Формула для простых чисел

42

минимый, совпадающий с точкой $S'$. Мнимый источник — это построенное в крае листа как в зеркале изображение действительного источника. Эти два источника когерентны. Предполагая, что они излучают волны в фазе, можно записать условие минимумов интерференционной картины:

$$\delta = (2k + 1) \frac{\lambda}{2}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$$

Здесь $\delta$ — разность хода между волнами и $\lambda$ — длина волны. Сопоставляя это выражение с экпериментальной формулой (1), можно видеть, что построенная $a$ — это положная длины волны, распространяющейся в бумажном листе!

В заключение предлагаем вам несовсем обичное задание: найдите в статье те утверждения, которые даны без доказательства, и попробуйте доказать их экпериментально.

$$p_n = \sum_{m=0}^{n^2+1} sg \left( n + 1 - \sum_{k=2}^{m} \left[ ((k-1)!)^2 - k \cdot E \left( \frac{[(k-1)!]^2}{k} \right) \right) \right)$$

ФОРМУЛА
ДЛЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Обозначим через $p_n$ $(n+1)$-е в порядке возрастания простое число: $p_0 = 2, p_1 = 3, p_2 = 5, p_3 = 7, p_4 = 11, p_5 = 13$ и т. д.

Широко распространено мнение, что не существует формулы, выражающих формулой (1), можно видеть, что построенная $a$ — это положная длины волны, распространяющейся в бумажном листе!

Итак, опыт обясен: от конца колеблющейся трубки по бумаге распространяется круговая волна, которая без изменения фазы отражается краем листа; падающая и отраженная волны коректны и поэтому интерферирует; кристаллики марганцовского калия сбрасывают с максимумов интенсивности колебаний (пучностей стоячей волны) и собираются в минимумах (узлах), совершость которых представляет собой семейство гипербол.

В заключение предлагаем вам несовсем обичное задание: найдите в статье те утверждения, которые даны без доказательства, и попробуйте доказать их экпериментально.

$$sg(n) = \begin{cases} 1, \text{ если } n > 0, \\ 0, \text{ если } n \leqslant 0, \end{cases}$$

как такую формулу уже можно написать (справа сверху, здесь $E(x)$ — целая часть числа $x$). Аналогичную формулу прислал в редакцию Московский десертклассчик В. Гугин.

Беда в том, что от подобных формул мало толку. Во-первых, вычисление по ним — не короче вычисление при помощи алгоритма «решето Эратовсена» («Квант», 1973, № 4, с. 72 и 1974, № 1, с. 77). Во-вторых, при их помощи затруднительно исследовать «поведение» множества простых чисел «на бесконечности» (т. е. при $n \rightarrow +\infty$ или, как говорят математики, «асимптотическое поведение» множества простых чисел.

Тем не менее, по-видимому, приведенная формула удовлетворит потребность неокотой части читателей «Кванта».

Как доказать предложенную формулу? В теории чисел через $\pi(m)$ обозначается число простых чисел, не превосходящих $m$. Легко собрать, что

$$sg(n + 1 - \pi(m)) = \begin{cases} 1, \text{ если } m < p_n, \\ 0, \text{ если } m \geqslant p_n. \end{cases}$$

Пусть теперь $\mu$ — произвольная «оценка сверху» для $p_n$, т. е. такая функция, что при всех $n$ имеем $p_n \leqslant \mu(n)$.

Тогда

$$p_n = \sum_{m=0}^{n^2+1} sg(n + 1 - \pi(m)).$$

Пусть далее $\chi - \chi_{\text{карактическая функция}}$ можно представить, т. е. такая функция, что

$$\chi(k) = \begin{cases} 1, \text{ если } k - \text{ простое число}, \\ 0, \text{ если } k - \text{ составное число}. \end{cases}$$

Очевидно,

$$\pi(m) = \sum_{k=2}^{m} \chi(k).$$

Тогда

$$p_n = \sum_{m=0}^{n^2+1} sg(n + 1 - \sum_{k=2}^{m} \chi(k)).$$

Чтобы из формулы (1) получить конкретиную формулу, надо подставить в нее какнебудь выражения для функции $x$ и $\mu$.

Наша формула как раз и получается из формулы (1) при $\mu(n) = n^2 + 1$ (в теории чисел доказано, что $p_n \leqslant n^2 + 1$ для всех $n$) и

$$\chi(k) = \frac{[(k - 1)!]^2 - k \cdot E \left( \frac{[(k - 1)!]^2}{k} \right)}{2}.$$

Формула (2) получается при помощи теоремы Вильсона: если $k - \text{ простое число},$ то $(k - 1)! + 1$ делится на $k$.