Артиллерия и математика

33

В этой статье ветеран Великой Отечественной войны рассказывает о математических задачах, которые ему приходилось решать, командуя батарейой 120-мм минометов, стреллявших на дальность до 6 км. С той поры прошло уже более 30 лет. Многие задачи, связанные с управлением стрелбой, решают теперь вычислительные машины. Однако их математическая суспность осталась прежней.
Предполагается, что читатель известно, что такое географическая карта, географические координаты точки земной поверхности, географические и магнитные полюсы, экватор, меридианы, паралелии и азимуты.

Стрельбе артиллерийской батареи по объektам в лагере противника представляет подготовка данных — определение дальности и направления стреллы. Чтобы найти эти величины, нужно прежде всего «привязать» батарею и цель — а именно: определить их географические координаты.

Объясним, что это значит. Введем некоторые понятия, они понадобятся нам в дальнейшем.

Топографические карты

Топографический картой (топокартой) называется крупномасштабная географическая карта. На листах топокарта изображаются относительно небольшие участки земной поверхности, поэтому кривизна Земли неучиться (ниже мы всюду считаем Землю шаром).

Основной топокартой является карта масштаба 1:1000000; ее именуют международной миллионной топокартою. Листы миллионной топокарты представляют собой равновобочные трапеции, которые получают так. Сначала земную поверхность покрывают паралелями через каждые 4° от экватора к полюсом — получают ряды. Затем поверхность Земли покрывают меридианами через каждые 6° от меридиана, противоположного гривизскому, в восточном направлении — получают колонки. Пересекаясь, ряды и колонки образуют тра-

34

пеции, которые и изображаются на листах миллионной топокарты.

Каждай лист миллионной топокарты имеет «географический адрес», состоящий из двух символов — номенклатуру. Первый символ указывает на принадлежность листа к определенному ряду, второй — к определенной колонке. При этом ряды номеруются буквами латинского алфавита (A, B, C, D,…) от эkvatorа к полюсам, а колонки — числа (1, 2, 3, 4, …) от меридиана, противоположного гривичскому, в направлении на восток. Таким образом, точка $M$ земной поверхности с географическим координатами $75^\circ 54'$ восточной долготы и $13^\circ 12'$ северной широты принадлежит листу миллионной топокарты с номенклатурой $D-43$ ([13°12’ :4°] + 1 = 4 — четвертый от эkvatorа ряду — буква $D$, и 43-я колонка от указанного меридиана:

$$\left[ \frac{180^\circ + 75^\circ 54'}{6^\circ} \right] + 1 = 43^*$$

Для дальнейших расчетов применяем длину дуги земного шара в $1^\circ$ по эkvatorу и по меридиану равной 111,0 км. тогда размеры участка земной поверхности, изображенного на листе $D-43$, будут такими: основания трапеции — 653,6 км и 640,2 км, высота трапеции — 444,0 км (первые две величины вычисляются как 6-градусные дуги $12^\circ$ и $16^\circ$ параллелей:

$$653,6 = 6 \cdot 111 \cdot \cos 12^\circ,$$
$$640,2 = 6 \cdot 111 \cdot \cos 16^\circ,$$

а третья величина — 4.111 — как 4-градусная дуга большого кругга земного шара).

Послеовательным делением листов миллионных топокарта на равные по долготе и по широте части получают топокарты более мелких масштабов: 1:100000, 1:50000, 1:25000 и 1:10000. Чтобы получить топокарту 1:100000, лист миллионной топокарты

*) Здесь $[x]$ — это целая часть $x$ — ближайшее к $x$ целое число, не превысая $x$ (см. статью «Антье», с. 43).

35

делят на 12 части по долготе и 12 части по широте: получают 144 «кусочка». Чтобы получить топокарту 1:50000, нужно один из получившихся 144 кусочков разделить еще на 2 равные по долготе и на 2 равные по широте части (см. рис. 1). Если один из получившихся кусочков снова разделить на 2 равные по долготе и 2 равные по широте части, получим топокарту 1:25000. Повторить же самую операцию (деления на четые «кусочка») с этой топокарту, получим топокарту 1:10000.

Частки каждой листа топокарты при делении нумеруются: «слева — направо — вниз» (рис. 1). Для обозначения частей к номенклатуре исходной миллионной топокарты каждой раз добавляется новый индекс: один — если карта 1:100000: число от 1 до 144 (рис. 1, а); два — если карта 1:50000: индекс листа стотычной топокарты, из которого она получилась, плос одна из первых четырех заглавных букв русского алфавита A, B, B, Γ (рис. 1, б); три — если карта 1:25000: индекс соответствующей пятидесятысячной карты, плос одна из букв a, б, в, г (рис. 1, с), и наконец, четырех — если карта 1:10000: индекс соответствующей карты 1:25000 плос одна из цифр 1, 2, 3, 4 (рис. 1, е).

При подготовке исходных данных для стрелых обычно пользовются топокартими масштаба 1:10000. Лист карты такого масштаба, содержащий упомянутую выше точку M (заданную географическими координатами), имеет номенклатуру D-43-104-Б-г-3; проверьте это. Можно подсчитать, что этот лист изобрабатывает участок земной поверхности формы трапеции со средней линией 6,8 км и высотой 4,6 км.

Топографические координаты

Система координат, употребляемая в топографии, отлична от декартовой. В этой системе за ось X прият серединный географический мирдиан каждой колонки, параллельно сесенный на 500 км к западу, а за ось Y прият экватор. Найдем, к примеру, в этой системе отчета координаты нашей точки M — они называются monoэффективными координатами, и измеряются в метрах. Точка M находится на расстоянии 1465,2 км от экватора и на расстоянии 97,26 км вправо от серединного meridiana колонки с номером 43. Поэтому для нее

$$\begin{cases} X_M = 1465200, \\ Y_M = 597260. \end{cases}$$

На территории каждой страны установлены специальные, видимые изделяка пункты досударствейной треначуляции. Все они, как и другие высокие сооружения на земной поверхности, имеют точно определенные топографические координаты; эти координаты занимаются в особые каталоги, которые используются лишь в службных целях.

В учебных целях довольствующая условия координатами. координаты первого, отправного пункта местности заданного произвольно. К нему «привязываются» нужные пункты. Получается плоская система точки, определенных координатами, соответствующая действительной системе точки местности. Узнать в случае необходимости топографические координаты одной из точек этой системы, мы можем найти действительные координаты всей сети точек.

Встановить в какую-нибудь точку в сверверном полушарии с соответствующей топокартой и попробем сорентировать ее по странам света. Через каждую точку проходят три meridiana: магнитный, географический и топографический (параллельный серединному географическому meridанну для основного листа соответствующей топокарты). Упомянуть meridianны, вообше говоря, не совпадают. Они пересекаются под неокоторыми углами. Углы эти относительно малы, и мы импренеб

36

режем. Будем считать все меридианы в точке совпадающих с магнитным, то есть с направлением на север магнитной стрелки компаса.

Каждай имеет пользоваться компасом. Поэтому можно считать, что мы умеем сорентировать нужную топокарту по направлению на север.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями:

$X_A$ и $Y_A$ — monографические координаты пункта $A$ на местности;

$|AB|$ — расстояние между пункта $A$ и $B$ (в метрах);

$[AB]$ — азимут направления из $A$ на $B$, то есть угол между $AB$ и направлением на север, отсчитываемый по часовой стрелке.

Задачи

Рассмотрим теперь основные задачи на координаты, которые прихоедят решать в процессе подготовки исходных данных для стрелки.

Задача 1. (Прямая задача на координаты.) Дано: $X_A$, $Y_A$, $|AB|$ и $[AB]$. Наимен: $X_B$, $Y_B$.

Имеется в виду, что расстояние $|AB|$ (в метрах) найдет при помощи мерной ленты, угол $[AB]$ — при помощи буссоли или теодолита (без учета поправок на углы между меридианами).

Из рисунка 2 находится

$$X_B = X_A + \Delta X$$

и

$$Y_B = Y_A + \Delta Y,$$

где $\Delta X = |AB| \cdot \cos [AB]$ и $\Delta Y = |AB| \cdot \sin [AB]$.

Задача 1 позволяет нам «привязать» пункт $B$ местности (определить топографические координаты точки $B$) по «привязанной» точке $A$.

При решении конкретных задач на координаты принято пользоваться 5 значными математическими таблицами *). Решите, например, такую задачу:

*) Вы можете воспользоваться таблицами Брадиса.

Рис. 2.

1. Найти $X_B$ и $Y_B$, если $X_A = 53\ 817$, $Y_A = 38\ 629$, $|AB| = 2182$ и $[AB] = 321^\circ 14'$.

Задача II. (Обратная задача на координаты.) Дано: $X_A$, $Y_A$, $X_B$, $Y_B$. Наимен: $[AB]$, $|AB|$.

Из того же рисунка 2 находится $\Delta X = X_B - X_A$ и $\Delta Y = Y_B - Y_A$. Далее имеем

$$tg[AB] = \frac{\Delta Y}{\Delta X}.$$

По вычисленной величины $tg[AB]$ с учетом знака нахождения угол $[AB]$.

Наконец, из $\Delta ABC$ имеем

$$|AB| = \frac{|\Delta Y|}{\sin [AB]} = \frac{|\Delta X|}{\cos [AB]}.$$

Вычисление $|AB|$ производится по обеим формулам. Совпадение результатов — неокторая гарантия безопасности производных подчетов.

Решите теперь конкретную задачу:

2. Найти $[AB]$ и $|AB|$, если $X_A = 12\ 850$, $Y_A = 98\ 713$, $X_B = 13\ 519$ и $Y_B = 97\ 314$.

Решив ее, вы сможете подать на батарею команду: «Батарея, к бою! Дальность …, азимут …!» Наводчик каждой орудия батареи, получив такую команду, при помощи приспособления нужным образом наведет свое орудие по вертикали (одно деление прицела составляет — 50 м) и по горизонтали (одно деление угломера составляет 3,6’).

Учитатель может возникнуть недоумение. В точке $A$ находится первоое орудие, другие — на неоктором расстоянии от него, левее. Значит

37

попадет в $B$ только первое ordine. На самом деле, если цел $B$ по площади значительна, то все будет в порядке (почему?). А как же быть, когда цел mala — сконцентрирован в точке $B$? В этом случае упомянутая команда дополнительная указанием: «вверхосредомочный» (если же цел $B$ по площади велика, то командается: «вверх паралельный»), и командиры ordий, в зависимости от их удаления от первого, вычисляют и вносят поправки в указанный батарее азимут.

Читатель может сам проделать соответствующее вычислительное работу за командира второго ordия, считая его удаление от первого, например, равным 50 м (в условиях той же конкретной задачи II). Можно допустить, что фронт батареи перендикулярен направлению стрелбы первого ordия.

Итак, мы уже поработали и за командира батареи, и за командира ordия. Однако мы пока не учили самого главного: ведь чтобы стрелять из $A$ в $B$, надо эти пункты предварительно «привязать». В условиях войны пункта $A$ находится на нашей территории, а пункта $B$ на территории противника: туда с мерной ленточной не проijdешь. Отсюда возникает новая задача — задача «привязки» недоступного пункта местности.

Задача III. (Прямая засечка с двух пунктов.) Дано: $X_A, Y_A, X_B, Y_B$, целы $\alpha$ и $\beta$ (см. рис. 3). Наимену: $X_C, Y_C$.

Имеется в виду, что пункты $A$ и $B$ местности уже «привязаны». Нало «привязать» пункта $C$ при условии, что величины $\alpha$ и $\beta$ могут быть найдены непредставенным изменением.

Если знать величины $[AC]$ и $|AC|$, или $[BC]$ и $|BC|$, то наша задача сведется к задаче I. Определим эти величины.

Для $\Delta ABC$ (см. рис. 3) по теореме синусов имеем

$$\frac{|AC|}{\sin \beta} = \frac{|BC|}{\sin \alpha} = \frac{|AB|}{\sin (\alpha + \beta)}$$

Отсюда

$$|AC| = \frac{|AB|}{\sin (\alpha + \beta)} \cdot \sin \beta$$

и $|BC| = \frac{|AB|}{\sin (\alpha + \beta)} \cdot \sin \alpha$.

Кроме того, $[AC] = [AB] - \alpha$ и $[BC] = [AB] + \beta$.

Величины $|AB|$ и $[AB]$ находится так же, как в задаче II.

Координаты для контроля вычислют двумя способами: и по точке $A$, и по точке $B$.

Решите теперь конкретную задачу:

3. Найти $X_C$ и $Y_C$, если $X_A = 12850, Y_A = 98713, X_B = 13519, Y_B = 97314, \alpha = 39^\circ43', \beta = 82^\circ25'$.

Задачу III приходит решать в следующей ситуации. Пусть $A$ и $B$ — пара наблюдаемых пунктов, расположенных на расстоянии 1,5—2,5 км друг от друга, недалеко от переднего края обороны. Эти пункты заранее «привязаны», с них ведется наблюдаение за противником. При появлении в лагере противника цел $C$ наблюдается ее «засекают», то есть любым способом замерют углы $\alpha$ и $\beta$. Остается только решить треугольник $ABC$ по стороне $AB$ и двум прилежащим к ней углам $\alpha$ и $\beta$: анализические, как было описано выше, или графические — на планшете.

Наконец, еще одна задача на координаты.

Задача IV. (Обратная засечка с трех пунктов.) Дано: $X_A, Y_A, X_B, Y_B, X_C, Y_C, ADC = \alpha, BDC = \beta$

38

(см. рис. 4). Найти: $X_D, Y_D$.*

Координаты точки $D$ могут быть вычислены через приращения координат любой из точек: $A, B$ или $C$. Во избежание ошибок их принято находить через приращения от двух точек, например, точек $A$ и $B$.

Мы уже знаем, как вычислить величины $[AC]$ и $|AC|$, $[BC]$ и $|BC|$. Сделав это, мы сможем найти угол $\widehat{ACB}$:

$$\widehat{ACB} = [AC] - [BC].$$

Положим $\widehat{CAD} = \gamma$ и $\widehat{CBD} = \delta$. Определим эти углы.

Из четырехугольника $ACBD$ имеем

$$\frac{\gamma + \delta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta + \widehat{ACB}}{2}.$$

Из треугольников $ACD$ и $BCD$ по теореме синусов находим

$$\frac{|CD|}{|AC|} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$$

$$\frac{|CD|}{|BC|} = \frac{\sin \delta}{\sin \beta}.$$

Исключив из этих равенств величины $|CD|$, получим

$$\frac{\sin \delta}{\sin \gamma} = \frac{|AC| \sin \beta}{|BC| \sin \alpha}.$$

Положим здесь

$$\frac{|AC| \sin \beta}{|BC| \sin \alpha} = \text{tg} \lambda.$$

Вычислив по этой формуле $\text{tg} \lambda$, мы найдем вспомогательный угол $\lambda$.

*) Эта задача известна под названием задачи Поменона. Оней уже расссказывалось в «Кванте» — см, статью Л. С. Хренова, «Квант», 1973, № 4, с. 30.

Теперь

$$\frac{\sin \gamma}{\sin \delta} = \frac{1}{\text{tg} \lambda},$$

откуда

$$\frac{\sin \gamma + \sin \delta}{\sin \gamma - \sin \delta} = \frac{1 + \text{tg} \lambda}{1 - \text{tg} \lambda},$$

то есть

$$\text{tg} \frac{\gamma - \delta}{2} = \text{tg} \frac{\gamma + \delta}{2} \cdot \text{ctg} (45 + \lambda).$$

Все величины, стоящие в правой части, известны. Поэтому мы можем найти полуразность нужных углов $\gamma$ и $\delta$.

Зная же их получим и получаность, легко находим сами эти углы.

Затем из треугольников $ACD$ и $BCD$ по теореме синусов находим

$$|AD| = \frac{|AC| \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \alpha}$$

$$|BD| = \frac{|BC| \sin (\beta + \delta)}{\sin \beta}.$$

Азимуты $[AD]$ и $[BD]$ находят по формулам

$$[AD] = [AC] + \gamma$$

$$[BD] = [BC] - \delta.$$

Далее, как и в задаче I, находят $X_D$ и $Y_D$.

Вот конкретная задача:

4. Найти $X_D$ и $Y_D$, если $X_A = 12850$, $Y_A = 98713$, $X_B = 13519$, $Y_B = 97314$, $X_C = 12406$, $Y_C = 96956$, $\alpha = 72^\circ 28'$, $\beta = 31^\circ 46'$.

Обратной засечкой с трех пунктов обычно «привязываются» наблюдаемые пункты и батареи. Можно таким способом «привязать» и цель. Но для этого надо иметь свое представителя на территории противника. Как и предыдущие, последнюю задачу можно решить графически: для этого нужно построить точку, из которой данные два отрезка видны под данными углами.

На этом мы кончаем наш рассказ о задачах, которые приходит решать артиллерии. Добавим только, что разобранными задачи далеко не исчерпывается «математика в артиллерии».