть, что в коллеце должны возникнуть электрический ток. Чтобы убедиться в этом, вспомним в общих чертах, как устройы твердые металлы. Атомы вещества металла находятся в низах кристаллической решетки, совершают лишь небольшие колебания около положенной равновесия. Можно считать, что кристаллическая решетка образует как тывердый каркас металлического тела. В противоположность онам электрины проводимости в металле могут довольно свободно перемешаться в промежутках между узлами решетки, образуя своего рода электриный газ.

Обратимся теперь вновь к нашему металлическому колцу. Мы можем его представить как совокупность двух вдетых одного в другое колец, подобно тому, как это изобразено на рисунке 4. Синний цвет здесь относится к кристаллической решетке, красный — к электронному газу. Вначале, когда колцо вращалось с постоянной скоростью, в этом движении принимали одинаковое участие как кристаллическая решетка, так и электриный газ. При торможении слая $F$ прикладывается, так сказать, к твердому каркасу колца, т. е. к кристаллической решетке. Электронный же газ должен был бы начать тормозиться лишь в результате непосредственного взаимодействия электронов с онами решетки. Это взаимодействие обусловливает электрическое сопротивление металла. Поэтому простоты ради мы можем им вовсе пребежать, считая, например, что нашей колцо охладили перед торможением до таких низких температуры, что металл перешел в сверхпроводящие состояние, т. е. его сопротивление стало равным нулю.

Таким образом, при торможении колца электрины проводимости в металле начинают в своей движении операять кристаллискую решетку. Это различие в скорости движения онов и электринов и приводит к появлению электрического тока. Подсчитаем величины тока.

Обозначим через $v_i$ скорость онов кристаллической решетки, а через $v_e$ — скорость направленного движения электрионов проводимости. Тогда полный заряд, протекающий через сечение $s$ колца за время $\Delta t$, складывает из заряда кристаллической решетки, заключенной в дуге длиной $v_i \Delta t$, и заряда электриного газа, заключенного в дуге длиной $v_e \Delta t$ (см. рис. 4). Если обозначить полный заряд всех онов в кристаллической решетке через $Q$, то полный заряд электрионов проводимости в колце будет равен — $Q$ (так как в целом металлическое колцо электриейрально). Поэтому заряды в соответствии with their directions, $Q \frac{v_i \Delta t}{l}$ и $-Q \frac{v_e \Delta t}{l}$, где $l$ — длина колца. Теперь мы можем найти полное количество энергии металлического колца за единицу времени, т. е. вычислить электрический ток в колце:

$$I = \frac{1}{\Delta t} \left[ Q \frac{v_i \Delta t}{l} - Q \frac{v_e \Delta t}{l} \right] = \frac{Q}{l} \left(v_i - v_e\right).$$

31

Мы договорились пренебрегать неосредственным взаимодействием электронов проводимости с юнами кристаллической решетки. Однако в процессе торможения в игру вступают силы, которые все-tаки будут тормозить и электроны. Это силы вихревого электрического поля.

При возникновении тока в колце индуцируется магнитное поле. Поскольку сила тока меняется, это поле не постоянно. Следовательно, оно порождает в металле колца вхревое электрическое поле. Силы, действующие на заряды со стороны вхревого поля, преятствуют изменению тока в колце, т. е. стремятся уменьшить относительной скорость электронов и ионов (см. (8)). Следовательно, эти силы тормозят электроны иускоряют ионы кристаллической решетки. Работа этих сил по перемещению единного положительного заряда вдоль колца и представляется собой э. д. с. индукции (напомним, что работа вхревого поля на замкнутом пути не равна нулю).

Чтобы более наглядно представить себе диамнику движения кристаллической решетки и электронов проводимости (электронного газа), удобно мысленно их разделить и рассматривать порознь. На рисунке 5, а изображено отдельно все относшее к диамнике движения кристаллической решетки (синее колцо), а на рисунке 5, б — все относшее к диамнике движения электронного газа (красное колцо). Теперь мы уже легко сможем записать П закон Ньютона в применении к кристаллической решетке и электронам. Пусть массы синнего и красного колцо равны соответствующим $M$ и $m$, аускорения их $a_i$ и $a_e$. Тогда

$$Ma_i = QE - F, \quad (9)$$

$$ma_e = -QE,$$

где $E$ — напряженное вихревого электрического поля. Вычислим значение этой напряженности.

Так как работа сил вхревого поля по перемещению единного заряда вдоль колца равна э. д. с. саминдукции, т. е. $El = \mathcal{E}_{is}$, то

$$E = \frac{\mathcal{E}_{is}}{l} = -\frac{1}{l} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{L}{l} \frac{\Delta I}{\Delta t} = -\frac{QL}{l^2} \left( \frac{\Delta v_i}{\Delta t} - \frac{\Delta v_e}{\Delta t} \right) = -\frac{QL}{l^2} \left( a_i - a_e \right).$$

Таким образом, уравнение (9) движения кристаллической решетки и электронного газа примут следующее:

$$Ma_i = -\mu \left( a_i - a_e \right) - F, \quad (10)$$

где для краткости мы введим обозначение $\mu = \frac{Q^2 L}{l^2}$. Решая систему (10) относительно $a_i$ и $a_e$, находимускорения торможения наших колц:

$$a_i = -\frac{F}{M + \frac{m\mu}{m + \mu}}; \quad a_e = \frac{\mu}{m + \mu} a_i. \quad (11)$$

32

Знак минус ознакомец, что в процессе торможения проискодит заменление как кристаллической решетки, так и электронного газа.

Зная ускорения, мы можем найти время, прошедшее от начала торможения до момента остановки кристаллической решетки колыза:

$$t = -\frac{v_0}{a_i} = \frac{v_0}{F} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Тепер легко найти скорость $v_e = v$, которую будут иметь электроны в конце торможения:

$$v = v_0 + a_e t = \frac{m}{m+\mu} v_0.$$

Следовательно, конечное значение силы тока в колысе (при $v_e = v$, $v_i = 0$) равно

$$I = -\frac{Q}{l} v = -\frac{Q}{l} \frac{m}{m+\mu} v_0.$$

Вот теперь мы можем перейти к решению поставленной в начале задачи: определить энергию магнитного поля тока, возникающего в колысе в результате его торможения. Для этого удобно воспользоваться законом сохранения энергии.

В начальной момент времени ($t = 0$) вся энергия колыса складывается из кинетической энергии электронов и кристаллической решетки, т. е.

$$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{Mv_0^2}{2}.$$

За время торможения часть энергии пошла на работу против силы $F$. Эта «потеря» энергии равна, очевидно, $\Delta E = A = FS$, где $S$ — путь, пройденный любой точкой колыца (кристаллической решетки) за время торможения:

$$S = v_0 t + \frac{a_i t^2}{2} = \frac{v_0^2}{2F} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Так что

$$A = \frac{v_0^2}{2} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right).$$

Возникающий в процессе торможения электронный ток в колысе индушировал магнитное поле. Следовательно, к концу торможения, когда скорость кристаллической решетки равна нулю, энергия колыса складывается из кинетической энергии электронов

$$K_e = \frac{mv^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} \left( \frac{m}{m+\mu} \right)^2$$

и энергии магнитного поля $W_M$. Согласно закону сохранения энергии

$$E_0 = K_e + W_M + A,$$

откуда

$$W_M = E_0 - A - K_e = \frac{Mv_0^2}{2} + \frac{mv_0^2}{2} - \frac{v_0^2}{2} \left( M + \frac{m\mu}{m+\mu} \right) - \frac{mv_0^2}{2} \left( \frac{m}{m+\mu} \right)^2 = \frac{mv_0^2}{2} \frac{m\mu}{(m+\mu)^2}.$$

Подставив в это выражение значение $\mu$ и учтя, что $\frac{mv_0}{m+\mu} = -I \frac{l}{Q}$ (см. (14)), получим

$$W_M = I^2 \frac{l^2}{Q^2} \frac{Q^2 L}{2l^2} = \frac{LI^2}{2}.$$

Итак, мы вновь пришли к получению ранее выражению для магнитной энергии контура с током $I$.

Отметим в заключаении любопытное обстоятельство. Как известно, среднее арифметическое двух положительных чисел не может быть меньше среднего геометрического этих чисел, т. е. $m + \mu \geq 2\sqrt{m\mu}$, и следовательно, $\frac{m\mu}{(m+\mu)^2} \leq \frac{1}{4}$. Поэтому из выражения (15) можно заключить, что

$$W_M \leq \frac{1}{4} \frac{mv_0^2}{2}.$$

Таким образом, мы приходим к выводу: при торможении первого рановального раскрученного контура в энергии магнитного поля тока может перейти не более 25% исходной кинетической энергии направленного движения электронов проводимости. Это ограничение не зависит от величины индутивности контура.